3.1 二次根式的概念及性质 第1课时教案 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该教案聚焦二次根式的概念、有意义条件及性质，通过复习平方根、算术平方根概念搭建学习支架，衔接新旧知识，为新知探究奠定基础。 以实例抽象概念培养抽象能力，“做一做”推导性质发展推理意识，分层练习提升应用意识，思维导图总结知识。助学生深化理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第三章 二次根式 3.1二次根式的概念及性质 第1课时 一、教学目标 1.了解二次根式的概念，理解二次根式在什么范围内有意义； 2.掌握二次根式的两个重要性质； 3.通过对二次根式性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识. 二、教学重难点 重点：了解二次根式的概念，理解二次根式在什么范围内有意义. 难点：掌握二次根式的两个重要性质. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 1.什么叫作平方根? 预设：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 2.什么叫作算术平方根? 预设：如果 x2 = a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用(a≥0)表示. 3.什么数有算术平方根? 预设：正数和0有算术平方根，负数没有平方根. 设计意图：通过复习平方根、算术平方根的概念及其性质，为后续知识学习筑牢基础，做好衔接. 【探究新知】 【思考】 (1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? 预设：2的算术平方根是，3的算术平方根是，5的算术平方根是. (2)用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度，若已知地球的半径R，则第一宇宙速度v是多少?(用带有根号的式子表示) 预设：因为2且速度一定大于0，所以第一宇宙速度 (3)比较(1)(2)的结果，它们在表达形式上有什么共同特征? 预设：①都含有“”；②下的数都是非负数. 即等都是形如的形式. 【抽象】 一般地，形如的式子叫作二次根式.根号下的数叫作被开方数. 两个必备特征： ①外貌特征：含有“ ”；②内在特征：被开方数a ≥0 注意：①二次根式的根指数是2；②被开方数a可以是数，也可以是式子. 设计意图：通过具体数的算术平方根表示、第一宇宙速度公式推导，引导观察共性，抽象出二次根式概念，让学生经历从实例到定义的归纳过程，理解二次根式的特征与内涵. 【议一议】 每一个正实数a有两个平方根，它们如何表示？负实数a有没有平方根？ 预设：每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和−，其中称为a的算术平方根；同时，在实数范围内，负实数没有平方根. 因此，只有当被开方数是非负实数时()，二次根式才在实数范围内有意义（在初中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义）. 设计意图：通过探讨正实数平方根表示、负实数有无平方根，关联二次根式，让学生理解二次根式有意义的条件（被开方数非负），建立知识联系，深化对二次根式的认知. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 典型例题 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 分析：根据二次根式的概念及两个必备特征进行解答. 解： (1) 式满足二次根式的条件，是二次根式； (2)式没有根号，不是二次根式； (3)式根号下的数不是非负数，不是二次根式； (4)式根指数不是2，是3，不是二次根式. 注意：二次根式必须含有根号，且被开方数为非负数. 教材例题 例2 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义? 分析：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数进行解答. 解: 由x−1≥0，解得x≥1 因此，当x≥1时，在实数范围内有意义. 注意：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. 设计意图：通过两道典型例题，从概念辨析（判断二次根式）和条件应用（根式有意义的实数范围）入手，巩固二次根式的定义与被开方数非负的要求，帮助学生精准掌握知识要点. 【思考】 对于非负实数a， 吗？ 预设：对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 例3 计算： 分析：根据 进行解答. 解: 注意：①负数的偶次幂是正数，；②根号前面有数字时，先按照积的乘方展开，再用性质计算. 设计意图：先借思考环节推导性质，再用例题巩固应用，让学生理解并掌握该公式及运算注意事项，强化知识吸收. 【做一做】 填空： 预设：由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a≥0时，根据算术平方根的意义，有. 结论： 故（1）2，（2）1.2. 预设：①由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一个平方根.当a＜0时，-a＞0，根据算术平方根的意义，有. ②由(1)(3)：，，也可得： 结论： 故（3）2，（4）1.2. 归纳：由此，在实数范围内，对于任意的实数a，有： 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式具有双重非负性： ①二次根式的被开方数非负；②二次根式的值非负. 例4 计算： （2） 分析：根据进行解答即可. 注意：二次根式的值为非负数. 设计意图：通过“做一做”填空，推导的性质，再借例题巩固，让学生掌握二次根式双重非负性及化简规则，深化对二次根式的理解. 【课堂练习】 教材习题 1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义? 解： (1)由1−x≥0，解得x≤1 因此，当x≤1时，在实数范围内有意义. (2)由2x−3≥0，解得x≥ 因此，当x≥时，在实数范围内有意义. 2.计算： 解： 3.计算： 解： 自选练习 4.下列式子中，不属于二次根式的是（ ） 答案：C. 5.式子有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 答案：A. 注意：同时要满足被开方数≥0，分母≠0. 6. 计算： 7.已知，求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ，解得x=3， ∴y=8，∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $