2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，涵盖弦长、中点弦及弦长最值三大题型，通过习题讲评式教学导入，以椭圆、双曲线、抛物线实例为载体，结合多种解法（如弦长公式、点差法）搭建学习支架，帮助学生衔接位置关系等前置知识。 其亮点在于通过一题多解（如例1三种弦长计算法）培养数学思维，思维建模模块系统总结解题方法（如中点弦问题的点差法）提升数学语言表达能力，课时检测结合高考真题增强应用意识。学生能掌握解题策略，教师可直接用于课堂讲评，提高教学效率。

4.2　 直线与圆锥曲线的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 　进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.掌握弦长公式，会求解弦长、中点弦问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　弦长问题 题型(二)　中点弦问题 题型(三)　弦长的最值问题 4 课时检测 题型(一)　弦长问题 01 [例1]　已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2，与椭圆相交于 A，B两点，则弦AB的长为_________. 解析:∵直线AB过椭圆+=1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2， ∴直线AB的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0. 法一　由方程组解得或 则交点A(0，-2)，B. ∴|AB|===. 法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y，得3x2-5x=0，解得x1=0，x2=. ∴|AB|=|x1-x2|=×=. 法三　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去x， 得3y2+2y-8=0，则由根与系数的关系得y1+y2=-，y1y2=-， ∴|AB|=|y1-y2|=×=. [例2]　已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y=x. (1)求C的标准方程； 解:因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由题意得2c=4，所以c=2①， 又双曲线C的一条渐近线为y=x， 所以=②，又a2+b2=c2③， 联立上述式子解得a=，b=1， 故所求方程为-y2=1. (2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A，B两点，求|AB|. 解:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x2+3x-6=0， 由Δ=32-4××(-6)=15>0，所以x1+x2=-12，x1x2=-24， 即|AB|=·=·=10. |思|维|建|模| 求解弦长的4种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解. (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1-x2)2(或(y1-y2)2)，代入两点间的距离公式求解. (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 针对训练 1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，第四象限的一点P(2，m)在C上，且|PF|=4. (1)求C的方程和m的值； 解:抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-，由抛物线定义得， |PF|=2-=4，解得p=4，所以抛物线C的方程为y2=8x. 将P(2，m)代入C的方程，得m2=8×2，解得m=±4，因为点P在第四象限，所以m=-4. (2)若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为(1，1)，求直线l的方程及线段AB的长. 解:由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有两式作差得-=8(x1-x2)，则k==， 因为线段AB中点的坐标为(1，1)， 所以y1+y2=2，所以k=4，所以直线l的方程为y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0， 联立得16x2-32x+9=0， 则x1+x2=2，x1x2=，所以|AB|=· =×=. 题型(二)　中点弦问题 02 [例3]　设A，B为双曲线-=1上的两点，若线段AB的中点为M(1，2)， 则直线AB的方程是(　　) A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 √ 解析:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得 =，因为线段AB的中点为M(1，2)，所以x1+x2=2，y1+y2=4， 因此由=⇒=1，即直线AB的斜率为1， 方程为y-2=x-1⇒x-y+1=0，代入双曲线方程中，得y2-4y-14=0， 因为(-4)2-4×1×(-14)>0，所以线段AB存在，故选C. [例4]　已知椭圆+=1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点. 当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程. 解:法一:根与系数的关系、中点坐标公式法 设l的斜率为k，则其方程为y-2=k(x-4). 联立消去y，得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=. 因为线段AB的中点恰好为P(4，2)，所以==4，解得k=-，且满足Δ>0. 所以直线l的方程为y-2=-(x-4)，即y=-x+4. 法二:点差法　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 两式相减得+=0， 整理得kAB==-. 因为P(4，2)是线段AB的中点，所以x1+x2=8，y1+y2=4，所以kAB=-=-， 所以直线AB的方程为y-2=-(x-4)， 即y=-x+4. 法三:共线法　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，由于点P(4，2)为线段AB的中点，因此B(8-x，4-y). 因为A，B两点都在椭圆上， 所以 ①-②，得x+2y-8=0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-8=0. 　|思|维|建|模| 解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的方法 根与系数 的关系法 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 点差法 设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系 针对训练 2.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-4，-7)，则E的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 解析:直线l的方程为y=·(x-3)，即y=x-3，设双曲线E的方程为-=1 (a>0，b>0)，由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0， Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0，因为弦AB的中点为N(-4，-7)， 于是得-=-4，即a2=b2，而a2+b2=9，解得a2=，b2=，满足Δ>0，所以双曲线E的方程为-=1，即-=1. 3.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被M(2，1)所平分. (1)求抛物线E的标准方程； 解:由E的焦点为(1，0)，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，且=1，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x. (2)求直线AB的方程. 解:设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由M(2，1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k. 由A，B为抛物线上不同两点得 ①-②得k==2， ∴直线AB的方程为y-1=2(x-2)， 即2x-y-3=0. 题型(三)　弦长的最值问题 03 [例5]　已知椭圆C:+=1，过椭圆右焦点的直线l与椭圆交于M，N两点， 求|MN|的取值范围. 解:由椭圆C:+=1知， a=2，b=，则c==1， 所以椭圆C的右焦点为F(1，0). 当直线l的斜率不存在时，|MN|==3. 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y=k(x-1)， 将其代入椭圆C的方程得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=， 所以|MN|= = ==3+. 因为k2≥0，所以|MN|∈(3，4]. 综上，|MN|的取值范围是[3，4]. 　　|思|维|建|模| 　　求圆锥曲线弦的最值(范围)主要利用函数和不等式解决，但需注意下列问题: (1)椭圆、双曲线中心弦的最值(范围)利用对称性更简单. (2)抛物线焦点弦的最值常用定义. (3)设弦所在直线方程要讨论斜率是否存在. (4)隐含条件Δ>0需成立. 针对训练 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(-2，0)，点G在抛物线C上，且|AG|+|GF|的最小值是4. (1)求抛物线C的标准方程； 解:由题意可得|GA|+|GF|≥|AF|=2+， 则2+=4，解得p=4. 故抛物线C的标准方程为y2=8x. (2)过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，求△AMN面积的取值范围. 解:由题意可知直线l的斜率不为0， 则可设直线l的方程为x=my+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 整理得y2-8my-16=0，Δ=64m2+64>0，则y1+y2=8m，y1y2=-16， 所以|y1-y2|===8. 故△AMN的面积为|AF||y1-y2|=×4×8=16. 因为m2≥0，所以16≥16， 即△AMN面积的取值范围为[16，+∞). 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.椭圆+=1中，以点M为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A.-　　　B.-4　　　C.-　　　D.-2 √ 解析:设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆得 两式相减得+=0，即=-，即=-，又x1+x2=2，y1+y2=1，即=-，即=-， 所以弦所在的直线的斜率为-，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.倾斜角为的直线经过椭圆+y2=1的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点， 则弦长|AB|=(　　) A.　　　B.　　　C.2　　　D.4 √ 解析:因为椭圆+y2=1的右焦点为F(1，0)，又倾斜角为的直线经过椭圆+y2=1 的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，所以直线AB的方程为y=x-1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2+2(x-1)2=2，即3x2-4x=0， 所以所以弦长|AB|=·=·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知直线l:y=x+1，椭圆C:+y2=1.若直线l与椭圆C交于A，B两点， 则线段AB的中点的坐标为(　　) A.　　B. 　C.　　D. √ 解析:由题意知，消去y，得2x2+3x=0，则Δ>0，xA+xB=-， 所以AB中点的横坐标为(xA+xB)=-，所以中点的纵坐标为1-=， 即线段AB的中点的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若△ABP的面积为36，则|AB|等于 (　　) A.36　　　　B.24　　　　C.12　　　　D.6 解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)，因为直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以|AB|=2p，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p， 所以S△ABP=×2p×p=36，解得p=6(舍负)，所以|AB|=2p=12，故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x-2y=1交于P，Q两点，若|PQ|=，则抛物线的方程为(　　) A.x2=-4y 　　 B.x2=12y C.x2=-4y或x2=12y 　　 D.以上都不是 √ 解析:设抛物线的方程为x2=2ay，联立抛物线与直线x-2y=1， 消去y得x2-ax+a=0， ∴x1x2=a，x1+x2=a，则|x1-x2|==， ∴|PQ|=|x1-x2|=·=，即a2-4a-12=0， 解得a=-2或a=6，∴x2=-4y或x2=12y. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.[多选]已知直线y=3x+2被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长为8， 则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有(　　) A.y=3x-2　　B.y=3x+1　　C.y=-3x-2　　D.y=-3x+2 解析:椭圆关于原点和坐标轴对称，直线y=3x+2被椭圆截得的弦长为8，所以与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2，直线y=3x+2关于x轴对称的 直线为y=-3x-2，直线y=3x+2关于y轴对称的直线为y=-3x+2，故A、C、D满足条件，故选ACD. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]已知椭圆C:+=1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点， 且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的焦点坐标为(2，0)，(-2，0) B.椭圆C的长轴长为4 C.椭圆的离心率e= D.直线l的方程为x+y-3=0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由+=1，得椭圆焦点在y轴上，且a2=8，b2=4，则a=2，b=2，c==2.∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，-2)，长轴长为2a=4，离心率e===，故A错误，B、C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则+=1，+=1，两式作差可得=-， ∵M(1，2)为线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，则=- =-=-1，∴直线l的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0，故D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知直线l交椭圆C:+y2=1于A，B两点，且AB的中点坐标为， 则直线l的方程为_________________. 2x+4y-3=0 解析:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1，+=1， 两式相减并化简得-=·，-=·=-， 所以直线l的方程为y-=-，2x+4y-3=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)直线l:x+2y-4=0与椭圆C:x2+4y2=16交于A，B两点， 则弦长|AB|=_________. 2 解析:由直线l:x+2y-4=0与椭圆C:x2+4y2=16交于A，B两点 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 得x2-4x=0，x1+x2=4，x1x2=0， 弦长|AB|===2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知拋物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过拋物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为__________________. (2，±2) 解析:由题意，抛物线C:y2=4x的焦点为F(1，0)， 准线方程为l:x=-1，设A，根据抛物线的定义，可得|AM|=t2+=t2+1，因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1， 所以|AM|∶|OF|=t2+1=3，可得t2=8， 解得t=±2，所以点A的坐标为(2，±2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(15分)已知双曲线C:x2-y2=a2(a>0)与椭圆+=1有相同的焦点. (1)求双曲线C的方程；(5分) 解:设双曲线C的两个焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，由题意， 得c=2，∴a2+b2=c2=4，则a=，即所求双曲线C的方程为x2-y2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.(10分) 解:当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可能为P(1，2)， 故此时不满足题意； 当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 得(1-k2)x2-2kmx-(m2+2)=0， 则Δ=4k2m2-4(1-k2)(-m2-2)=-8k2+4m2+8>0，即2k2-m2-2<0　①， x1+x2==2　②， 点P(1，2)在AB所在直线y=kx+m上， 即2=k+m　③. 联立②③两式，解得k=，m=，经检验，符合题意，因此直线方程为x-2y+3=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)已知椭圆S:+=1(a>b>0)的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，点P(，-)在椭圆S上，过F2的直线l交椭圆S于A，B两点. (1)求椭圆S的标准方程；(5分) 解:由题意得=，且a2=b2+c2，将点P代入椭圆方程，得+=1， 解得a=4，b=c=2，即椭圆方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求△ABF1的面积的最大值.(10分) 解:由(1)可得F1(-2，0)，F2(2，0)，设l:x=my+2，联立 消去x，得(m2+2)y2+4my-8=0， 设A(x1，y1)，B(x2y2)，则y1+y2=-，y1y2=-， 则|y1-y2|== =， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以=|F1F2||y1-y2|=×4×=≤=8，当且仅当=，即m=0时取等号， 故△ABF1的面积的最大值为8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F， 点M在C上，且MF⊥x轴. (1)求C的方程；(5分) 解:设F(c，0)，由题设有c=1且=，故=，解得a=2，故b=， 所以椭圆的方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明:AQ⊥y轴.(10分) 解:证明:直线AB的斜率必定存在， 设AB:y=k(x-4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0， 故Δ=1 024k4-4(3+4k2)·(64k2-12)>0，故-<k<.又x1+x2=，x1x2=， 而N，故直线BN:y=，故yQ==， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以y1-yQ=y1+= = =k· =k· =k·=0. 故y1=yQ，即AQ⊥y轴. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $