5.5 三元一次方程组 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三元一次方程组，以“概念理解-方法应用-综合拓展”分层设计，通过基础题巩固消元法，中档题强化模型应用，拔高题渗透整体思想，适配新授课知识内化与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三元一次方程组定义、基本解法|单选题1考定义，填空题9直接解方程，夯实运算能力| |中档|消元策略、简单应用|单选题5天平平衡问题，填空题13零件配套问题，培养模型意识| |拔高|综合应用、数学思想|单选题7景区路线分析，解答题17整体思想应用，发展推理与创新意识|

5.5 三元一次方程组 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．解方程组，最简便的消元方法是（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 3．已知方程组，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 5．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 6．购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业本5个，中性笔2支共需（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 7．【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 8．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 二、填空题 9．方程组的解为________． 10．解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把______化为______，代入______中，消去______，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用______，消去______，与①组成二元一次方程组． 11．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是________． 中 国 我 梦 0 12．已知单项式与是同类项，则______，______，______． 13．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产_____天，B种零件生产_____天，C种零件生产_____天． 三、解答题 14．解下列方程组： (1) (2) 15．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 16．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 17．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足……①，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 18．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C D B B 1．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【解析】略 3．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．． 【详解】解：， 得： ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键． 4．【答案】C 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去． 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法． 5．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】 解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 6．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，然后根据购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元列出方程组求解即可 【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元， 依题意得， 用①×3-②得：， 购买铅笔支，作业本个，中性笔支共需元． 故选D． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、三元一次方程组的应用 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 8．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可. 【详解】解： 由，得④， 由，得⑤， 由，得， ∴， 由，得⑥， 由，得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的系数表示出来． 9．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 【详解】解：， 得： ； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 10．【答案】 ③ ② 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先观察方程，利用代入法或加减法确定消去哪个未知数计算简单，再根据消去的未知数选择变形即可． 【详解】解：解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把③化为，代入②中，消去，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用，消去，与①组成二元一次方程组． 故答案为：③；，②，，， 【点睛】本题考查的是利用代入消元法与加减消元法解三元一次方程组，能熟练的选择合适的方法解方程组是解本题的关键． 11．【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键． 令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，列出方程组求解即可得到答案． 【详解】解：令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，则 0 则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为， ， 解得 ， ， 则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是， 故答案为：． 12．【答案】 4 6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解三元一次方程组，根据相同字母的指数相同列方程组求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得． 故答案为：4，，6． 13．【答案】 3 12 15 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键． 设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共有30天”列出一个三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天， 根据题意得：解得：， 所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天． 故答案为：3，12，15． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）先运用加减消元法消去x，再运用加减消元法求得、，然后代入①求x即可； （2）先将两个比例式化成二元一次方程，再与第三个方程联立组成三元一次方程组，最后利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：可化为， 得：④， 得：⑤， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， 把、代入①可得：，解得：， 所以，该方程组的解为：． （2）解：方程组可化为， 得：④， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把，代入③可得：，解得：． 所以方程组的解为． 15．【答案】(1)40 (2)1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、代入消元法、加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 16．【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 17．【答案】(1) (2)购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． (3)2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）分别①-②，①+②即可求得； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2-②求得x+y+z=6，即可解决问题． （3）根据“3*5=16，4*8=30”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用2×①-②即可求出结论． 【详解】（1）解：， ①-②得x-y=-1， ①+②得3x+3y=15， ∴x+y=5， 故答案为：-1，5； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 根据题意，得：， ①×2-②，得：x+y+z=6， ∴2x+2y+2z=2×6=12， 答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． （3）依题意得： ， 由2×①-②可得2a+2b+c=2， 即2*2=2a+2b+c=2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $