5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“二元一次方程与一次函数”同步练习，通过三层梯度设计，覆盖从概念理解到实际应用的知识路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一次函数与方程组关系、图像交点|单选题2/5、填空题13直接考查概念，强化模型意识| |能力提升|图像平移、面积计算、衍生函数|单选题1/7、填空题14结合几何直观，提升运算推理能力| |综合应用|函数与几何综合、实际问题建模|解答题19（轴对称）、20（费用问题），发展应用意识与创新思维|

5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．把直线向上平移得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）交于点，则关于、的方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象经过点，，则它的图象不经过(  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，7），点B的坐标为（5，0），点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．若二元一次方程组的解为则一次函数与的图象的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象与坐标轴围成的面积是2，则m的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：关于x，y的方程组的解为 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 10．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为，则关于的函数关系式为______． 12．直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____． 13．如图，已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_________． 14．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是______；若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则n的值是________． 15．已知直线与直线都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线 直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接，．对于以下结论，正确的有____________． ①方程组的解为；②；③；④当的值最小时，点的坐标为． 三、解答题 16．利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 17．已知直线：经过点． (1)求直线的函数表达式，并在图中画出其函数图象； (2)将直线向上平移3个单位，得到直线，画出该函数图象， ①直接写出直线的表达式为： ②直线与x轴的交点坐标为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)求． 19．阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． (1)参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； (2)如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； (3)如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 20．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车，若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求A、B两种电动车的单价分别是多少元？ (2)该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间之间的对应关系如下图．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为，请根据函数图象信息解决下列问题． ①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班，已知两种电动车的平均行驶速度均为（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择___________种电动车更省钱（填写A或B）； ②两种电动车支付费用相差4元时，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B B D B A B C 1．【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，设向上平移 d 个单位，则直线的解析式为，利用点在直线上和条件求解即可． 【详解】解：设向上平移d个单位得到， ∴ 直线的解析式为， ∵ 经过点， ∴，即， 又 ∵ ， ∴， ∴ 直线的解析式为， 故选： D． 2．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；直接利用交点坐标与方程组解的对应关系得出结果即可． 【详解】解：∵直线与直线（为常数，且）交于点， ∴，即：， ∴关于、的方程组的解是：， 故选：B ． 3．【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的解析式求解及一次函数的图象性质．关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据、的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：将点，代入， 可得方程组：，解得， 所以该一次函数的解析式为． ，， 该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】最短路径问题、求一次函数解析式 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称最短路径问题得到此时最小，继而解得直线的解析式，最后求直线与轴的交点即可解题． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 当△ABC的周长最小时，即最小， 设直线的解析式为：，代入的坐标得， 解得 当时，解得 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式、轴对称求最短路径问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握方程组的解就是两函数图像的交点. 根据方程组的解就是两函数图像交点坐标求解即可. 【详解】解：二元一次方程组的解为， 一次函数与的图象的交点坐标为. 故选：B ． 6．【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】把坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴得， 解得． 7．【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到m的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令y=0可得x=，令x=0可得y=-4， ∴A（，0），B（0，-4）， ∴OA=||，OB=|-4|， ∵S△AOB=2， ∴，即， 整理可得， ∴m=±4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用m分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键． 8．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，掌握两条直线的交点坐标为两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解是解题关键．先把点代入直线解析式中，求得m的值，在根据点的坐标，从而可得方程组的解． 【详解】解：点在直线上， ， 甲说法对； 直线与直线交于点， 关于、的方程组的解为， 乙说法错， 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】设与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据即可求出答案． 【详解】联立， 解得：， ∴P(2，4)． 联立， 解得：， ∴Q(，)． 对于，令，则， 解得：， ∴A(-2，0)． 设与x轴的交点为B， 对于，令，则， 解得：， ∴B(，0)． ∴， ∴ 当时，， 当时，（不合题意）， 当时，． 综上可知的面积为10． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是解题关键． 10．【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为，故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距，故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得：； 故或时，乙比甲多行驶．故④正确； 综上，正确的有3个． 故选：C． 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、三角形三边关系的应用 【分析】根据等腰三角形周长公式推导与的等量关系，再结合三角形三边关系确定自变量的取值范围.即可得到关于的函数关系式． 【详解】解：由题意得 ， 整理得 ， 根据三角形三边关系可得， 将代入不等式组得， 解得 ， ∴关于的函数关系式为． 12．【答案】9 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 13．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两直线的交点即是二元一次方程组的解．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于、的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14．【答案】 3 或 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：根据定义，一次函数的“衍生函数”为， 点在一次函数的“衍生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“衍生函数”图象上， 当时，， 解得：， 当时，，解得：， 则n的值为或， 故答案为：；或． 15．【答案】①②③④ 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称—最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把代入得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【详解】解：直线与直线都经过点， 方程组的解为，故①正确； 把，点代入得， ， 直线， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线， 解方程组得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ，， ， ∴或（舍去），故③正确； 直线交轴于点， ， 作点关于轴的对称点，连接，则， ∴， ∴当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 在中，当时，， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：   两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：   两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 17．【答案】(1)， 函数的图象如图所示． (2)直线的图象如图所示．①；② 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查一次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式和平移规律是解题的关键， （1）利用待定系数法求函数解析式，再利用两点法画出函数图象即可； （2）根据函数平移的性质得到函数图象和解析式，再根据图象与轴的交点，，即可求得答案． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的函数表达式为， 当时，， （2）解：直线的图象如图所示． 将直线向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为，即． 故答案为． ， 当时，， 解得， 直线与轴的交点坐标是． 故答案为． 18．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图象交点问题； （1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图象即可得到答案； （3）求得点的坐标，求出的长，然后根据三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵函数与函数的图象交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得：； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 由图象可得，直线与直线的交点为， ∴方程组即的解集为； （3）解：当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴． ∴． 19．【答案】(1)； (2)直线的表达式为； (3)直线 的表达式为． 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（）先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； （）直线与的交点坐标为，则点关于的对称点坐标为，设直线的解析式为，然后然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，，则两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为，然后利用待定系数法即可求解； 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的表达式为， 故答案为：； （2）解：∵直线与的交点坐标为， ∴点关于的对称点坐标为， 设直线的解析式为， 则 ，解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为． 20．【答案】(1)A种电动车的单价是元，B种电动车的单价是元； (2)①；②或． 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设A种电动车的单价是元，B种电动车的单价是元，根据“购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元”列二元一次方程组求解即可； （2）①根据题意求出小刘需要骑行的时间，再结合函数图象作答即可； ②分别求出和关于的函数关系式，再结合支付费用相差4元分别求解即可． 【详解】（1）解：设A种电动车的单价是元，B种电动车的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：A种电动车的单价是元，B种电动车的单价是元； （2）解：①由题意可知，两种电动车的平均行驶速度均为，小刘家到公司的距离为， 则小刘需要骑行的时间为， 观察函数图象可知，当时，， 所以，小刘选择种电动车更省钱； ②设， 将代入得，解得：， ； 当时，， 当时，设， 将和代入得，解得：， ； 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：（舍）或， 综上可知，两种电动车支付费用相差4元时，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $