5.4 二元一次方程组与一次函数 教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

本文围绕“二元一次方程组与一次函数”展开，在学生已掌握一次函数和二元一次方程组知识基础上，探究二者联系，为后续函数应用等奠基，呼应“数与代数”学习任务群。通过自主探究、案例分析等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。 该设计亮点在于采用直观形象教学法，结合生活实例。从学生层面看，提升其思维与应用能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破教学重难点。

5.4 二元一次方程组与一次函数 教学设计（2025 - 2026学年 北师大版八年级上册数学） 教材 简析 《二元一次方程组与一次函数》是北师大版八年级上册第五章第四节的内容。在之前的学习中，学生已经掌握了一次函数和二元一次方程组的相关知识，本节课将二者进行联系和整合。一次函数的图象是直线，而二元一次方程组的解与一次函数图象上的点有着紧密的联系。通过探究二元一次方程组与一次函数的关系，能够让学生从数和形两个角度更深入地理解方程和函数的概念，体会函数与方程之间的内在联系，感受数学知识的系统性和连贯性。同时，这也为后续学习函数的应用、不等式等知识奠定了基础，是初中数学知识体系中的重要环节。本章节的学习有助于培养学生的数形结合思想、逻辑推理能力和数学应用意识。 课文内容对应课标学段要求 《义务教育数学课程标准》在初中阶段强调学生要能够掌握方程与函数的基本知识和技能，体会方程与函数之间的联系，能够运用方程和函数的知识解决实际问题。对于二元一次方程组与一次函数这部分内容，要求学生能够理解二元一次方程组的解与一次函数图象交点之间的对应关系，会利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，能够运用二元一次方程组与一次函数的关系解决一些简单的实际问题。结合教材内容和课后练习题，我将理解二元一次方程组与一次函数的关系、利用函数图象求方程组的解以及运用这种关系解决实际问题作为本节课的教学重难点。 课文内容指向学习任务群 从知识类型上看，本节课内容属于“数与代数”学习任务群。本单元的数学要素有两个方面，一是理解二元一次方程组与一次函数的关系，二是运用这种关系解决实际问题。在之前的学习中，学生已经分别学习了一次函数和二元一次方程组的相关知识，本节课将二者进行关联，重点在于理解它们之间的内在联系以及如何运用这种联系来解决问题。这不仅需要学生掌握相关的概念和技能，还需要培养学生的数形结合思想和数学应用能力。 学情 分析 八年级的学生在之前已经学习了一次函数的图象和性质以及二元一次方程组的解法等知识，具备了一定的代数运算能力和函数图象的认识能力。然而，将二元一次方程组与一次函数联系起来，从数和形两个角度理解它们之间的关系，对于学生来说仍然具有一定的挑战性。学生可能在理解方程组的解与函数图象交点的对应关系时存在困难，在运用这种关系解决实际问题时也可能会遇到思维障碍。因此，在教学过程中，应注重引导学生通过自主探究、合作交流等方式，逐步建立起数与形之间的联系，培养学生的思维能力和解决问题的能力。同时，考虑到八年级学生的认知特点，应多采用直观形象的教学方法，如通过绘制函数图象、列举具体例子等，帮助学生理解抽象的数学概念。 学习 目标 1. 通过自主探究和课堂交流，理解二元一次方程组与一次函数的关系，能准确说出二元一次方程组的解与相应一次函数图象交点坐标之间的对应关系，发展学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。 2. 能够根据一次函数的图象求出二元一次方程组的近似解，掌握运用函数图象解方程组的方法，提升学生的数学运算和直观想象核心素养。 3. 学会运用二元一次方程组与一次函数的关系解决简单的实际问题，培养学生的数学建模和应用意识核心素养。 4. 在探究过程中，经历观察、分析、比较、归纳等数学思维活动，培养学生的探究能力和合作交流能力，促进学生核心素养的全面发展。 重难 点及 突破 策略 重点：理解二元一次方程组与一次函数的关系，包括二元一次方程组的解与一次函数图象交点坐标的对应关系；能够运用这种关系解决实际问题。 突破策略：通过具体的例子，如列举不同的二元一次方程组和对应的一次函数，引导学生分别求解方程组和绘制函数图象，然后观察方程组的解与函数图象交点坐标之间的联系，让学生亲身体验和发现这种对应关系。在讲解运用关系解决实际问题时，选取贴近学生生活的实际案例，让学生通过分析问题、建立数学模型（方程组或函数）、求解模型等步骤，逐步掌握解决问题的方法。 难点：理解二元一次方程组无解、有唯一解、有无数解与一次函数图象的位置关系；能够准确地根据函数图象求出二元一次方程组的近似解。 突破策略：对于方程组解的情况与函数图象位置关系的理解，通过绘制不同位置关系的函数图象（平行、相交、重合），并写出对应的方程组，引导学生观察方程组的解的情况与图象位置的对应关系，进行归纳总结。在求方程组近似解时，通过详细讲解如何在图象上确定交点坐标的大致范围，让学生进行多次练习，提高学生的操作技能和对近似解的理解。 初案初案(备课过程体现“教—学—评”一体化理念) 二次备课 活动一：知识回顾，引入新课 1. 提出问题，让学生回顾一次函数的表达式和图象的绘制方法。例如，提问：“一次函数的一般形式是什么？如何根据函数表达式绘制它的图象？” 2. 请学生求解一个简单的二元一次方程组，如，回顾二元一次方程组的解法（代入消元法或加减消元法）。 3. 引导思考：一次函数和二元一次方程组看似是不同的知识，它们之间是否存在某种联系呢？从而引出本节课的主题——二元一次方程组与一次函数。 活动二：探究二元一次方程组与一次函数的关系 1. 给出一个二元一次方程组，让学生分别将两个方程转化为一次函数的形式（这里已经是一次函数形式）。 2. 学生自主绘制这两个一次函数的图象。教师巡视指导，确保学生正确绘制图象。 3. 观察图象，引导学生找出两个函数图象的交点坐标。提问：“这个交点坐标有什么特点？它与方程组的解有什么关系？” 4. 学生求解方程组，对比方程组的解与函数图象交点的坐标，发现它们是相同的。 5. 教师总结：一般地，从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线交点的坐标。也就是说，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象交点的坐标。 6. 进一步探究：给出不同的二元一次方程组，如和，让学生分别绘制函数图象，观察图象的位置关系（平行、重合），并求解方程组，分析方程组解的情况（无解、有无数解）与函数图象位置关系的对应关系。 7. 师生共同归纳总结：当两个一次函数的图象相交时，对应的二元一次方程组有唯一解；当两个一次函数的图象平行时，对应的二元一次方程组无解；当两个一次函数的图象重合时，对应的二元一次方程组有无数解。 活动三：利用函数图象求二元一次方程组的近似解 1. 给出一个较复杂的二元一次方程组，如，引导学生将方程组中的两个方程转化为一次函数和。 2. 学生在同一坐标系中绘制这两个一次函数的图象。 3. 观察图象，确定两个函数图象交点的大致位置。教师讲解如何通过观察图象上的刻度和坐标范围，估计交点坐标的近似值。例如，交点的横坐标在和之间，纵坐标在和之间，然后进一步缩小范围，得到更精确的近似值。 4. 学生小组交流，分享自己估计的交点坐标近似值，并与其他同学进行比较和讨论。 5. 教师总结利用函数图象求二元一次方程组近似解的步骤：（1）将方程组中的方程转化为一次函数；（2）在同一坐标系中绘制函数图象；（3）观察图象，确定交点的大致位置，估计交点坐标的近似值。 活动四：运用二元一次方程组与一次函数的关系解决实际问题 1. 呈现实际问题：某商场计划购进甲、乙两种商品共件，甲种商品每件进价元，利润率是，乙种商品每件进价元，利润率是，全部售完后共获利元，问甲、乙两种商品各购进多少件？ 2. 引导学生分析问题：设购进甲商品件，购进乙商品件，根据“购进甲、乙两种商品共件”可列方程；根据“全部售完后共获利元”，甲商品每件获利元，乙商品每件获利元，可列方程，从而得到二元一次方程组。 3. 让学生分别从方程组和函数的角度思考如何解决这个问题。 - 方程组角度：学生求解方程组，得到和的值。 - 函数角度：将方程组中的方程转化为一次函数和，绘制函数图象，通过图象交点坐标得到方程组的解。 4. 比较两种方法的优缺点：方程组方法计算准确，但可能计算过程较复杂；函数图象方法直观形象，但得到的解可能是近似值。 5. 学生进行练习，巩固运用二元一次方程组与一次函数的关系解决实际问题的能力。给出类似的实际问题，让学生独立完成分析、建模和求解的过程。 活动五：课堂总结与作业布置 1. 课堂总结：请学生回顾本节课所学内容，包括二元一次方程组与一次函数的关系、利用函数图象求方程组的近似解以及运用这种关系解决实际问题的方法。教师进行补充和完善，强调重点和难点内容。 2. 作业布置： - 必做：完成教材课后练习题，进一步巩固所学知识。 - 选做：思考一个生活中的实际问题，并用二元一次方程组与一次函数的关系来解决它，培养学生的数学应用能力和创新思维。 板 书 设 计 二元一次方程组与一次函数 一、关系 1. 数的角度：解方程组相当于考虑自变量使两函数值相等及函数值是多少 2. 形的角度：解方程组相当于确定两直线交点坐标 二、方程组解的情况与图象关系 1. 相交——有唯一解 2. 平行——无解 3. 重合——有无数解 三、利用图象求近似解步骤 1. 转化为函数 2. 绘制图象 3. 估计交点坐标 四、实际应用 建模：设未知数，列方程组或函数 求解：方程组法或图象法 课 后 反 思 亮点：在教学过程中，通过知识回顾引入新课，自然地引导学生思考一次函数和二元一次方程组之间的联系，激发了学生的学习兴趣。在探究二元一次方程组与一次函数的关系时，让学生亲自动手绘制函数图象、求解方程组，通过自主探究和合作交流，深刻理解了二者之间的内在联系，培养了学生的探究能力和合作精神。在解决实际问题环节，选取了贴近生活的案例，让学生体会到数学知识的实用性，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。作业设计采用分层作业，满足了不同层次学生的需求。 不足：在引导学生理解方程组解的情况与函数图象位置关系时，部分学生可能还存在理解困难，教师的讲解可以更加细致和形象。在利用函数图象求方程组近似解的教学中，学生对于估计交点坐标的近似值还不够熟练，需要更多的练习和指导。在课堂时间把控上，实际问题的讲解和练习时间略显紧张，导致部分学生没有充分掌握运用关系解决问题的方法。 改进措施：针对学生理解困难的问题，可以增加更多的实例和图形演示，帮助学生直观地理解方程组解的情况与函数图象位置的对应关系。对于求近似解的问题，安排专门的练习课，让学生进行大量的练习，提高学生的操作技能。在今后的教学中，更加合理地安排教学时间，给学生留出足够的时间进行思考、交流和练习，确保学生真正掌握所学知识。同时，不断改进教学方法和手段，提高教学效果，促进学生核心素养的全面发展。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$