1.2 全等三角形 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，以“概念梳理-例题精讲-分层训练”路径巩固全等三角形知识，兼顾基础夯实与思维进阶，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|知识点1-5基础应用|选择填空考查概念辨析（如全等形判定）、性质直接应用（对应边/角计算），培养抽象能力与几何直观| |B组能力提升|知识点2-5综合应用|解答题聚焦平移/对顶角型全等、折叠问题，需结合内角和与面积法推理，发展推理能力| |C组拓展探究|知识点3-5复杂情境应用|探究题涉及旋转型全等（如∠BAD与∠CAE关系），需构建数学模型分析，提升创新意识与应用意识|

第1章 三角形 1.2 全等三角形 · 课时作业 苏科版八年级上册 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理 知识点1 全等形与全等三角形 1．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3．对应元素：把两个全等三角形重合到一起时， ● 互相重合的顶点叫做对应顶点； ● 互相重合的边叫做对应边； ● 互相重合的角叫做对应角。 4．表示方法：如图1，△ABC 与△DEF 全等，记作“△ABC≌△DEF”，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 图1 全等三角形及其对应元素 书写规范：记两个三角形全等时，必须把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如由“△ABC≌△DEF”可直接读出 A↔D、B↔E、C↔F，从而 AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。若写成“△ABC≌△EDF”，含义就完全不同了。 知识点2 全等三角形的性质 1．基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若△ABC≌△DEF，则 AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 2．常用推论： ● 全等三角形的周长相等，面积相等； ● 全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等。 如图9，若△ABC≌△DEF，AM、DN 分别是 BC、EF 边上的高，则 AM=DN。 图9 全等三角形对应边上的高相等 注意反向不成立：面积相等的两个三角形不一定全等，周长相等的两个三角形也不一定全等。全等是“形状相同且大小相同”，比“面积相等”强得多。 知识点3 寻找对应元素的常用方法 1．由“≌”式子直接读：对应位置的字母就是对应顶点； 2．有公共边的，公共边一定是对应边； 3．有公共角的，公共角一定是对应角； 4．有对顶角的，对顶角一定是对应角； 5．最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； 6．一对对应角所对的边是对应边；一对对应边所对的角是对应角。 知识点4 全等三角形的四种基本图形 识别下面四种“基本形”，能帮助我们迅速找出对应元素。 图2 平移型（BE=CF） 图3 翻折型（对称型） 图4 旋转型（有公共顶点） 图5 对顶角型（“8字型”） ● 平移型：一个三角形沿某方向平移可与另一个重合，常有三个顶点在同一条直线上； ● 翻折型：两个三角形关于某条直线成轴对称，公共边是对应边； ● 旋转型：两个三角形有公共顶点，绕该点旋转可以重合； ● 对顶角型：两个三角形有一组对顶角，这组对顶角是对应角。 知识点5 图形的变换与全等 1．平移、翻折（轴对称）、旋转都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， 因此变换前后的两个图形全等。 2．把一个图形放大或缩小，得到的图形与原图形形状相同但大小不同，二者不全等。 3．折叠问题的本质：折叠是翻折变换，折痕两侧的图形全等，因此 ● 折叠前后的对应边相等，对应角相等； ● 折痕是对应点连线的垂直平分线（本章后面将进一步学习）。 图8 折叠：△ADE 与△A′DE 全等 二、典型例题精讲 【例1】（由全等式读出对应元素） 如图1，已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，AB=5 cm，EF=7 cm。求∠F 的度数及 DE、BC 的长。 【解】在△ABC 中，由内角和定理得 ∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°。 因为△ABC≌△DEF，所以∠F=∠C=60°，DE=AB=5 cm，BC=EF=7 cm。 【点评】先根据“≌”式确定 A↔D、B↔E、C↔F，再对号入座即可。 【例2】（平移型） 如图2，△ABC≌△DEF，点 B、E、C、F 在同一条直线上。 (1) 若 BE=3 cm，求 CF 的长； (2) 若 BF=14 cm，EC=8 cm，求 BE 的长。 【解】(1) 因为△ABC≌△DEF，所以 BC=EF。 又 BC=BE+EC，EF=EC+CF，所以 BE+EC=EC+CF，即 BE=CF。 所以 CF=BE=3 cm。 (2) 由(1)知 BE=CF。因为 BF=BE+EC+CF=2BE+EC， 所以 2BE+8=14，解得 BE=3（cm）。 【点评】平移型的核心结论是 BE=CF（“外两段相等”），由 BC=EF 两边同时减去公共段 EC 即得。 【例3】（对顶角型） 如图5，已知△AOC≌△DOB，OA=3 cm，OC=5 cm，AC=6 cm，∠A=40°，∠C=65°。 求 OD、OB、BD 的长以及∠D、∠BOD 的度数。 图5 【解】由△AOC≌△DOB 知：A↔D，O↔O，C↔B。所以 OD=OA=3 cm，OB=OC=5 cm，BD=AC=6 cm，∠D=∠A=40°。 在△AOC 中，∠AOC=180°-∠A-∠C=180°-40°-65°=75°， 所以∠BOD=∠AOC=75°。 【例4】（折叠问题） 如图8，把△ABC 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A′处。若∠A=68°，∠ADE=62°，AD=4 cm，AE=3 cm。 (1) 求∠AED 的度数； (2) 求∠A′与∠A′ED 的度数； (3) 求 A′D、A′E 的长。 【解】(1) 在△ADE 中，∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-68°-62°=50°。 (2) 折叠前后的两个三角形全等，即△ADE≌△A′DE，所以 ∠A′=∠A=68°，∠A′ED=∠AED=50°。 (3) 由△ADE≌△A′DE 得 A′D=AD=4 cm，A′E=AE=3 cm。 【例5】（利用性质求周长与面积） 已知△ABC≌△DEF，AB=6 cm，BC=10 cm，AC=8 cm。 (1) 求△DEF 的周长； (2) 若∠A=90°，求△DEF 的面积。 【解】(1) 因为△ABC≌△DEF，所以对应边相等，两三角形的周长相等， C△DEF=C△ABC=6+10+8=24（cm）。 (2) 因为∠A=90°，所以 AB、AC 是直角边， S△ABC=×AB×AC=×6×8=24（cm2）。 因为全等三角形面积相等，所以 S△DEF=24 cm2。 【例6】（对应边上的高相等） 如图9，已知△ABC≌△DEF，AM、DN 分别是 BC、EF 边上的高。求证：AM=DN。 【证明】因为△ABC≌△DEF，所以 BC=EF，且 S△ABC=S△DEF。 由三角形面积公式得 ×BC×AM=×EF×DN。 因为 BC=EF，且 BC≠0，所以 AM=DN。 【点评】“面积法”是证明两条高相等的常用手段，简洁而不超纲。 【例7】（公共角型） 如图10，已知△ABE≌△ACD，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，∠A=60°，∠B=40°，AB=9，AD=4。 (1) 求∠ADC 的度数； (2) 求 BD 的长。 图10 【解】由△ABE≌△ACD 知：A↔A，B↔C，E↔D。 (1) 在△ABE 中，∠AEB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°， 所以∠ADC=∠AEB=80°。 (2) 由对应边相等得 AE=AD=4，AC=AB=9。 因为点 D 在 AB 上，所以 BD=AB-AD=9-4=5。 三、课时作业 A组 基础巩固 （一）选择题（每小题3分，共24分） 1．下列说法中，正确的是（ ） A．面积相等的两个三角形一定全等 B．周长相等的两个三角形一定全等 C．全等三角形的周长一定相等 D．形状相同的两个三角形一定全等 2．若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠E=60°，则∠C 等于（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 3．如图1，△ABC≌△DEF，则下列结论中错误的是（ ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．BC=DF 4．如图5，△AOC≌△DOB，若 OA=3，OB=4，则下列结论正确的是（ ） A．OC=3 B．OD=4 C．OC=4 D．AC=4 5．一个三角形的三边长分别为3、4、5，与它全等的三角形的最长边为（ ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 6．如图2，△ABC≌△DEF，点 B、E、C、F 在同一条直线上。若 BF=12，EC=6，则 BE 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．下列变换中，变换前后的两个图形一定全等的是（ ） A．平移 B．把图形放大到原来的2倍 C．把图形缩小一半 D．把图形横向拉长 8．如图8，将△ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A′处。若∠A=65°，则∠ADE+∠AED 等于（ ） A．65° B．105° C．115° D．130° （二）填空题（每小题3分，共24分） 9．已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=50°，则∠F=________。 10．已知△ABC≌△DEF，△ABC 的周长是20 cm，DE=6 cm，EF=8 cm，则 AC=________cm。 11．如图3，△ABD≌△ACD，若∠BAC=70°，则∠BAD=________。 12．如图6，在长方形 ABCD 中，连接 AC，有△ABC≌△CDA，则 AC 是它们的________边（填“对应”或“公共”均可，请写出更准确的一个），∠BAC 的对应角是________。 图6 13．若△ABC≌△DEF，且△ABC 的面积为12 cm2，则△DEF 的面积为________cm2。 14．如图10，△ABE≌△ACD，点 D 在 AB 上，若 AB=8，AD=3，则 BD=________。 15．如图9，△ABC≌△DEF，AM、DN 分别是 BC、EF 边上的高。若 AM=4 cm，则 DN=________cm。 16．已知△ABC≌△DEF，其中∠A 与∠D、AB 与 DE 分别是对应元素。若∠A=∠B，∠F=50°，AB=5 cm，则∠A=________，DE=________cm。 B组 能力提升 17．（8分）如图1，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，AB=5 cm，EF=7 cm。 求∠F 的度数以及 DE、BC 的长。 18．（8分）如图2，△ABC≌△DEF，点 B、E、C、F 在同一条直线上。 (1) 若 BE=3 cm，求 CF 的长； (2) 若 BF=14 cm，EC=8 cm，求 BE 的长。 19．（10分）如图5，△AOC≌△DOB，OA=3 cm，OC=5 cm，AC=6 cm，∠A=40°，∠C=65°。 求 OD、OB、BD 的长及∠D、∠BOD 的度数。 20．（10分）如图8，将△ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A′处，∠A=68°，∠ADE=62°，AD=4 cm，AE=3 cm。 (1) 求∠AED 的度数； (2) 求∠A′与∠A′ED 的度数； (3) 求 A′D、A′E 的长。 21．（8分）如图9，已知△ABC≌△DEF，AM、DN 分别是 BC、EF 边上的高。求证：AM=DN。 22．（8分）已知△ABC≌△DEF，AB=6 cm，BC=10 cm，AC=8 cm。 (1) 求△DEF 的周长； (2) 若∠A=90°，求△DEF 的面积。 C组 拓展探究 23．（12分）如图10，已知△ABE≌△ACD，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，∠A=60°，∠B=40°，AB=9，AD=4。 (1) 求∠ADC 的度数； (2) 求 BD 的长； (3) 判断 BE 与 CD 的数量关系，并说明理由。 24．（10分）如图4，△ABC≌△ADE，且∠BAE=100°，∠CAD=20°。 (1) 求∠BAC 的度数； (2) 求∠BAD 的度数，并说明∠BAD 与∠CAE 有什么关系。 图4 四、参考答案与解析 A组 选择题 1．C 【解析】全等三角形的对应边相等，所以周长必相等，C正确；面积相等（或周长相等）的两个三角形形状可以完全不同，A、B错误；“形状相同”只能保证相似，不能保证大小相同，D错误。 2．C 【解析】由△ABC≌△DEF 得∠B=∠E=60°。在△ABC 中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。 3．D 【解析】由 A↔D、B↔E、C↔F 可知 AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D。BC 的对应边是 EF 而不是 DF，故D错误。 4．C 【解析】由△AOC≌△DOB 得 A↔D、O↔O、C↔B，所以 OA=OD=3，OC=OB=4，AC=DB。故C正确（A、B均把对应关系搞错，D缺少条件）。 5．C 【解析】全等三角形对应边相等，故三边仍为3、4、5，最长边为5。 6．A 【解析】由△ABC≌△DEF 得 BC=EF。因为 BC=BE+EC，EF=EC+CF，所以 BE=CF。 又 BF=BE+EC+CF=2BE+EC，即 2BE+6=12，解得 BE=3。 7．A 【解析】平移只改变位置，不改变形状与大小，变换前后的图形全等；放大、缩小、拉长都会改变大小或形状。 8．C 【解析】在△ADE 中，∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-65°=115°（与是否折叠无关）。 A组 填空题 9．70° 【解析】∠C=180°-60°-50°=70°，而∠F 与∠C 是对应角，所以∠F=70°。 10．6 【解析】AB=DE=6 cm，BC=EF=8 cm，所以 AC=20-6-8=6（cm）。 11．35° 【解析】由△ABD≌△ACD 得∠BAD=∠CAD，而∠BAD+∠CAD=∠BAC=70°，故∠BAD=×70°=35°。 12．公共（对应）；∠DCA 【解析】AC 是两个三角形的公共边，当然也是它们的对应边。由△ABC≌△CDA 知 A↔C、B↔D、C↔A，故∠BAC 的对应角是∠DCA。 13．12 【解析】全等三角形的面积相等。 14．5 【解析】由△ABE≌△ACD 得 AD 与 AE 是对应边，AB 与 AC 是对应边，所以 AD=AE=3。 又点 D 在 AB 上，故 BD=AB-AD=8-3=5。 15．4 【解析】全等三角形对应边上的高相等。 16．65°；5 【解析】∠C 与∠F 是对应角，所以∠C=∠F=50°。 又∠A=∠B，则 2∠A=180°-50°=130°，∠A=65°。由 AB 与 DE 是对应边得 DE=AB=5 cm。 B组 解答题 17． 解：在△ABC 中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°。 因为△ABC≌△DEF，所以 ∠F=∠C=60°，DE=AB=5 cm，BC=EF=7 cm。 18． 解：(1) 因为△ABC≌△DEF，所以 BC=EF。 又 BC=BE+EC，EF=EC+CF， 所以 BE+EC=EC+CF，即 BE=CF=3 cm。 (2) 由(1)知 BE=CF，所以 BF=BE+EC+CF=2BE+EC， 即 2BE+8=14，解得 BE=3 cm。 19． 解：由△AOC≌△DOB 知 A↔D，O↔O，C↔B，所以 OD=OA=3 cm，OB=OC=5 cm，BD=AC=6 cm，∠D=∠A=40°。 在△AOC 中，∠AOC=180°-∠A-∠C=180°-40°-65°=75°。 因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=75°。 20． 解：(1) 在△ADE 中，∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-68°-62°=50°。 (2) 折叠是翻折变换，折痕两侧的图形全等，即△ADE≌△A′DE， 所以∠A′=∠A=68°，∠A′ED=∠AED=50°。 (3) 由△ADE≌△A′DE 得 A′D=AD=4 cm，A′E=AE=3 cm。 21． 证明：因为△ABC≌△DEF， 所以 BC=EF，S△ABC=S△DEF。 又 AM、DN 分别是 BC、EF 边上的高，由三角形面积公式得 ×BC×AM=×EF×DN。 因为 BC=EF≠0，所以 AM=DN。 22． 解：(1) 因为全等三角形的对应边相等，所以两个三角形的周长相等， C△DEF=AB+BC+AC=6+10+8=24（cm）。 (2) 因为∠A=90°，所以 AB⊥AC，AB、AC 是直角边， S△ABC=×6×8=24（cm2）。 因为全等三角形的面积相等，所以 S△DEF=24 cm2。 C组 拓展探究 23． 解：由△ABE≌△ACD 知 A↔A，B↔C，E↔D。 (1) 在△ABE 中，∠AEB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°。 因为∠ADC 与∠AEB 是对应角，所以∠ADC=80°。 (2) 由对应边相等得 AE=AD=4，AC=AB=9。 因为点 D 在 AB 上，所以 BD=AB-AD=9-4=5。 (3) BE=CD。理由：由△ABE≌△ACD 知 BE 与 CD 是一组对应边， 而全等三角形的对应边相等，所以 BE=CD。 24． 解：(1) 因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC=∠DAE。 观察图形，∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE， 所以 100°=∠BAC+20°+∠DAE=2∠BAC+20°， 解得 ∠BAC==40°。 (2) ∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+20°=60°； ∠CAE=∠CAD+∠DAE=20°+40°=60°。 所以 ∠BAD=∠CAE。 结论提炼：旋转型全等中，若△ABC≌△ADE，则∠BAD=∠CAE，它们都等于旋转角。证明的关键是在等式∠BAC=∠DAE 的两边同时加上（或减去）公共角∠CAD。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $