专题2.1.2 椭圆的简单几何性质（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学椭圆的简单性质这一核心知识点，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等几何性质，通过思维导图构建从定义到应用的知识支架，衔接前后学习脉络。 资料设计融入“即学即练”强化理解，题型分层从基础性质求解到离心率取值范围等综合应用，培养学生用数学眼光观察几何特征、用数学思维推理性质关系，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题2.1.2椭圆的简单性质 教学目标 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等几何性质； 理解离心率对椭圆扁平程度的影响； 能够利用椭圆几何性质求顶点、焦点、范围、离心率； 掌握椭圆焦半径公式，会处理直线与椭圆简单位置关系，会求椭圆简单综合问题。 教学重难点 1.重点 椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴； 理解离心率与椭圆扁平程度的关系； a,b,c,e之间的换算关系：。 2.难点 离心率大小变化对椭圆形状的影响； 椭圆焦半径的理解与应用； 几何性质与椭圆定义综合求离心率； 椭圆中三角形、焦点三角形综合计算。 以焦点在x轴的椭圆为例。 知识点 1：范围 由方程变形可得： 椭圆落在直线围成的矩形内部。 【即学即练】 已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 知识点 2：对称性 关于轴对称：把y换成-y方程不变； 关于轴对称：把x换成-x方程不变； 关于原点中心对称：把x,y同时换成-x,-y方程不变； 椭圆的对称中心叫作椭圆的中心。 【即学即练】 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则_____. 知识点 3：顶点坐标 椭圆与坐标轴的交点叫顶点。 长轴顶点：；长轴长2a，长半轴长a 短轴顶点：；短轴长2b，短半轴长b 焦点在y轴椭圆： 长轴顶点，短轴顶点。 知识点 4：离心率e 定义：，由a>c>0，得。 a,b,c,e换算： 离心率对椭圆形状影响： e越接近1：c越接近a，b越小，椭圆越扁； e越接近0：c越接近0，b越接近a，椭圆越圆； e=0，图形退化为圆（不属于椭圆）。 【即学即练】 已知椭圆（）的离心率为，则______． 知识点 5：焦点三角形 设P是椭圆上任意一点，为左右焦点。 定义关系：，焦距； 三角形周长：； 面积：。 知识点 6：焦半径（焦点在x轴） 椭圆上点左焦半径：右焦半径： 焦点在y轴上，焦半径公式变为：。 知识点 7：椭圆的通径 过焦点垂直长轴的弦叫通径，通径长：，椭圆最短的焦点弦。 【即学即练】 已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________． 题型 01椭圆基础几何性质求解 【典例1】椭圆的离心率为___________. 【变式1】已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________． 【变式2】若椭圆（）长轴长为4，则焦距为________ 【变式3】已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 题型 02 由几何条件求椭圆标准方程 【典例1】求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)点，，，中恰有三个点在椭圆上. 则该椭圆方程为： 【变式1】已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线经过点，与椭圆交于，两点（异于左、右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证为定值． 【变式2】 （1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【变式3】已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 题型 3：离心率求值（基础） 【典例1】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【变式1】通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【变式3】椭圆的离心率为___________. 题型 4：求离心率的取值范围（高频难点） 【典例1】椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 5：焦点三角形相关计算 【典例1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与交于，两点（异于的左、右顶点），则（   ） A．椭圆的长轴长为2 B．的周长为8 C．的最大值为4 D．当为的上顶点时， 【变式1】已知椭圆的左､右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．为椭圆上顶点时求的面积. 【变式2】 设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 【变式3】已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 1．若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 4．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的一个焦点，则这个点到的距离之和为（   ） A． B． C． D． 10．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 11．过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 12．记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 13．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 14．椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 16．已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 17．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 18．已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（   ） A． B．1 C．2 D． 21．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 23．已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 24．椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 25．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 2．（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 3．已知椭圆：的离心率为，且椭圆经过点，，是椭圆的左、右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆上一点，，则三角形的面积． 4．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 5．已知椭圆的离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 6．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， (1)求椭圆的标准方程 (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 7．已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.2椭圆的简单性质 教学目标 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等几何性质； 理解离心率对椭圆扁平程度的影响； 能够利用椭圆几何性质求顶点、焦点、范围、离心率； 掌握椭圆焦半径公式，会处理直线与椭圆简单位置关系，会求椭圆简单综合问题。 教学重难点 1.重点 椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴； 理解离心率与椭圆扁平程度的关系； a,b,c,e之间的换算关系：。 2.难点 离心率大小变化对椭圆形状的影响； 椭圆焦半径的理解与应用； 几何性质与椭圆定义综合求离心率； 椭圆中三角形、焦点三角形综合计算。 以焦点在x轴的椭圆为例。 知识点 1：范围 由方程变形可得： 椭圆落在直线围成的矩形内部。 【即学即练】 已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 知识点 2：对称性 关于轴对称：把y换成-y方程不变； 关于轴对称：把x换成-x方程不变； 关于原点中心对称：把x,y同时换成-x,-y方程不变； 椭圆的对称中心叫作椭圆的中心。 【即学即练】 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则_____. 【答案】35 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 知识点 3：顶点坐标 椭圆与坐标轴的交点叫顶点。 长轴顶点：；长轴长2a，长半轴长a 短轴顶点：；短轴长2b，短半轴长b 焦点在y轴椭圆： 长轴顶点，短轴顶点。 知识点 4：离心率e 定义：，由a>c>0，得。 a,b,c,e换算： 离心率对椭圆形状影响： e越接近1：c越接近a，b越小，椭圆越扁； e越接近0：c越接近0，b越接近a，椭圆越圆； e=0，图形退化为圆（不属于椭圆）。 【即学即练】 已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【详解】显然，故，解得. 知识点 5：焦点三角形 设P是椭圆上任意一点，为左右焦点。 定义关系：，焦距； 三角形周长：； 面积：。 知识点 6：焦半径（焦点在x轴） 椭圆上点左焦半径：右焦半径： 焦点在y轴上，焦半径公式变为：。 知识点 7：椭圆的通径 过焦点垂直长轴的弦叫通径，通径长：，椭圆最短的焦点弦。 【即学即练】 已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________． 【答案】 【分析】过椭圆焦点的最短弦即为通径，计算即得解. 【详解】过椭圆焦点的最短弦即为通径，椭圆的通径长为，由题可知，解得. 故答案为：. 题型 01椭圆基础几何性质求解 【典例1】椭圆的离心率为___________. 【答案】/ 【详解】由椭圆方程可知其长半轴长，短半轴长为， 则椭圆的半焦距，故其离心率为. 【变式1】已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________． 【答案】 【分析】过椭圆焦点的最短弦即为通径，计算即得解. 【详解】过椭圆焦点的最短弦即为通径，椭圆的通径长为，由题可知，解得. 故答案为：. 【变式2】若椭圆（）长轴长为4，则焦距为________ 【答案】 【分析】根据椭圆方程得到，根据长轴长求出，利用求出，进而得到焦距. 【详解】由椭圆，得，又长轴长， 所以，所以，焦距为， 故答案为：. 【变式3】已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 题型 02 由几何条件求椭圆标准方程 【典例1】求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)点，，，中恰有三个点在椭圆上. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆的性质设椭圆方程，代入点计算即可； （2）设圆的标准方程，利用待定系数法计算即可； （3）由椭圆的对称性先确定在椭圆上的三点，再待定系数计算椭圆方程即可. 【详解】（1）由题意可知的焦点在x轴上，不妨设椭圆方程为， 代入得，整理得，解之得，(负值舍去), 即该椭圆方程为：； （2）设圆的方程为， 代入三点、、可得： ，整理得， 解之得，即该圆方程为：； （3）由于，两点关于x对称，故这两点必在椭圆上， 根据对称性可知点也必在椭圆上，则不可能在椭圆上， 由此可知椭圆过的三点为， 设椭圆方程为：， 带入点坐标有，则， 则该椭圆方程为： 【变式1】已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线经过点，与椭圆交于，两点（异于左、右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证为定值． 【分析】（1）由离心率得到的关系，设椭圆方程为：，代入椭圆过的点坐标，求出椭圆方程； （2）设()，，联立得所以由表示， ，再求证为定值. 【详解】（1）依题意得所以， 又，得，则椭圆方程为：， 又椭圆过点，所以：，所以=2 所以椭圆标准方程为； （2）略. 【变式2】 （1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 【变式3】已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1)离心率为，椭圆方程为； (2). 【分析】（1）由题意计算出椭圆的，即得离心率； （2）利用椭圆的定义以及条件，列方程，可解出的值，即得面积. 【详解】（1）椭圆 的离心率 ， 对于椭圆 ，焦点为 和 ，焦距，所以. 又椭圆的离心率 ，得， 再由，得， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）椭圆 的半长轴 ， 由椭圆的定义知，任意点 在椭圆上，有， 联立得，解方程得， 由得：，故， 故的面积. 题型 3：离心率求值（基础） 【典例1】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解． 【详解】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 【变式1】通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得出椭圆的焦点在轴上，根据椭圆通径的长为以及椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上， 所以，，， 因为椭圆的通径长为6，所以，即，解得， 故椭圆的离心率. 故选：C 【变式2】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 【变式3】椭圆的离心率为___________. 【答案】/ 【详解】由椭圆方程可知其长半轴长，短半轴长为， 则椭圆的半焦距，故其离心率为. 题型 4：求离心率的取值范围（高频难点） 【典例1】椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 题型 5：焦点三角形相关计算 【典例1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与交于，两点（异于的左、右顶点），则（   ） A．椭圆的长轴长为2 B．的周长为8 C．的最大值为4 D．当为的上顶点时， 【答案】BC 【分析】对于AB，根据椭圆的几何性质可得；对于C，对已知，结合基本不等式计算求解；对于D，直线的方程与椭圆联立，结合弦长公式计算即可. 【详解】对于A，由题知长轴长为，A错误； 对于B，的周长为，B正确： 对于C，由题知， 所以（当且仅当时取等号），C正确； 对于D，当为椭圆的上顶点时，，又， 则，所以直线的方程为， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立，可得， 解得，， 所以，故D错误． 故选：BC． 【变式1】已知椭圆的左､右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．为椭圆上顶点时求的面积. 【答案】 【分析】根据点斜式求解直线的方程，再联立直线与椭圆方程，解得点的坐标，即可利用面积公式求解. 【详解】由椭圆方程，知， 当为椭圆上顶点时，又， 则直线的方程为，即， 联立，解得或，， 则． 【变式2】 设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 【答案】(1)设，，， 根据椭圆的定义可得， 由正弦定理得， 所以， 所以离心率. (2)最小值为， 最大值为. 【分析】（1）先利用正弦定理得，再根据证明； （2）利用立方和公式得=，再根据的取值范围求的最值. 【详解】（1）略 （2） =， 由椭圆性质可得，， ， 所以当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值为， 所以的最小值为，最大值为. 【变式3】已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1)离心率为，椭圆方程为； (2). 【分析】（1）由题意计算出椭圆的，即得离心率； （2）利用椭圆的定义以及条件，列方程，可解出的值，即得面积. 【详解】（1）椭圆 的离心率 ， 对于椭圆 ，焦点为 和 ，焦距，所以. 又椭圆的离心率 ，得， 再由，得， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）椭圆 的半长轴 ， 由椭圆的定义知，任意点 在椭圆上，有， 联立得，解方程得， 由得：，故， 故的面积. 1．若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等面积法建立方程，表示出P横坐标，再根据△PF1F2的内切圆的半径取值范围求解. 【详解】由题可知，所以，， 设△PF1F2的内切圆的半径为， 所以， 又，所以，即 又，所以，所以， 所以，因为 所以所以， 所以或，所以点P横坐标的取值范围是 2．已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 3．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 4．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 5．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 6．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 7．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】首先化为椭圆的标准方程，根据方程表示椭圆，以及原点在椭圆内，建立不等式即可求解. 【详解】椭圆的方程可化为① 一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，. 另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得. 综上可得或. 故选：C 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为，则，即，， 连接，由关于原点对称，关于原点对称，    得四边形为平行四边形，， 则，而点与点关于直线对称， 因此，， 所以四边形的周长为. 9．把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的一个焦点，则这个点到的距离之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可计算求解． 【详解】记个点分别为，如图： 设椭圆的左焦点为，右焦点为，由题意知， 由椭圆的对称性得， 所以， ， ， 累加得， 所以这个点到的距离之和为. 故选：D. 10．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 11．过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 12．记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可. 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为， 由消去得，而，解得， 直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2. 13．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 14．椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 15．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的关系、椭圆性质及图形关系计算求解即可. 【详解】因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 16．已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可知，椭圆的焦点在轴上且，为椭圆的上顶点，求出，进而得出，即可求出椭圆的标准方程． 【详解】椭圆的一个焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且， 因为椭圆过点，可知为椭圆的上顶点，所以， 所以， 则椭圆的标准方程为． 故选：C． 17．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】先求出，由可得，，进而得到直线的方程为，，可求得，再建立方程可求得，可得，进而结合椭圆定义求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以直线的方程为， 联立，解得或，即， 则，， 由，则，则， 则，即， 则，整理得，即， 又，则，即， 则，， 则直线的方程为，而椭圆， 联立，解得或，即， 则，解得，则， 所以的周长为. 故选：B. 18．已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定椭圆的顶点坐标，再设点的坐标，求过该点与顶点连线的方程，算出截距，再得到截距相关线段长度乘积，化简即可. 【详解】   椭圆的右顶点和上顶点为， ，， 设，又点为椭圆上的一点，，即， 又直线的斜率，直线的方程为， 令，可得，则， 又直线的斜率，直线的方程为， 令，可得，则， ， 化简上式 把代入，得 ， 故选：D． 19．设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知当为短轴端点时取得最大值，即此时，分情况讨论当椭圆焦点在两坐标轴上时，长轴与短轴的范围，即可得解. 【详解】 由已知当点运动到短轴的端点时，取最大值，此时， 当时，椭圆的长轴在轴上，如图1所示， 令，， 由，可知， 则，则，即； 当时，椭圆的长轴在轴上， 如图2所示，令，， 由，可知， 则，则，即； 综上所述，， 故选：A． 20．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程可得顶点坐标，再由两点间距离公式可得. 【详解】由椭圆，可得， 则，，所以有． 故选：D. 21．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设，，根据，列式，联立即可求解. 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 23．已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，得到，得到长轴长 【详解】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为. 故选：A 24．椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 25．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 1．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得，再根据得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立，即 所以，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 2．（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 3．已知椭圆：的离心率为，且椭圆经过点，，是椭圆的左、右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆上一点，，则三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在中，， 由，得或， 设，则时， 在中，由余弦定理得， 即，解得； 所以， 所以.    4．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 5．已知椭圆的离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由椭圆离心率公式和点满足椭圆方程，以及，联立方程求解即可得答案； （2）①利用点差法中点坐标公式，求出中点的坐标，即可得直线的斜率； ②运用向量数量积的坐标表示，化简整理，解方程求出，即可得直线的方程． 【详解】（1）可得. 故椭圆方程为：． （2）①由条件知， 设，，则满足，， 两式作差得：，化简得， 当时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意； 当时，因为被平分，故， 所以，即直线的斜率． 设直线为，代入椭圆方程可得， 所以，，                       ， ， 故 ， 由得：即，解得 又因为方程①中，所以.                  故所求直线方程为，即 6．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， (1)求椭圆的标准方程 (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，利用题意分别求出即可； （2）利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ， 椭圆的标准方程为； （2）设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即. 7．已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列关系式可得； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可知，，得， 则的离心率为； （2）由（1）知，， 若直线斜率为或不存在，则线段的中点应在坐标轴上， 故设，， 联立，得， 则，得， 故的方程为. 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $