第1章 集合全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合全章高频重点题型，按基础到核心分层设计，以题载知，强化概念应用与逻辑推理，培养抽象能力与符号意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|7类题型，每类3-4题|覆盖集合概念、元素关系、性质、运算及参数求解|从概念生成到基础应用，构建“定义-性质-运算-参数”逻辑链| |核心提升|3类题型，每类4题|韦恩图分析、容斥原理应用、新定义创新题|深化数形结合与抽象思维，体现从具体到抽象的认知进阶|

第1章 集合全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型 1：集合的概念与表示 题型 2：元素与集合的从属关系 题型 3：集合元素三大性质 题型 4：集合间包含、相等关系 题型 5：集合交、并、补运算 题型 6：根据子集关系求参数 题型 7：根据交并补混合运算求参数 核心提升：重难题型归纳 题型 1：韦恩图分析集合关系与运算 题型 2：容斥原理的集合应用 题型 3：集合新定义创新题型 题型专练：高频重难特训 ◆题型 1：集合的概念与表示 1．下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 【答案】B 【解析】对于A：集合中可以只有一个元素，故A错误． 对于B：集合中可以同时包含多种类型的元素，3和可以是一个集合中的元素，故B正确． 对于C：通常约定 大写拉丁字母表示集合，小写字母一般表示集合中的元素，集合不可以表示为所有整数组成的集合，所有整数组成的集合用表示，故C错误． 对于D：2.1不为整数，2.1不是整数集中的元素故D错误． 2．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 3．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【解析】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 4．（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【解析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. ◆题型 2：元素与集合的从属关系 5．下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 6．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【解析】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 7．（2026·高一·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【解析】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 8．（2026·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. ◆题型 3：集合元素三大性质 9．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 10．（2026·高一·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 11．（2026·高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 12．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D ◆题型 4：集合间包含、相等关系 13．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【答案】D 【解析】对于①：因为，故①不正确； 对于②：因为，故②不正确； 对于③：因为，故③不正确； 对于④：把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确. 14．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【解析】由 ，则． 16．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ， 显然， 故选：B. ◆题型 5：集合交、并、补运算 17．已知全集，集合，集合．求． 【解析】已知全集，集合，集合， 所以，所以． 18．（2026·高一·河南南阳·开学考试）设全集，，，求： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）由题意得，所以或. （2），所以. （3），，所以. （4）或. 19．已知集合，求. 【解析】∵， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴， . 20．已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【解析】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. ◆题型 6：根据子集关系求参数 21．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【解析】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2）①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 22．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 23．（2026·高一·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 24．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. ◆题型 7：根据交并补混合运算求参数 25．（2026·高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 26．（2026·高一·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 27．（2026·高一·云南玉溪·期末）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）（1）;当时, , （2）（2），故， ，所以的取值范围是. 28．（2026·高一·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. ◆题型 1：韦恩图分析集合关系与运算 29．全集，，，，，则________，________ 【答案】 【解析】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 30．（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 【答案】15 【解析】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15 31．（2026·高一·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 【答案】 【解析】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：. 32．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 【答案】 【解析】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， ◆题型 2：容斥原理的集合应用 33．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有_________人. 【答案】2 【解析】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 34．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人． 【答案】5 【解析】由题意：不会打乒乓球的有人，不会骑自行车的有人，不会打羽毛球的有人. 所以至少有1个项目不会的人数最多为：人. 所以三个项目都会的至少有人. 故答案为：5 35．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人. 【答案】44 【解析】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件. 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 36．（2026·高一·北京·阶段检测）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加游泳一项比赛的有________人，只参加田径一项比赛的有多少________人. 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， ， 由容斥原理得，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9；2 ◆题型 3：集合新定义创新题型 37．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． (1)若，求集合和，以及的值； (2)给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【解析】（1）根据定义直接得，， 则，所以. （2）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 38．（2026·高一·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【解析】（1） 由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 39．（2026·高一·四川·期中）定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 【解析】（1）依题意可知集合不是空集， 要使、都是集合的子集， 则需且， 解得且， 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 40．（2026·高一·浙江·期中）对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. (1)已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； (2)证明：. 【解析】（1）对于两个数集， 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时. ①因为集合， 且，所以， 又因为，所以； ②对任意， 若元素与数集的关系相同时，且； 若元素与数集的关系不相同时，或； 若取到最小值，则， 当为的子集与的并集时，此时取到最小值4. （2）由（1）可知：对于两个数集， 综上所述：当元素与数集的关系相同时，则， 可得； 当元素与数集的关系不同时，则， 可得； 综上所述：. 1．已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从中任取一个元素，一定是偶数，所以； 从中任取一个元素，所以. 所以. 2．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 【答案】A 【解析】对于A：对于，若取，则是偶数，故A错误； 对于B，集合的补集为，但不存在同时等于2和的实数， 因此该补集为空集，原集合即为全体实数集，故B正确； 对于C：由，可分两种情况讨论： ① 若且，由得，两边同除以得，即； ② 若且，由得，两边同除以得，即； 两种情况均得，故C正确； 对于D：集合表示平面直角坐标系中轴、轴上所有点的集合， 因为坐标轴上的点有无数个，因此该集合的元素个数为无数个，故D正确. 3．（2026·高二·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 4．（2026·高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【解析】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 5．（2026·高三·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 6．（2026·高一·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 7．（2026·高一·陕西西安·期末）已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知集合A是关于的集合，则根据， 可得，即集合； 又集合B是关于的集合，则根据， 可得，即集合， 则. 故选：A 8．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上所述，. 故选：B. 9．（多选题）（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由可知所有子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素，则所有子集均不含元素，即是集合的子集， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件. 假设，要满足所有子集的并集不等于集合， 必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是，那么个子集都不含元素， 即每个子集都是集合的子集， 而集合只有个不同的子集， 所以无法从中取出至少个不同的子集， 因此假设不成立，必须小于，所以的最大值为， 故选：AB. 10．（多选题）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 11．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 【答案】7 【解析】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 12．（2026·高一·四川凉山·期中）已知集合且满足，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】当时， ， 若，则，即，此时满足； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上时，实数的取值范围为. 所以时，实数的取值范围为. 故答案为： . 13．（2026·高一·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 【答案】8 【解析】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 14．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【解析】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 15．（2026·高一·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【解析】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 16．（2026·高一·浙江舟山·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 又，故. （2）由，得到，需满足，，且， 解得，，， 综合得，故的取值范围是. 17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）已知集合. (1)若集合，写出集合M的所有真子集； (2)． 【解析】（1）， 集合M的真子集有：； （2），解得，则， 或，， ， 或， 综上，，或． 18．（2026·高一·北京·阶段检测）已知数集具有性质P：对任意的i，，与两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)证明：； (3)证明：. 【解析】（1）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P； 由于都属于数集，∴该数集具有性质P． （2）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A， 由于，∴，故． 从而，∴． （3）∵， ∴，故． 由A具有性质P可知． 又∵， ∴， 从而． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合全章高频重点题型突破参考答案 ◆题型 1：集合的概念与表示 1．【答案】B 【解析】对于A：集合中可以只有一个元素，故A错误． 对于B：集合中可以同时包含多种类型的元素，3和可以是一个集合中的元素，故B正确． 对于C：通常约定 大写拉丁字母表示集合，小写字母一般表示集合中的元素，集合不可以表示为所有整数组成的集合，所有整数组成的集合用表示，故C错误． 对于D：2.1不为整数，2.1不是整数集中的元素故D错误． 2．【答案】C 【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 3．【答案】B 【解析】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 4．【答案】C 【解析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. ◆题型 2：元素与集合的从属关系 5．【答案】A 【解析】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 6．【答案】C 【解析】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 7．【答案】A 【解析】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 8．【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. ◆题型 3：集合元素三大性质 9．【答案】C 【解析】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 10．【答案】B 【解析】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 11．【答案】D 【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 12．【答案】D 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D ◆题型 4：集合间包含、相等关系 13．【答案】D 【解析】对于①：因为，故①不正确； 对于②：因为，故②不正确； 对于③：因为，故③不正确； 对于④：把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确. 14．【答案】D 【解析】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 15．【答案】B 【解析】由 ，则． 16．【答案】B 【解析】∵， ， 显然， 故选：B. ◆题型 5：集合交、并、补运算 17．【解析】已知全集，集合，集合， 所以，所以． 18．【解析】（1）由题意得，所以或. （2），所以. （3），，所以. （4）或. 19．【解析】∵， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴， . 20．【解析】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. ◆题型 6：根据子集关系求参数 21．【解析】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2）①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 22．【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 23．【解析】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 24．【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. ◆题型 7：根据交并补混合运算求参数 25．【解析】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 26．【解析】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 27．【解析】（1）（1）;当时, , （2）（2），故， ，所以的取值范围是. 28．【解析】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. ◆题型 1：韦恩图分析集合关系与运算 29．【答案】 【解析】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 30．【答案】15 【解析】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15 31．【答案】 【解析】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：. 32．【答案】 【解析】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， ◆题型 2：容斥原理的集合应用 33．【答案】2 【解析】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 34．【答案】5 【解析】由题意：不会打乒乓球的有人，不会骑自行车的有人，不会打羽毛球的有人. 所以至少有1个项目不会的人数最多为：人. 所以三个项目都会的至少有人. 故答案为：5 35．【答案】44 【解析】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件. 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 36．【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， ， 由容斥原理得，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9；2 ◆题型 3：集合新定义创新题型 37．【解析】（1）根据定义直接得，， 则，所以. （2）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 38．【解析】（1） 由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 39．【解析】（1）依题意可知集合不是空集， 要使、都是集合的子集， 则需且， 解得且， 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 40．【解析】（1）对于两个数集， 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时. ①因为集合， 且，所以， 又因为，所以； ②对任意， 若元素与数集的关系相同时，且； 若元素与数集的关系不相同时，或； 若取到最小值，则， 当为的子集与的并集时，此时取到最小值4. （2）由（1）可知：对于两个数集， 综上所述：当元素与数集的关系相同时，则， 可得； 当元素与数集的关系不同时，则， 可得； 综上所述：. 1．【答案】C 【解析】从中任取一个元素，一定是偶数，所以； 从中任取一个元素，所以. 所以. 2．【答案】A 【解析】对于A：对于，若取，则是偶数，故A错误； 对于B，集合的补集为，但不存在同时等于2和的实数， 因此该补集为空集，原集合即为全体实数集，故B正确； 对于C：由，可分两种情况讨论： ① 若且，由得，两边同除以得，即； ② 若且，由得，两边同除以得，即； 两种情况均得，故C正确； 对于D：集合表示平面直角坐标系中轴、轴上所有点的集合， 因为坐标轴上的点有无数个，因此该集合的元素个数为无数个，故D正确. 3．【答案】C 【解析】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 4．【答案】C 【解析】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 5．【答案】B 【解析】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 6．【答案】B 【解析】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 7．【答案】A 【解析】由题知集合A是关于的集合，则根据， 可得，即集合； 又集合B是关于的集合，则根据， 可得，即集合， 则. 故选：A 8．【答案】B 【解析】因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上所述，. 故选：B. 9．【答案】AB 【解析】由可知所有子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素，则所有子集均不含元素，即是集合的子集， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件. 假设，要满足所有子集的并集不等于集合， 必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是，那么个子集都不含元素， 即每个子集都是集合的子集， 而集合只有个不同的子集， 所以无法从中取出至少个不同的子集， 因此假设不成立，必须小于，所以的最大值为， 故选：AB. 10．【答案】BC 【解析】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 11．【答案】7 【解析】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 12．【答案】 【解析】当时， ， 若，则，即，此时满足； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上时，实数的取值范围为. 所以时，实数的取值范围为. 故答案为： . 13．【答案】8 【解析】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 14．【解析】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 15．【解析】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 16．【解析】（1）当时，，则， 又，故. （2）由，得到，需满足，，且， 解得，，， 综合得，故的取值范围是. 17．【解析】（1）， 集合M的真子集有：； （2），解得，则， 或，， ， 或， 综上，，或． 18．【解析】（1）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P； 由于都属于数集，∴该数集具有性质P． （2）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A， 由于，∴，故． 从而，∴． （3）∵， ∴，故． 由A具有性质P可知． 又∵， ∴， 从而． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型 1：集合的概念与表示 题型 2：元素与集合的从属关系 题型 3：集合元素三大性质 题型 4：集合间包含、相等关系 题型 5：集合交、并、补运算 题型 6：根据子集关系求参数 题型 7：根据交并补混合运算求参数 核心提升：重难题型归纳 题型 1：韦恩图分析集合关系与运算 题型 2：容斥原理的集合应用 题型 3：集合新定义创新题型 题型专练：高频重难特训 ◆题型 1：集合的概念与表示 1．下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 2．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 4．（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 ◆题型 2：元素与集合的从属关系 5．下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 7．（2026·高一·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 8．（2026·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型 3：集合元素三大性质 9．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 10．（2026·高一·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 11．（2026·高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 12．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 ◆题型 4：集合间包含、相等关系 13．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 14．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 16．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． ◆题型 5：集合交、并、补运算 17．已知全集，集合，集合．求． 18．（2026·高一·河南南阳·开学考试）设全集，，，求： (1) (2) (3) (4) 19．已知集合，求. 20．已知全集，集合或. (1)求； (2)求. ◆题型 6：根据子集关系求参数 21．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 22．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 23．（2026·高一·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 24．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. ◆题型 7：根据交并补混合运算求参数 25．（2026·高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 26．（2026·高一·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 27．（2026·高一·云南玉溪·期末）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 28．（2026·高一·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. ◆题型 1：韦恩图分析集合关系与运算 29．全集，，，，，则________，________ 30．（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 31．（2026·高一·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 32．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． ◆题型 2：容斥原理的集合应用 33．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有_________人. 34．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人． 35．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人. 36．（2026·高一·北京·阶段检测）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加游泳一项比赛的有________人，只参加田径一项比赛的有多少________人. ◆题型 3：集合新定义创新题型 37．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． (1)若，求集合和，以及的值； (2)给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 38．（2026·高一·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 39．（2026·高一·四川·期中）定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 40．（2026·高一·浙江·期中）对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. (1)已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； (2)证明：. 1．已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 3．（2026·高二·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．（2026·高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 5．（2026·高三·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·陕西西安·期末）已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 9．（多选题）（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 11．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 12．（2026·高一·四川凉山·期中）已知集合且满足，则实数的取值范围为__________. 13．（2026·高一·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 14．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 15．（2026·高一·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 16．（2026·高一·浙江舟山·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）已知集合. (1)若集合，写出集合M的所有真子集； (2)． 18．（2026·高一·北京·阶段检测）已知数集具有性质P：对任意的i，，与两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)证明：； (3)证明：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $