3.2 二次根式的乘法和除法 第2课时 教学设计 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式除法，核心为商的算术平方根性质及除法法则。通过复习积的算术平方根性质与乘法法则导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 资料亮点在于以“计算-观察-猜想-证明”引导自主探究，培养推理意识与创新意识，如通过实例推导性质法则。“议一议”对比不同算法，发展理性思维，思维导图总结知识脉络。助力学生提升运算与探究能力，为教师提供清晰教学流程与实例支撑。

第三章 二次根式 3.2二次根式的乘法和除法 第2课时 一、教学目标 1.理解并掌握商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则，并能应用法则进行化简及计算； 2.运用商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则解决实际问题； 3.通过对商的算术平方根的性质及二次根式除法法则的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力； 4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识. 二、教学重难点 重点：理解并掌握商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则，，并能应用法则进行化简及计算. 难点：运用商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则解决实际问题. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 1.积的算术平方根的性质是什么? 预设：积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 即 2.二次根式的乘法法则是怎样的？ 预设：二次根式的乘法法则：两个非负数的算术平方根的积，等于它们积的算术平方根. 即 利用已学知识，你能计算吗？ 设计意图：通过复习积的算术平方根性质和二次根式乘法法则，为后续探究商的算术平方根的性质及除法法则做知识铺垫，衔接新内容. 【探究新知】 【思考】 (1)计算： ，_______ 预设： (2)观察计算结果，你发现了什么? 猜想： (3)你能证明上述猜想吗？ 证明：一般地，如果a>0， 因此， 互为倒数. 设a>0，b≥0，则 因此 【抽象】 商的算术平方根的性质： 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 即 特别注意：①a作为分母，不能为0； ②在运用性质时，要确保每步在实数范围内有意义. 设计意图：通过计算、观察、猜想、证明，引导学生自主探究商的算术平方根性质，经历知识形成过程，理解并掌握该性质，提升逻辑推理与归纳能力. 【说一说】 把反过来，即是否成立呢？ 【探究】 (1) 计算： ，. 解： (2)观察(1)中的每组算式，你能得到什么规律？ 猜想：当a>0，b≥0时， 思考：你能证明吗？ 证明：一般地，当a>0，b≥0时，由于 因此， 【抽象】 二次根式的除法法则： 被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，等于它们商的算术平方根. 即 特别注意：①被开方数b是非负数、a是正数，因为分母不能为0； ②二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质是互逆的. 设计意图：先借“说一说”引发对商的算术平方根性质逆用的思考，再通过“探究”计算、观察、猜想、证明，抽象出二次根式除法法则，让学生理解法则互逆性，掌握知识形成逻辑. 【做一做】 计算：. 解： 二次根式的除法法则 商的算术平方根性质 【思考】 上式计算后的结果为 ，是否可以？ 预设：不可以，不是最简二次根式. 注意：二次根式运算的最后结果一定要化为最简二次根式或整式. 设计意图：通过“做一做”运用二次根式除法法则计算，结合“思考”强调结果需化为最简二次根式，让学生掌握运算步骤与化简要求，规范二次根式除法运算流程. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 化简下列二次根式： 分析：根据商的算术平方根的性质进行化简. 解：； 注意：化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式. 例2 计算： 分析：根据二次根式的除法法则进行计算. 解： 归纳：当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式除法法则进行运算，即：把系数之商作为系数，被开方数的商作为被开方数，用式子表示为： 设计意图：通过不同类型二次根式除法例题，涵盖纯根式、含系数及符号情况，巩固除法法则，强调结果最简，归纳系数与被开方数运算方法，提升学生运算与化简能力 . 【议一议】 小华和小楠两名同学在计算时，做法分别如下： 你更喜欢哪种做法? 预设：两种做法都正确，从步骤简洁性看，小华做法直接，更简洁高效，利用除法法则一步转化计算，再化简二次根式；从化简情况来看，小楠是先化简再计算，思路清晰，简化后续进一步的计算过程. 若追求步骤简洁，选小华；若想体现化简过程，可选小楠. 例3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足关系式(其中R是地球半径).现有两座塔高分别为h1=600m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少? 解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2. 因为，600m=0.6km，450m=0.45km， 所以 经典例题 例4化简： 解： 注意：利用除法法则，先将被开方数相除，再把能开得尽方的因数或因式开出来，化简结果. 设计意图：借“议一议”对比两种计算方法，明确不同思路合理性，再用例题巩固化简，让学生掌握二次根式除法化简步骤，灵活运用法则，提升运算与选择合适方法的能力.  【课堂练习】 教材例题 1.化简下列二次根式： 解： 2.计算： 解： 自选习题 3.在下列根式中，最简二次根式是( ) 答案：C. 4. 答案： 5.计算： 解： 6.计算： 解： 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $