精品解析：上海闵行区协和双语教科学校2025-2026学年九年级上学期分班考试数学试题

2025学年第一学期初三数学练习1 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. B. C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是向量的基本性质及运算，解题关键是理解向量是既有方向又有大小的量． 根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：选项，，题目中右侧为标量，符号表述不严谨，选项错误； 选项，，不一定等于，选项错误； 选项，向量的模长相等仅说明长度相同，但方向可能不同，因此与不一定相等，选项错误； 选项，向量相等要求方向与长度均相同，则模长必然相等，选项正确． 故选：． 2. 已知点P在线段上，满足，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比． 【详解】解：∵点P在线段上，满足， ∴点P把线段分割成和两段，是和的比例中项， ∴根据线段黄金分割的定义得：． 故选：A． 【点睛】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 3. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵时，又， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意． 故选：D． 4. 如图，梯形中，，，，点E在上，点F在上，将梯形沿直线翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造基本图形． 设，连接，延长交于点，过点作于点，由折叠可得为等腰直角三角形，可证明四边形为矩形，以及，继而求出，则，而为等腰直角三角形，则，那么，最后由，得到，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， 连接，延长交于点，过点作于点， ∵，将梯形沿直线翻折，使得点B与点D重合 ∴， ∴为等腰直角三角形，即 ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 5. 直线的截距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，解题关键是熟记截距的定义． 根据截距的定义：直线中，就是截距即可得解． 【详解】解：令，得， 直线的截距是． 故答案为：． 6. 方程=1的解是_______． 【答案】x=2 【解析】 【详解】=1，两边平方得，2x﹣3=1， 解得，x=2； 经检验，x=2是方程的根； 故答案为x=2． 考点：解无理方程. 7. 在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据“图上距离比实际距离等于比例尺”即可求出A、 B 两地的实际距离． 【详解】解:∵比例尺为，A，两地的距离是， 设A，B两地的实际距离为， ∴ ∴， ∵， ∴，两地的实际距离为米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 8. 与中，若，则的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，熟练掌握中位线定理是解题的关键； 由三角形中位线定理得，，得出，得出． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 11. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．过作，垂足为，过作，垂足为，可得， 则得到，即可求解． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意得，， 则若将放置内，且使得点重合，在上，在上， 则， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键；设正方形的边长为x，由正方形的性质可知，，从而，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于x的方程求解即可； 【详解】设正方形的边长为x， 四边形是正方形， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题． 【详解】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°， ∴BD＝5， ∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴, ∴, ∴DE＝， ∴BE＝BD+DE＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由CH∥AB，推出，即，再由CH∥EF，推出，即可求解． 【详解】∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上， ∴EF=CE=2，AB=BC=3，BE=2+3=5，CH∥EF，CH∥AB， 由CH∥AB， ∴，即， ∴CH=， 由CH∥EF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位长度的速度沿轴向下平移，经过______________秒，该直线可将分成面积相等的两部分． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．设经过秒，该直线可将分成面积相等的两部分，由一次函数图像平移的特征可得该直线的解析式为，设此时直线交于点，过点轴于点，过点轴于点，易得四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；再确定点的坐标，然后求解即可． 【详解】解：设经过秒，该直线可将分成面积相等的两部分， 此时，该直线的解析式为， 如下图，设此时直线交于点，过点轴于点，过点轴于点， 则， ∴四边形为矩形， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 若直线可将分成面积相等的两部分， 则有， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 对于直线， 当时，可有，解得， 当时，可有，解得， ∴， ∴， ∴， 解得秒， ∴经过3秒，该直线可将分成面积相等的两部分． 故答案为：3． 16. 如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且 时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过A点AH⊥BC交DE于点G，设M点是△ADE的重心，由已知求出AG=6，AH=9，当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，设△ADE的重心为M，则GM=6，求出AK=18，又由△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，可得． 【详解】解：过A作中线AH交DE于点G，设M点是△ADE的重心， ∴ ， ∵AD=2DB， ∴ ∴ ， ∴△ABC的重心在DE上， ∴AG=2GH， ∵△ADE和△ABC重心间的距离为2， ∴MG=2， ∴AM=4， ∴AG=6，AH=9， ∴ 当点D，E分别在AB，AC延长线上时， 当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时， 设△ADE的重心为M，△ABC的重心为G， 则GM=6，由重心的性质可得： 而 ∵ ∴ ∴ ∴ 同理由可得， ∴ ， 当两点重合时， ∵△ADE和△ABC重心间的距离不大于6， ∴≤k＜， 故答案为： ≤k＜． 【点睛】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形重心的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共4题，满分40分；第17题6分，第18题8分，第19题12分，第20题14分） 17. 已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为90，求的面积． 【答案】（1）2 （2）的面积为270． 【解析】 【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案； （2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案． 【小问1详解】 解：设，则，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为90， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∵， ∴，即是直角三角形 ∴的面积为． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键． 18. 已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． （1）填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； （2）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 【答案】（1） （2） 解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质； （1）由图形可得，则，代入求值即可； （2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G； ②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则． 【小问1详解】 解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC． (1)求证：△EDF∽△EFC； (2)如果，求证：AB＝BD． 【答案】 (1)∵AB＝AD，AE⊥BC， ∴BE＝ED＝DB， ∵EF2＝•BD•EC， ∴EF2＝ED•EC，即得＝， 又∵∠FED＝∠CEF， ∴△EDF∽△EFC； (2)∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， 又∵DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B， ∴∠ADB＝∠FDC， ∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC， ∵△EDF∽△EFC， ∴∠EFD＝∠C， ∴△EDF∽△ADC， ∴＝()2＝， ∴＝，即 ED＝AD， 又∵ED＝BE＝BD， ∴BD＝AD， ∴AB＝BD． 【解析】 【分析】（1）利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明； （2）由△EDF∽△ADC，推出=（）2=，推出=，即 ED=AD，由此即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）． （1）当点F是线段CE的中点，求GF的长； （2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长． 【答案】（1） （2）y＝（0＜x＜） （3）3或 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE＝2，进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可； （2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据y＝0，得出x的定义域即可； （3）分三种情况探讨：①当BH＝BG时，②当GH＝GB，③当HG＝HB，分别探讨得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵AB＝8，BC＝6， , ∴AC＝ 10， ∵AF⊥CE， ∴∠AFC＝∠AFE＝90°， ∵点F是线段CE的中点， ∴CF＝EF， 在△ACF和△AEF中， ∴△ACF≌△AEF， ∴AE＝AC＝10， ∴BE＝2， ∵∠CGF＝∠AGB，∠GFC＝∠ABG， ∴∠FCG＝∠GAB，∠CBE＝∠ABG， ∴△CBE∽△ABG， ∴＝， 即＝， BG＝， ∴CG＝ ， ∵∠GCF＝∠BCE，∠CFG＝∠CBE， ∴△CGF∽△CBE， ∴＝， 又CE＝2CF， ∴2CF2＝BC•CG， ∴CF＝， ∴GF＝＝； 【小问2详解】 如图， 作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N， ∵AF⊥CE， ∴ONBMCE， ∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG， ∴＝＝，＝，＝＝， ∴＝， 又∵△CBE∽△ABG， ∴＝，BE＝x， ∴BG＝x， ∴＝， 则y＝（0＜x＜ ）． 【小问3详解】 当△BHG是等腰三角形， ①当BH＝BG时， ∵ ， ∴△AHD∽△BHG， ∴＝， 由（1）知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由（2）知 时y＝ ，解得x＝3； ②当GH＝GB， ∵ABCD为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴△GBH∽△OBC，同理解得x＝； ③当HG＝HB，得出∠HGB＝∠HBG＝∠OCB不存在． 所以BE＝3或． 【点睛】此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识涉及的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三数学练习1 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. B. C. 如果，那么 D. 如果，那么 2. 已知点P在线段上，满足，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，梯形中，，，，点E在上，点F在上，将梯形沿直线翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 5. 直线的截距是___________． 6. 方程=1的解是_______． 7. 在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为_________． 8. 与中，若，则的周长是___________． 9. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 10. 如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为___________． 11. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 12. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 13. 如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于_____． 14. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位长度的速度沿轴向下平移，经过______________秒，该直线可将分成面积相等的两部分． 16. 如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且 时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 _____． 三、解答题（本大题共4题，满分40分；第17题6分，第18题8分，第19题12分，第20题14分） 17. 已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为90，求的面积． 18. 已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． （1）填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； （2）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 19. 如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC． (1)求证：△EDF∽△EFC； (2)如果，求证：AB＝BD． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）． （1）当点F是线段CE的中点，求GF的长； （2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $