4.2 命题与证明 第1课时教案 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“命题与证明”核心内容，涵盖定义、命题、真命题假命题及改写“如果…那么…”形式等知识点。通过复习实数、方程等旧概念导入，搭建知识支架，唤醒记忆以铺垫新知。 资料特色在于以实例抽象定义与命题概念培养抽象能力，通过议一议、做一做分析命题结构及互逆关系发展推理意识，例题与练习提升数学语言表达，含思维导图总结。助学生巩固知识，为教师提供清晰教学流程与实例。

第四章 三角形 4.2命题与证明 第1课时 一、教学目标 1.通过复习学过的概念初步理解定义的含义，从一般到特殊的过程中，培养出学生的归纳总结能力； 2.通过对定义的理解引出命题的概念，并能够理解真命题和假命题的概念； 3.能将命题改写成“如果、那么”的形式，并写出条件和结论； 4.通过本节课的学习，学生能够体会到数学是一个非常严谨的学科，培养学生明辨数理的能力，并提升学生的知识理论水平. 二、教学重难点 重点：理解定义的含义、命题的概念及真命题和假命题的概念. 难点：能将命题改写成“如果、那么”的形式，并写出条件和结论. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 我们已经学习了许多概念，例如，实数、方程、角平分线等，你能说一说吗？ 预设：①实数：有理数、无理数统称为实数； ②方程：含有未知数的等式叫作方程； ③角平分线：从角的顶点出发，把这个角平均分成两个相等的角的射线叫作这个角的角平分线. 设计意图：通过回顾实数、方程、角平分线等已学概念，帮助学生巩固旧知，唤醒知识记忆，为后续新知识的学习做好概念基础的铺垫，同时引导学生进入学习状态. 【探究新知】 【抽象】 对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 【试一试】 请说出“两点的距离”、“无理数”的定义. 预设：两点的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离； 无理数：若一个数是一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数. 设计意图：通过让学生说出“两点的距离”“无理数”的定义，帮助学生巩固对“定义”概念的理解，同时回顾旧知，加深对具体数学概念定义的记忆，提升知识应用与表述能力. 【议一议】 我们常用陈述句叙述一件事情.仔细阅读下列语句并判断正确与否. (1)-1是自然数； (2)对顶角相等； (3)同位角相等，两直线平行； (4)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 预设：（1）错误；（2）（3）（4）正确. 思考：上述这些语句有什么特征？ 预设：都是在对一件事进行判断. 【抽象】 叙述一件事情的句子(陈述句)要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题； 如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 注意：①可以判断真假的陈述句一定是命题； ②疑问句、感叹句、祈使句都不是命题. 如：“你喜欢数学吗?”“今天天气很好啊！”“作线段AB=CD”都不是命题. 【说一说】 请结合已学数学知识，说出一些命题，并进一步判断真假命题. 预设：①如果|a|=3，那么a=±3. 真命题 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 假命题 ③垂线段最短. 真命题 ④不平行的两条直线相交； 假命题 ⑤如果x2=4，那么x=2； 假命题 ⑥相等的角是对顶角. 假命题 设计意图：通过实例引导学生思考、抽象出命题及真、假命题的概念，再让学生举例，帮助学生理解命题的定义，掌握判断命题的方法，提升对数学语句的辨析与表达能力. 【议一议】 下列命题的表述形式有什么特点? (1)如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； (2)如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角. 预设：上述命题的表述形式都是“如果……，那么……”. 对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论. 【思考】 观察命题(1)与命题(2)，你有何发现？ 预设：命题(1)与命题(2)的条件与结论互换了位置，即命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件. 【抽象】 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 例如：命题(1)和命题(2)就是互逆命题，若把命题(1)称为原命题，则命题(2)是它的逆命题. 【做一做】 下面两个命题是互逆命题吗? (1)如果a是整数，那么a是有理数； (2)如果a是有理数，那么a是整数. 预设：命题(1)的条件是“a是整数”，结论是“a是有理数”； 命题(2)的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”； 由于命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件，于是，命题(1)与命题(2)是互逆命题. 【思考】 当一个命题是真命题时，逆命题一定是真命题吗？ 预设：“议一议”中的原命题与它的逆命题均是真命题. 但是对于“做一做”，由于整数是有理数，于是命题(1)是真命题，又如0.1是有理数，但0.1不是整数，于是命题(2)是假命题. 小结：由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 命题可以简写！ 有时为了叙述简便，对于“如果……，那么……”“若……，则……”形式的命题也可以省略关联词“如果(若)”“那么(则)”. 例如，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简单叙述成“对顶角相等”. 【做一做】 指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么……”的形式. (1)能被2整除的数是偶数；(2)平行于同一条直线的两条直线平行. 预设：命题(1)的条件是“能被2整除的数”，结论是“这个数是偶数”； 如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数. 命题(2)的条件是“平行于同一条直线的两直线”，结论是“两直线平行”； 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行. 设计意图：通过“议一议”“做一做”“思考”等环节，先引导学生观察命题表述形式，抽象出互逆命题的概念；再通过实例判断互逆命题，思考真命题的逆命题的真假性，帮助学生理解互逆命题的定义，掌握判断方法，同时明确真命题的逆命题不一定为真，还渗透命题简化表述的知识，提升学生对命题关系的认知与分析能力. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 经典例题 例1 下列语句中，哪些是命题. (1)张家界真美呀！ (2)作线段AB的垂直平分线. (3)内错角相等，两直线平行. 分析：命题要符合两个条件：（1）可以判断真假，（2）陈述句. 解：(1)“张家界真美呀！”是感叹句，不是命题； (2)“作线段AB的垂直平分线”是祈使句，不是命题； (3)“内错角相等，两直线平行”是陈述句，且是正确的，是命题. 注意：疑问句、感叹句、祈使句都不是命题. 例2 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它们的逆命题. (1)三角形的内角和为180°. (2)一个正数和一个负数的和是负数. 分析：将原命题的条件与结论互换就是原命题的逆命题. 解：(1)如果3个角是一个三角形的内角，那么这3个角的和为180°. 逆命题：如果3个角的和为180°，那这3个角是一个三角形的三个内角. (2)如果一个数是一个正数和一个负数的和，那么这个数是负数. 逆命题：如果一个数是负数，那这个数是一个正数和一个负数的和. 注意：将命题改写成“如果……，那么……”的形式，可以适当的添加一些修饰词. 设计意图：通过经典例题，帮助学生巩固命题的判断方法，掌握命题改写及逆命题书写的技巧，加深对命题相关概念的理解，提升运用知识解决问题的能力. 【课堂练习】 自选习题 1.举出一些学过的定义的例子. 解：①如果两个角的和是90°，那么这两个角互余. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互补. ③一周角等于360°，一平角等于180°. 教材习题 2.下列语句中，哪些是命题? (1)9的平方根是3. (2)任何数的平方都大于0吗? (3)当x用2代入时，多项式x2-5x+6的值为0. 解：(1)(3)是命题，(2)是疑问句，不是命题. 自选习题 3.指出下列命题的条件和结论： (1)若a=b，则5a=5b (2)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90° (3)如果∠1=∠2，∠2=∠3；那么∠1=∠3 (4)两直线平行，同位角相等 解：(1)条件：a=b，结论：5a=5b (2)条件：AB垂直CD于点O，结论：∠AOC=90° (3)条件：∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3 (4)条件：两直线平行，结论：内错角相等. 教材习题 4.下列四个命题中(1)与(2)，(3)与(4)分别是互逆命题吗? (1)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等； (2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (3)如果两个数相等，那么它们的绝对值相等； (4)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等. 解：(1)与(2)，(3)与(4)都是互逆命题. 5.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式. (1)两直线相交，只有一个交点； (2)互为相反数的两个数之和为0. 解：(1)如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点； (2)如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0. 自选练习 6.将下列命题简写. (1)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同旁内角互补； (2)如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形至少有2个锐角. 解：(1)两直线平行，同旁内角互补； (2)锐角三角形至少有2个锐角. 7.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它们的逆命题. (1)能被2整除的数也能被4整除. (2)等角的余角相等. 解：(1)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. 逆命题：如果一个数能被4整除，那么这个数也能被2整除. (2)如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等. 逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $