5.4 二元一次方程与一次函数 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程与一次函数的关联，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数表达式、交点与方程组的解|单选1-4直接应用概念，如平行直线k值关系| |提升层|面积计算、参数分类讨论|单选5-8结合图形分析，填空11-14需数形结合| |综合层|实际应用、图形变换|解答19-20联系通讯套餐等生活情境，培养应用意识|

5.4 二元一次方程与一次函数 预习自测2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．已知一次函数的图象经过点，并与直线平行，那么这个一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象经过点，点，则该函数图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，直线与x轴、y轴分别相交于E，F．点F的坐标为，点P是直线上的一动点，若的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 6．一次函数，当时，对应的y的值为，则kb的值为（    ） A．15 B． C．或12 D．15或 7．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：关于x，y的方程组的解为 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 9．如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 10．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．一次函数的图象与一次函数的图象互相平行，且经过点，则该一次函数的表达式为______． 12．如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作轴的垂线与三条直线相交，其中．若图中阴影部分的面积是，则________．    13．以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数________的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数________的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取________时，函数________和函数________有相同的函数值________． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 15．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是______；若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则n的值是________． 三、解答题 16．用图象法解二元一次方程组： 17．在平面直角坐标系中，，，． (1)画出直线； (2)求直线所对应的函数解析式； (3)根据图象写出该函数的两条性质． 18．已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 19．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 20．阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解．若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象， 记作直线． 根据上述材料，解答以下问题： (1)请写出的一组解： (用有序数对表示)； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程： 的图象； (3)根据（2）题所画图象，可得到二元一次方程组的解是 ； (4)记直线和的交点为， 请在平面直角坐标系中标出点关于轴对称的点． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D D C A C C 1．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题．根据两函数图象平移可得k的值，再把代入，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为． 故选：B 2．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两个一次函数交点坐标的求解，解题的关键是理解两函数图象的交点坐标是对应方程组的解．联立两个一次函数的解析式组成方程组；解方程组求出x和y的值，得到交点坐标；对比选项得出正确答案． 【详解】解：联立两函数解析式得： 将第一个方程代入第二个方程得：， ∴． 把代入得：． 所以交点Q的坐标为． 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数自变量或函数值 【分析】求出的值，根据两条直线的交点坐标即为由两条直线对应的解析式构成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：把代入，得：， 解得， ∴； ∴关于的二元一次方程组的解是． 4．【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】由A、B坐标求出函数解析式判断即可； 【详解】解：点，点，代入得： ， 解得：， ∴，一次函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确． 故选： C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数，当直线经过一、三象限，当直线经过二、四象限，当直线与y轴正半轴有交点，直线与y轴负半轴有交点． 5．【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的解析式以及一次函数与坐标轴的交点问题．将代入可得解析式，令，可得，据此即可求解． 【详解】解：将代入可得： ∴ 令，可得； ∴ 设点 ∴的面积， 解得：或 ∴或 ∴点P的坐标为或 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【详解】解：由一次函数的性质知，当时，y随x的增大而增大， 所以得， 解得：， 即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得， 解得： 即． 故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 8．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，掌握两条直线的交点坐标为两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解是解题关键．先把点代入直线解析式中，求得m的值，在根据点的坐标，从而可得方程组的解． 【详解】解：点在直线上， ， 甲说法对； 直线与直线交于点， 关于、的方程组的解为， 乙说法错， 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线向下平移8个单位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵直线向下平移8个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得：， ， ∵直线中，当时，， ， 联立方程， 解得， ， ． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为，故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距，故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得：； 故或时，乙比甲多行驶．故④正确； 综上，正确的有3个． 故选：C． 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了平行线之间比例系数的关系，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握以上性质． 先利用平行一次函数的比例系数相等确定的值，再将已知点代入函数表达式求出的值，进而得到一次函数表达式． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象互相平行， ∴， 将点代入，得 ， 解得， 则该一次函数的表达式为， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征．根据题意求出，，同理，从而求出图中阴影部分的面积，进而得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：如图，    把分别代入得： ， ∴，， 同理， ∴图中阴影部分的面积是， ∵图中阴影部分的面积是， ∴， 解得：． 故答案为： 13．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、函数的概念 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数时，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用一次函数与二元一次方程的关系和一次函数与二元一次方程组的关系解决问题． 【详解】解：以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取时，函数和函数有相同的函数值． 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥． 14．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点P的坐标为：． 15．【答案】 3 或 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：根据定义，一次函数的“衍生函数”为， 点在一次函数的“衍生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“衍生函数”图象上， 当时，， 解得：， 当时，，解得：， 则n的值为或， 故答案为：；或． 16．【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：，即 依题意，方程组的解为直线与直线的交点， 如图所示， ∴的解为． 【点睛】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键． 17．【答案】(1) 下图直线AB就是所求作的直线： (2) (3)y随x增大而减小；函数图象经过一、二、四象限 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、坐标系中描点 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，点的坐标，从函数图象获取信息，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中找到点，，然后画出直线即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象，写出两个性质即可，合理就可以，答案不唯一． 【详解】（1）略 （2）解：设直线的解析式为， 把，，分别代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：根据图象，可知y随x增大而减小，函数图象经过一、二、四象限． 18．【答案】(1)； (2) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系． （1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可． （2）根据中心对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解为； （2）解：如图，直线与直线的交点与点关于原点对称， ∴方程组的解为． 19．【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 20．【答案】(1) (2) 过点，画出直线如图： (3) (4) 如图，点即为所求： 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程，一次函数的图象与性质，直角坐标系中点的对称，解题的关键是数形结合． （1）根据直线的点的坐标即为方程的解，即可求解； （2）利用两点作出画出函数的图象即可； （3）观察图象，两直线的交点即为该方程组的解； （4）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点在直线上， 的一组解为， 故答案为：； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 方程过点，， （3）由（2）中的图象可知，二元一次方程组的解是， 故答案为：； （4）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $