4.2 命题与证明 第3课时教案 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“命题与证明”第3课时，核心内容为定理、推论的概念及互逆定理关系。通过复习真命题判断方法和互逆命题定义搭建支架，衔接旧知与新知，引导学生从已有认知过渡到定理、推论的系统学习。 此资料以“列举-抽象-探究-证明”为主线，如让学生列举真命题抽象出定理概念，通过三角形外角和计算、猜想及证明培养抽象能力与推理意识，例题规范证明步骤提升数学语言表达。助力学生夯实逻辑推理基础，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第四章 三角形 4.2命题与证明 第3课时 一、教学目标 1.理解掌握定理、推论的概念和互逆定理之间的关系； 2.能熟练运用基本事实、定理、推论进行推理，掌握证明命题的基本步骤和方法； 3.通过操作、观察、交流、分析、推理、总结归纳等活动学习互逆定理间的关系，掌握证明命题的基本步骤和方法； 4.培养学生的观察能力、理解分析能力、逻辑推理能力、总结归纳能力，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 二、教学重难点 重点：理解掌握定理、推论的概念和互逆定理之间的关系. 难点：能熟练运用基本事实、定理、推论进行推理，掌握证明命题的基本步骤和方法. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 师生活动：教师提出问题，学生思考后回答. 1.如何判断一个命题是真命题呢? 预设：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 2.什么是互逆命题？ 预设：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 设计意图：通过复习回顾真命题的判断方法和互逆命题的定义，帮助学生巩固旧知，为后续学习相关拓展内容（如逆命题真假判断等）做好知识铺垫，使学生快速进入学习状态. 【探究新知】 【说一说】 我们已经学了哪些真命题？请与同学说一说. 预设：①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行； ③两直线平行，内错角相等；④内错角相等，两直线平行； ⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥两直线平行，同旁内角互补； ⑦三角形的内角和等于180°； ⑧三角形的外角等于不相邻的两内角和. 【抽象】 经过证明为真的命题叫作定理. 例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如：利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 设计意图：通过让学生列举真命题，引导其回顾旧知，进而抽象出定理、推论的概念，帮助学生明确定理与推论的定义，加深对真命题相关知识的理解与系统认知. 【探究】 如图，在△ABC中，已知∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF是△ABC的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 预设：因为∠ACE=180°-40°=140°， ∠CBD=180°-60°=120°， ∠BAF=180°- 80°= 100°. 所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°+100°=360°. 猜想：三角形的三个外角之和等于360°. 【思考】 你能证明上述猜想吗? 证明：如图，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC，∠ACE=180°-∠ACB， 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE =(180°-∠BAC)+(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB) =540°-(∠BAC+∠ABC+∠ACB) =540°- 180°= 360°. 由此可得，定理：三角形的外角和等于360°. 设计意图：通过探究三角形外角和，先让学生计算具体三角形外角和并猜想结论，再引导证明，帮助学生理解三角形外角和为360°，掌握探究与证明几何结论的方法，提升逻辑推理能力. 【抽象】 回想刚刚提到的①-⑥命题，如果我们把①③⑤作为原命题，那么②④⑥称为逆命题；以①②为例： ①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行； 平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等，是真命题； 平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行，是真命题. 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理并将这两个定理称为互逆定理. 例如，平行线的性质定理1(两直线平行，同位角相等)与平行线的判定定理1(同位角相等，两直线平行)是互逆定理. 【说一说】 说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假. (1)对顶角相等. 预设：逆命题：相等的角是对顶角，是假命题. (2)两直线平行，内错角相等. 预设：逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题. （2）中的原命题与逆命题是定理与逆定理. 注意：①每个命题都有逆命题；②每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理. 设计意图：通过抽象出互逆定理的概念，再结合“说一说”的实例，帮助学生理解互逆定理，掌握命题逆命题的书写与真假判断，明确定理与逆定理的关系，提升对命题、定理的认知与应用能力. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC. 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得： ∠CAD=∠B+∠C 又∠B=∠C，于是∠CAD=2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD=2∠DA， 从而2∠B=2∠DAE，即∠B=∠DAE. 所以AE//BC(同位角相等，两直线平行). 归纳：证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明. 经典例题 例2 (1)已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2=∠3.求证：∠B+∠F=180°. (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题. 证明：(1)因为∠B+∠1=180°，所以AB/ /CD， 因为∠2=∠3，所以CD/ /EF，所以AB/ /EF， 所以∠B+∠F=180°. (2)在(1)的证明过程中应用的两个互逆的真命题为： 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补. 注意：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 设计意图：通过例1、例2，让学生掌握与图形有关命题的证明步骤，同时回顾互逆真命题的应用，提升几何证明与命题应用能力，明确真、假命题的判断方法. 【课堂练习】 自选习题 1.下列定理中，没有逆定理的是(     ) A. 全等三角形的对应边相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 在一个三角形中，等边对等角 D. 对顶角相等 答案：D. 2.下列说法正确的是(     ) A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 答案：A. 教材习题 3.证明：如图，在四边形ABCD中，如果∠A+∠B=180°，那么∠C+∠D=180°. 证明：因为∠A+∠B=180°， 所以AD∥BC， 所以∠C+∠D=180°. 4.如图，直线AB，CD被直线MN所截，且∠1=∠2.求证：∠3+∠4=180°. 证明：因为∠1=∠2，所以AB∥CD，所以∠3+∠4=180°. 5.如图，线段AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D. 证明：因为∠A+∠C+∠AEC=180°， ∠B+∠D+∠BED=180°， ∠AEC=∠BED 所以∠A+∠C=∠B+∠D. 自选习题 6.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°.求证：AB //CD. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°， 所以∠A+∠1=138°， 又∠A+10°=∠1， 所以∠A+∠A+10°=138°，解得∠A=64°. 所以∠A=∠ACD=64°, 所以AB/ /CD(内错角相等，两直线平行). 7.已知：如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1=∠2，∠A=∠F. 求证：∠C=∠D. 证明：因为∠ANC=∠2，∠1=∠2， 所以∠1= ∠ANC，所以DB//CE， 所以∠C=∠ABD， 因为∠A=∠F，所以AC/ /DF， 所以∠D=∠ABD， 所以∠C=∠D. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $