6.5 正态分布-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦正态分布核心知识点，从频率分布直方图引入，系统梳理连续型随机变量、正态分布定义、正态曲线性质，进而掌握三个特殊区间概率及3σ原则，以定义解析、性质归纳、例题应用为学习支架构建知识脉络。 该资料采用梯度进阶式教学，通过包装食盐质量、考试成绩等实际问题培养数学眼光，题型中对称法和3σ法训练数学思维，应用问题构建模型提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后课时检测帮助学生查漏补缺，强化知识理解。

§5　正态分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]上取值的概率大小. 1.连续型随机变量 人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量,最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的. 2.正态分布 由误差引起的连续型随机变量对应的分布密度函数解析式为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布,是刻画误差分布的重要模型,因此也称为误差模型. 3.正态曲线 正态分布对应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线. 4.正态分布的特点 (1)如果一个随机变量X服从正态分布,那么对于任何实数a,b(a<b),随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值. (2)因为正态分布完全由μ和σ确定,所以正态曲线还具有下列特点: ①当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. ②当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中. 5.正态曲线的性质 如果随机变量X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2. 正态曲线有如下性质: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,关于直线x=μ对称. (3)曲线的最高点位于x=μ处. (4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线. 6.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7;  P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5;  P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.  7.3σ原则 在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值,并称之为3σ原则. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正态分布密度函数中的参数μ,σ的意义分别是样本的均值和方差. (　　) (2)正态曲线是单峰的,其与x轴之间图形的面积是随参数μ,σ的变化而变化的. (　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称. (　　) (4)在正态分布中,参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计. (　　) (5)若随机变量X~N(μ,σ2),则X可以是离散型随机变量. (　　) (6)正态曲线的对称轴的位置由μ确定,曲线形状由σ确定. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ 2.设随机变量X服从正态分布N(0,1),则P(X≤0)= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为随机变量X服从正态分布N(0,1),所以P(X≤0)=. 3.已知随机变量X~N(2,σ2),P(X≤4)=0.8,那么P(2≤X≤4)= (　　) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.8 解析:选B　因为X~N(2,σ2),所以P(X≤2)=0.5,又P(X≤4)=0.8,所以P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X≤2)=0.8-0.5=0.3. 题型(一)　正态曲线及其性质 [例1]　(多选)早在1733年,法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时,提出了正态分布密度函数的形式,其解析式为f(x)=·e-,x∈R.其中μ∈R,σ>0为参数.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,下列关于正态分布密度函数及图象的特点的说法中,正确的有 (　　) A.曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称 B.曲线在x=μ处达到峰值 C.当σ较小时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布分散;当σ较大时,峰值高,正态曲线“高瘦”,表示随机变量X的分布集中 D.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴 解析:选ABD　当x<μ时,y=-单调递增,则f(x)=e-单调递增,当x>μ时,y=-单调递减,则f(x)=e-单调递减,又f(μ+x)=e-,f(μ-x)=·e-,所以f(μ+x)=f(μ-x),故曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,故A正确;因为-≤0,有≤1,因此≤,当且仅当x=μ时,等号成立,即曲线在x=μ处达到峰值,故B正确;由选项B可知,当σ越小时,峰值越大,则曲线越“高瘦”,故C错误;因为正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1,且e->0恒成立,所以结合曲线的单调性可知,当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴,故D正确. |思|维|建|模| 利用正态曲线的性质求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求出μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图象可求出σ. 　　[针对训练] 1.[多选]已知三个正态分布密度函数φi(x)=·e-(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列关于μ1,μ2,μ3,σ1,σ2,σ3的大小关系正确的是 (　　) A.μ1<μ2=μ3 B.σ1=σ2<σ3 C.μ1>μ2=μ3 D.σ1=σ2>σ3 解析:选AB　正态分布关于x=μ对称,且μ越大图象的对称轴越靠近右边,故第一个曲线的均值比第二个和第三个的均值小,且二,三两个的均值相等,故μ1<μ2=μ3,故A正确,C错误.σ越小,曲线越“高瘦”,则第二个图象σ要比第三个的σ要小,故σ1=σ2<σ3,故B正确,D错误. 2.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.μ1>μ2 B.σ1>σ2 C.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) D.P(X≤μ2)≥P(X≤μ1) 解析:选D　因为X~N(μ1,),Y~N(μ2,),两曲线分别关于x=μ1,x=μ2对称,所以由题图可知,μ1<μ2,所以A错误;因为X的分布曲线“高瘦”,Y的分布曲线“矮胖”,所以σ1<σ2,所以B错误;所以P(Y≥μ2)≤P(Y≥μ1),P(X≤μ2)≥P(X≤μ1),所以C错误,D正确.故选D. 题型(二)　利用正态曲线的性质求概率 [例2]　(多选)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(1<X<3)=0.27,则下列说法正确的是 (　　) A.P(3<X<5)=0.27 B.P(3<X<5)=0.23 C.P(-2<X<1)<P(1<X<3) D.P(-2<X<1)>P(3<X<5) 解析:选AC　由X~N(3,σ2),得μ=3,由=3,得P(3<X<5)=P(1<X<3)=0.27,故A正确,B错误;由μ=3,得P(X<3)=0.5,P(X≤1)=P(X<3)-P(1<X<3)=0.23,所以P(1<X<3)=0.27>0.23=P(X≤1)>P(-2<X<1),故C正确;由上可知,P(-2<X<1)<P(1<X<3)=P(3<X<5),故D错误. |思|维|建|模| 利用正态分布求概率的两种方法 (1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间的概率相等.如: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X>μ+a). (2)“3σ”法:利用随机变量X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别约为0.682 7,0.954 5,0.997 3求解. [针对训练] 3.随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=　　　　.  解析:由随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),可得正态曲线关于x=0对称, 因为P(ξ>2)=0.023,可得P(ξ<-2)=0.023, 所以P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ<-2)-P(ξ>2)=1-0.023-0.023=0.954. 答案:0.954 4.设X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5). 参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 解:(1)因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. 所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7. (2)因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以P(3<X≤5)=[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] =[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] =[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]≈(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 题型(三)　正态分布的应用 [例3]　假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位:g),该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于515 g. (1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515 g的概率为多少; (2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由. 解:(1)设正常情况下,该生产线上生产出来的食盐质量为X g,由题意可知X~N(500,52). 由于515=500+3×5,所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知, P(X>515)=P(|X-3×5|>500)≈×0.27%=0.135%. (2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都大于515 g的概率约为0.135%×0.135%=1.825×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常,检测员的判断是合理的. |思|维|建|模| 随机变量X的取值 　　解题时,应当注意零件尺寸应落在(μ-3σ,μ+3σ]之内,否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,而一旦发生了,就可以认为这批产品不合格. [针对训练] 5.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率为　　　　;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么此次参加考试的学生成绩特别优秀的概率为　　　　.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5)  解析:因为数学成绩服从正态分布N(100,17.52), 则P(100-17.5<X≤100+17.5)=P(82.5<X≤117.5)≈0.682 7, 所以此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率P(X≤82.5)=≈=0.158 65; 又因为P(100-2×17.5<X≤100+2×17.5)=P(65<X≤135)≈0.954 5, 所以此次参加考试的学生成绩特别优秀的概率P(X>135)=≈=0.022 75. 答案:0.158 65　0.022 75 [课时检测] 1.已知正态分布密度函数f(x)=,x∈R,则μ,σ分别是 (　　) A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 解析:选B　由题意得f(x)=e-=·e-,故μ=0,σ=2. 2.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　因为随机变量X服从正态分布N(a,4),所以正态曲线关于x=a对称,且P(X>a)=0.5,由P(X>1)=0.5,可知a=1. 3.如图是三个正态分布X~N(0,0.64),Y~N(0,1),Z~N(0,4)的密度曲线,则三个随机变量X,Y,Z对应曲线的序号依次为 (　　) A.①②③ B.③②① C.②③① D.①③② 解析:选A　由题意,得σ(X)=0.8,σ(Y)=1,σ(Z)=2,因为当σ较小时,峰值高,正态曲线“高瘦”,且σ(X)<σ(Y)<σ(Z),所以三个随机变量X,Y,Z对应曲线的序号依次为①②③. 4.某班有60名同学,一次数学考试(满分150分)的成绩X服从正态分布N(90,σ2),若P(80≤X≤100)=0.6,则本班在100分以上的人数约为 (　　) A.6 B.12 C.18 D.24 解析:选B　因为P(X>100)=0.5-=0.2,所以本班在100分以上的人数约为60×0.2=12. 5.[多选]设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7),若P(ξ<2)=P(ξ>4)=a,则下列结论正确的为 (　　) A.μ=3 B.P(3≤ξ≤4)=1-2a C.Dξ= D.P(2≤ξ≤3)=-a 解析:选AD　因为P(ξ<2)=P(ξ>4)=a,根据正态曲线的对称性可知,μ==3,故A正确;根据对称性可知,P(3≤ξ≤4)=≠1-2a,故B错误;因为ξ~N(μ,7),所以Dξ=7,故C错误;根据对称性可知,P(2≤ξ≤3)=-a,故D正确. 6.中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)≥5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2 500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为 (　　) 附:若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈0.997 3. A.0.002 7 B.0.5 C.0.841 4 D.0.977 3 解析:选D　骰子向上的点数为偶数的概率p=,故ξ~B,显然np=n(1-p)=2 500×>5,其中np=1 250,np(1-p)=625,故η~N(1 250,252),则μ+2σ=1 250+50=1 300,由正态分布的对称性可知,估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为0.5+×0.954 5≈0.977 3. 7.[多选]在实际生产中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则,若X在[μ-3σ,μ+3σ]外,可以认为生产线是不正常的,已知P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1,0.000 1)(单位:厘米),则下列结论正确的是 (　　) A.P(X=1)= B.P(X<0.99)=P(X>1.01) C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99,1.02]内,可以认为生产线正常 D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95,应对生产线进行检修 解析:选BCD　由题意可得μ=1,σ=0.01.对于A,因为正态分布求的是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0),所以P(X=1)接近于0或P(X≤1)=或P(X≥1)=,故A错误;对于B,因为X服从正态分布N(1,0.000 1),所以其正态曲线关于μ=1对称,所以P(X<0.99)=P(X>1+0.01)=P(X>1.01),故B正确;对于C,因为μ-3σ=0.97,μ+3σ=1.03,即零件长度在[0.97,1.03]内是正常零件,否则就不是正常零件,故C正确;对于D,由C的分析,可知0.95∉[0.97,1.03],所以需要对生产线进行检修,故D正确. 8.(5分)如果ξ~N(μ,σ2),且P(ξ>3)=P(ξ<1)成立,则μ=　　　　.  解析:因为ξ~N(μ,σ2),所以正态曲线关于直线x=μ对称,又P(ξ>3)=P(ξ<1),从而μ==2. 答案:2 9.(5分)某地区高二理科学生有28 000名,在一次模拟考试中,数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤120)=0.7,则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有　　　　人.  解析:由模拟考试中,数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),且P(80<ξ≤120)=0.7, 根据正态曲线的对称性,可得P(ξ>120)===0.15, 所以本次考试中数学成绩在120分以上的大约有28 000×0.15=4 200人. 答案:4 200 10.(5分)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N,为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量　　　次(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ) =0.954 5).  解析:根据正态曲线的对称性知,要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,则(μ-2σ,μ+2σ)⊆(-0.5,0.5)且μ=0,σ=,∴0.5≥2,解得n≥32.故至少要测量32次. 答案:32 11.(10分)设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求c的值;(5分) (2)求P(-4<X≤8).(5分) 附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4. 解:(1)由X~N(2,9)可知,正态曲线关于直线x=2对称. 因为P(X>c+1)=P(X<c-1), 所以2-(c-1)=(c+1)-2,解得c=2. (2)由X~N(2,9),得μ=2,σ=3, 所以P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 12.(10分)某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路线较长不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线?若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线? 解:还有7分钟时: 若选第一条路线,即X~N(5,1),能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5)+P(5<X≤7)=+P(μ-2σ<X≤μ+2σ). 若选第二条路线,即X~N(6,0.16),能及时到达的概率P2=P(X≤7)=P(X≤6)+P(6<X≤7)=+P(μ-2.5σ<X≤μ+2.5σ). 因为P1<P2,所以应选第二条路线. 同理,还有6.5分钟时,应选第一条路线. 13.(15分)为了提高学生的法律意识,某校组织全校学生参与答题闯关活动,共两关.现随机抽取100人,对第一关答题情况进行调查. 分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 人数 10 15 45 20 10 (1)假设分数Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数 (每组数据取区间的中点值),σ2近似为样本方差s2≈212,若该校有4 000名学生参与答题活动,试估计分数在(30,93)内的学生数;(8分) (2)学校规定:分数在[60,100]内的为闯关成功,并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分;只有第一关闯关成功才能闯第二关,第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分;对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中,每位同学第二关闯关成功的概率均为,同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人,记2人本次活动总分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.(7分) (参考数据:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3) 解:(1)样本的平均数 =10×0.1+30×0.15+50×0.45+70×0.2+90×0.1=51, 所以分数Z近似服从正态分布N(51,212), 即μ=51,σ=21,可得μ-σ=30,μ+2σ=93, 所以P(μ-σ<Z<μ+2σ)=P(μ-σ<Z<μ+σ)+P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=×0.682 7+×0.954 5=0.818 6, 所以分数在(30,93)内的学生数约为4 000×0.818 6≈3 274. (2)随机变量X的所有可能取值为10,15,20, P(X=10)==, P(X=15)=××=, P(X=20)=×=, 所以X的分布列为 X 10 15 20 P EX=10×+15×+20×=17.5. 103 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $