第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，系统梳理弦长公式（交点法、公式法）、中点弦问题（根与系数关系法、点差法）及最值范围问题（几何法、函数法），构建从基础计算到综合应用的递进学习支架。 资料通过典型例题与跟踪训练，引导学生用数学眼光观察几何特征（如抛物线焦点弦性质），用数学思维进行逻辑推理与运算（如点差法推导斜率），用数学语言规范表达解题过程。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，弥补知识盲点。

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 知识点一　弦长公式 [知识梳理] 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： 1．交点法 将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式得弦长，即|AB|＝. 2．公式法 若直线l的斜率k存在，则 |AB|＝；① 若直线l的斜率存在且不为零，则 |AB|＝(k≠0).② 我们称①②为弦长公式．特别地，当直线l的斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|. [例1] 已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. (1)试求动点P的轨迹C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与轨迹C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 【解】　(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPA·kPB＝－，所以·＝－，化简整理得＋y2＝1.故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±). (2)设直线l与轨迹C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，Δ＝16k2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0.所以|MN|＝·＝，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍去).经检验k＝±1符合题意，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 求弦长的方法 (1)两点间的距离公式：求出弦的两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． (2)焦点弦：抛物线的焦点弦可用公式|AB|＝x1＋x2＋p求解． (3)弦长公式：利用弦长公式，采取“设而不求”策略，结合根与系数的关系求解． 注意　(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积． (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论． (3)椭圆、双曲线的通径为，抛物线的通径为2p. [跟踪训练1] (1)(2025·渭南月考)已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝x＋m被C所截得的弦长为4，则m＝________． 解析：设双曲线C与直线l交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由消去y整理得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，则Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，且x1＋x2＝－3m，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝×. 由×＝4，解得m2＝18，所以m＝±3. 答案：±3 (2)已知O为坐标原点，直线l过点M(3，2)，且与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则△AOB的面积为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为M(3，2)为线段AB的中点，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝4. 由题意知直线AB的斜率存在且不为零，得直线AB的斜率k＝＝＝＝1，所以直线AB的方程为y－2＝x－3，即y＝x－1，直线l与x轴的交点坐标为C(1，0). 因为y＋y＝4(x1＋x2)＝24，y1＋y2＝4，则|y1－y2|＝＝4. 故△AOB的面积为|OC|×|y1－y2|＝×1×4＝2. 答案：2 知识点二　中点弦问题 [例2] (对接教材例5)已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 【解】　方法一：易知直线l的斜率k存在．设所求直线l的方程为y－2＝k(x－4)，由 消去y得(4k2＋1)x2－16(2k2－k)x＋64k2－64k－20＝0. Δ>0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝， 又P为AB的中点， 所以＝＝4，解得k＝－，经验证得满足Δ>0. 故所求直线l的方程为x＋2y－8＝0. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有两式相减得＋＝0，易知x2≠x1，整理得kAB＝＝－， 由于P(4，2)是AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 于是kAB＝－＝－，于是直线l的方程为y－2＝－(x－4)， 即x＋2y－8＝0. 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借助中点坐标公式即可求得斜率． [跟踪训练2] (1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标为(4，2)，则p＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选A．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式作差得，y－y＝(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，当x1＝x2时，线段AB的中点为焦点F(，0)，不满足题意； 当x1≠x2时，得＝. 设线段AB的中点为M，因为M的坐标为(4，2)， 所以y1＋y2＝4， 又直线AB过焦点F，则AB的斜率kAB＝kFM＝＝，解得p＝4. (2)若双曲线的中心为原点，F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3，1)，则双曲线的方程为(　　) A．－y2＝1 B．y2－＝1 C．－x2＝1 D．x2－＝1 解析：选B．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得 －＝0，由题意知x1≠x2，所以＝，P(3，1)为线段MN的中点，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， 又kMN＝＝kPF＝＝1，所以＝1，即b2＝3a2，而F(0，－2)是双曲线的焦点，所以a2＋b2＝4a2＝4，a2＝1，则b2＝3，经验证双曲线y2－＝1符合题意，所以双曲线的方程为y2－＝1. 应用点　最值、范围问题 角度1　几何法求最值、范围 [例3] (2026·惠州期中)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－1，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 【解析】　由题意可得，抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l2：y＝－1，设动点P到直线l1，l2的距离分别为d1，d2， 点F到直线l1的距离为d3＝＝2，则d2＝|PF|，可得d1＋d2＝d1＋|PF|≥d3＝2，当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在点F与直线l1之间时，等号成立，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2. 【答案】　2 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决．解决这类问题，常常利用圆锥曲线的定义、几何意义转化为平面图形中的最值问题． 角度2　函数法求最值、范围 [例4] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点． (1)求椭圆C的离心率； (2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围． 【解】　(1)由题意得c＝，a2＝b2＋c2，且·2a·2b＝2ab＝12，即ab＝6， 解得a＝3，b＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. (2)由题意，得|PQ|＝|MP|－|MQ|＝5－|MQ|.　 设Q(x1，y1)，则＋＝1. 又M(1，0)，所以|MQ|＝ ＝ ＝， 因为x1∈[－3，3]， 所以当x1＝时，|MQ|min＝； 当x1＝－3时，|MQ|max＝4. 所以|PQ|的取值范围为[1，5－]. 函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问题转化为求函数的最值(或值域)，求函数最值的方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． [跟踪训练3] (1)已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为(0，b).若|PF2|－|PQ|有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是________． 解析：由双曲线的定义，P为双曲线右支上任意一点，可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝|PF1|－2a，则|PF2|－|PQ|＝|PF1|－|PQ|－2a≤|F1Q|－2a，当P，Q，F1三点共线时，取得最大值， 由点P为双曲线右支上任意一点，可得直线QF1的斜率小于渐近线bx－ay＝0的斜率，即<，所以e＝>，即双曲线C的离心率的取值范围为(，＋∞). 答案：(，＋∞) (2)(2026·沙坪坝期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(x0，1)，其焦点为F，若|MF|＝1. ①求x0的值以及抛物线C的方程； ②过点F斜率为k(≤k≤1)的直线交抛物线于A，B两点，求△ABM面积的取值范围． 解：①由题意可知，抛物线的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，则|MF|＝x0＋＝1，且点M(x0，1)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则2px0＝1，即x0＝，联立解得 所以抛物线C的方程为y2＝2x. ②由①可知，F(，0)，M(，1)，抛物线C的方程为y2＝2x， 由题意可设，直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且m＝∈[1，]， 联立 消去x可得y2－2my－1＝0， 则Δ＝4m2＋4>0，可得y1＋y2＝2m，y1y2＝－1，则|AB|＝·＝2(m2＋1)， 又因为点M(，1)到直线AB：x－my－＝0的距离d＝， 则△ABM面积S△ABM＝×d×|AB|＝××2(m2＋1)＝m， 构造函数f(m)＝m，m∈[1，]， 显然f(m)在[1，]上单调递增，且f(1)＝，f()＝， 可知f(m)在[1，]上的值域为[，]， 所以△ABM面积的取值范围为[，]. 1．已知AB是过抛物线C：y2＝4x焦点的弦，且|AB|＝10，则线段AB中点的横坐标为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选A．因为抛物线C：y2＝4x，所以p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为弦AB过抛物线的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝10，则x1＋x2＝8，所以线段AB中点的横坐标为＝4. 2．(多选)已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长一定相等的是(　　) A．kx＋y－2＝0 B．kx＋y＋1＝0 C．kx＋y－1＝0 D．kx－y－1＝0 解析：选BCD．直线l：y＝kx＋1过定点(0，1)， 对于A，kx＋y－2＝0，即y＝－kx＋2，过定点(0，2)，两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等，故A错误； 对于B，kx＋y＋1＝0，即y＝－kx－1，两直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相等，故B正确； 对于C，kx＋y－1＝0，即y＝－kx＋1，两直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相等，故C正确； 对于D，kx－y－1＝0，即y＝kx－1，两直线关于原点对称，被椭圆E所截得的弦长相等，故D正确． 3．已知直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且弦AB的中点为M(3，)，则直线l的方程为________________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝3，又 两式相减得－＝0， 即－＝0， 因为x1≠x2，整理得＝， 所以直线l的方程为y－＝(x－3)，即3x－2y－6＝0. 答案：3x－2y－6＝0 4．已知椭圆M：＋＝1(a>)的长轴长是短轴长的倍． (1)求M的方程； (2)若倾斜角为的直线l与M交于A，B两点，线段AB的中点坐标为(m，)，求m. 解：(1)由题意可得2a＝×2，得a2＝6，所以M的方程为＋＝1. (2)由题意得kAB＝tan ＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意可得x1≠x2，且x1＋x2＝2m，y1＋y2＝1，又A，B为椭圆M上两点， 则两式相减得＋＝0，则＋×＝＋×1＝0，解得m＝－1. 经检验，点(－1，)在椭圆M内， 所以m＝－1. 1．已学习：弦长问题、中点弦问题、与弦长有关的最值问题． 2．须贯通：直线与圆锥曲线相交的弦长问题． 3．应注意：容易忽略直线斜率不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $