开学摸底自编测试 -2026-2027学年沪教版五四制数学九年级上册（上海专用）

**基本信息** 沪教版五四制九年级开学摸底卷，全面检测八年级下册数学知识，通过基础题、综合题及实际应用情境，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/18分|多边形内角和、一次函数性质、坐标系等|结合“崇明岛”坐标系情境（数学眼光）| |填空题|12题/36分|外角和、函数平移、几何计算等|设置翻折问题考查空间观念（数学思维）| |解答题|6题/66分|平行四边形证明、函数应用、正方形判定等|注水问题关联实际（数学语言），正方形判定条件选择体现推理能力|

开学摸底自编测试 -2026-2027学年沪教版五四制数学 九年级上册（上海专用） （考试时间100分钟，满分150分） 考试范围：八年级下册全部内容 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 如果一个多边形的边数增加，那么它的内角和（ ） A. 不变 B. 增加 C. 增加 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】设原多边形边数为，计算边数增加前后内角和的差，即可得到内角和的变化情况． 【详解】解：设原多边形的边数为， 则内角和为，边数增加后，新多边形边数为，内角和为， ∴内角和的增加量为：． 2．下列函数中，在其定义域内 y 随 x 的增大而增大的是（ ） A.y=-+6 B.y=+6 C.y= D. y=- 【答案】B 3. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象经过点写出的范围即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是． 4. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是、，则“岛”的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下： “岛”的坐标是． 5.已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A. ∠D＝90° B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD 5.【答案】C 解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形 ABCD 为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形 ABCD 为正方形，故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象应过在二、四象限，故本选项不符合题意； C、一次函数图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； D、一次函数图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，满分36分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【解析】 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴六边形的外角和是度． 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 点到原点的距离为． 9. 如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：设所求一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则这个一次函数的表达式为：． 10. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数经过一、三象限得出，以此可求出的取值范围． 【详解】∵正比例函数的图象经过第一、三象限 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交边于点．当时，________°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，由作图可知，根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图知：， ∴， ∴， ∴. 12. 已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键 14. 已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数的表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中随增大而增大， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中随增大而减小， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； 综上所述，该一次函数的表达式是或． 15. 已知等腰三角形的周长为，设腰与底边长分别为和，那么关于的函数表达式为________．（并写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形周长公式推导关于的函数表达式，再利用三角形三边关系，即边长为正，两边之和大于第三边，列不等式组求解自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：函数表达式为， ， ， 解得：， 因此，关于的函数表达式为：． 16. 如图，在中，D、E分别是边的中点，，垂足为A，，，则AC的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的延长线于点，通过中位线的性质证明，从而证明，得到，从而用勾股定理计算出． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于点， ， ， D、E分别是边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， 由， ， ， ， 在中，由勾股定理得 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点，点D是线段的中点，点E是直线上的一动点，点M为x轴上的一动点．若四边形为平行四边形，则点E的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，然后根据中点坐标公式求出点D的坐标为，设，，根据平行四边形的对角线互相平分得到和的中点重合，然后列出方程组求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴点D的坐标为，即， ∵点E是直线上的一动点，点M为x轴上的一动点， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴和为对角线，且和互相平分，即和的中点重合， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标是． 18.已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 是边 AD 的中点，以直线 BE 为对称轴将△ABE 翻折至△FBE，联结 DF，那么图中与∠AEB 相等的角的个数为 ． 【解答】解：由折叠知，∠BEF＝∠AEB， ∵点 E 是 AD 中点， ∴AE＝DE， ∴ED＝FE， ∴∠FDE＝∠EFD， ∵∠AEF＝∠EDF+∠DFE＝∠AEB＝∠BEF ∴∠AEB＝∠EDF， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠EDF＝∠EFD＝∠BEF＝∠AEB＝∠CBE， 故答案为：4 三、解答题（本大题共6题，满分66分，如无特别说明，本大题作答在答题纸上，须写出证明或计算的主要步骤） 19. 已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的4倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的内角和． 【答案】（1）10； （2）． 【解析】 【分析】（1）设这个多边形的一个外角为α，则与之相邻的内角为，根据邻补角和为列方程并解方程即可； （2）利用多边形内角和公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：设这个多边形的一个外角为α，则与之相邻的内角为， ∵ ∴ 【小问2详解】 内角和= = 答：这个多边形的边数是10，内角和为 20. 如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）1.4 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 21. 某室内游泳馆小型泳池蓄水总量为180立方米，当加水加满时，进水阀门自动停止加水．已知泳池蓄水量（立方米）与注水时间（分钟）的图像如图所示．同时，注水过程中池内水的温度（摄氏度）与时间（分钟）的关系满足：． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当泳池刚好注满水时，池内的水温是多少摄氏度． 【答案】（1） （2）当泳池刚好注满水时，池内的水温是28摄氏度 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将代入求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数的表达式为： ∵点、在函数图像上 ∴ 解得： ∴关于的函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵当泳池刚好注满水时， 即 解得 ∴池内水温 答：当泳池刚好注满水时，池内的水温是28摄氏度． 22. 如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令、，得出，，根据的面积为得出，根据点在轴的正半轴上求出，即可得出一次函数的表达式； （2）过点作轴于，过点作，交延长线于，可得，，，根据旋转的性质得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，得出，，，，把代入，解方程可求出的值，进而可得出双曲线的表达式． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴，，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ∵点，在双曲线上， ∴，，，， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点恰好落在直线上，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴该双曲线的表达式为． 23. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接、、，并且与相交于点，请从①，②，③，④四个关系中选其中两个作为条件，使得四边形为正方形，你选择的条件是：_________（只填写序号），并写出相应的证明过程． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）答案不唯一，填一种情况即可： ①③或①④或②③或②④． 当选择①③时，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）先根据证明，则可得进而可得，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证． （2）根据正方形的判定方法，可选择①③或①④或②③或②④．当选择①③时，可先证平行四边形为矩形，再证平行四边形为菱形，则可得四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键． 24．在等腰▲ABC 中，AB = AC = 2 , BC= 4 ，直线l 垂直平分 AB ，交 AB 于点 O ，点D、E 在直线l 上，且点D 与点E 关于点O 对称，连接AD、DB、BE、EA ． (1)如图 1 ，求证：四边形 ADBE 是菱形； (2)如图 1 ，当 AD 平分 ∠BAC 时，求菱形 ADBE 的周长； (3)当四边形 ADBE 为正方形时，请在图 2 中画出符合题意的正方形ADBE ，再连接CD ，求CD 的长． 【详解】（1）证明： ∵直线l 垂直平分 AB ，点D、E 在直线l 上， ∴ DA = DB, EA = EB ， ∵点D 与点E 关于点O 对称， ∴ OD = OE ， 又AB T DE ，即 AB 垂直平分DE ， ∴ AD = AE ， ∴ DA = DB = EA = EB ， ∴四边形 ADBE 是菱形； （2）解：如图所示，延长 AD 交BC 于点M ， 学科网（北京）股份有限公司 ∵ AB= AC =2, BC =4， 当 AD平分∠ BAC 时， ∴ AM 丄 BC ， CM = MB BC = 2 ， 在Rt ABM 中， AM = =4，设 AD = x ，则BD = x ，DM = 4 - x ， 在Rt DMB 中，DB² = DM² + MB² ， ∴ (4 - x )² + 2² = x²， 解得： x 即 AD ∴菱形 ADBE 的周长为 ……（4 分） （3）解：如图所示，过点C 分别作l 和AB 的垂线，垂足分别为G, F ，过点A 作AM 丄 BC 于点M ， 又∵DE 丄 AB ， ∴四边形GOFC 是矩形， ∴ GO = CF ， CG = OF ， ∵四边形 ADBE 为正方形 由（2）可得 AM = 4 ， 如图所示，当D 在 AB 的下方时， 综上所述， CD = 或 $ 开学摸底自编测试 -2026-2027学年沪教版五四制数学 九年级上册（上海专用） （考试时间100分钟，满分150分） 考试范围：八年级下册全部内容 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 如果一个多边形的边数增加，那么它的内角和（ ） A. 不变 B. 增加 C. 增加 D. 增加 2．下列函数中，在其定义域内 y 随 x 的增大而增大的是（ ） A.y=-+6 B.y=+6 C.y= D. y=- 3. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是、，则“岛”的坐标是（ ） A. B. C. D. 5.已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A. ∠D＝90° B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD 6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，满分36分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 六边形的外角和是______度． 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为________． 9. 如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 10. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是________． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交边于点．当时，________°． 12. 已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 14. 已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 15. 已知等腰三角形的周长为，设腰与底边长分别为和，那么关于的函数表达式为________．（并写出自变量的取值范围） 16. 如图，在中，D、E分别是边的中点，，垂足为A，，，则AC的长为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点，点D是线段的中点，点E是直线上的一动点，点M为x轴上的一动点．若四边形为平行四边形，则点E的坐标是______． 18.已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 是边 AD 的中点，以直线 BE 为对称轴将△ABE 翻折至△FBE，联结 DF，那么图中与∠AEB 相等的角的个数为 ． 三、解答题（本大题共6题，满分66分，如无特别说明，本大题作答在答题纸上，须写出证明或计算的主要步骤） 19. 已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的4倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的内角和． 20. 如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，，求的长． 21. 某室内游泳馆小型泳池蓄水总量为180立方米，当加水加满时，进水阀门自动停止加水．已知泳池蓄水量（立方米）与注水时间（分钟）的图像如图所示．同时，注水过程中池内水的温度（摄氏度）与时间（分钟）的关系满足：． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当泳池刚好注满水时，池内的水温是多少摄氏度． 22. 如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 23. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接、、，并且与相交于点，请从①，②，③，④四个关系中选其中两个作为条件，使得四边形为正方形，你选择的条件是：_________（只填写序号），并写出相应的证明过程． 25.在等腰▲ABC 中，AB = AC = 2 , BC= 4 ，直线l 垂直平分 AB ，交 AB 于点 O ，点D、E 在直线l 上，且点D 与点E 关于点O 对称，连接AD、DB、BE、EA ． (1)如图 1 ，求证：四边形 ADBE 是菱形； (2)如图 1 ，当 AD 平分∠BAC 时，求菱形 ADBE 的周长； (3)当四边形 ADBE 为正方形时，请在图 2 中画出符合题意的正方形ADBE ，再连接CD ，求CD 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $