专题03 集合与常用逻辑用语融合重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 以四大融合题型为核心，通过“通法-题型-挑战”三阶体系，系统提炼集合与逻辑用语的转化方法，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2条核心原则|集合关系判定充分必要条件、量词命题转化为集合/函数问题|构建集合与逻辑用语的转化桥梁| |四大题型|4典例+12变式|集合法、结构不良问题选择策略、新定义迁移法|从基础融合到创新应用的递进逻辑| |压轴挑战|14道综合题|复杂条件下参数范围求解、跨模块知识整合|对接高考命题趋势，提升综合解题能力|

专题03 集合与常用逻辑用语融合重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合与充分条件与必要条件的融合 题型二、集合与含有量词命题真假的融合 题型三、集合与常用逻辑用语融合的结构不良问题 题型四、集合新定义问题与常用逻辑用语的融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合与常用逻辑用语融合是高中数学核心重难点，所有题型均围绕集合与充分条件与必要条件的融合、集合与含有量词命题真假的融合、集合与常用逻辑用语融合的结构不良问题、集合新定义问题与常用逻辑用语的融合求参数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件： 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， ⑴若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ⑵若A=B，则p是q的充要条件. (3)若，则p是q的必要不充分条件； (4)若A=B，则p是q的充要条件； 二是根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合与充分条件与必要条件的融合 典例1 已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1.特征：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， ⑴若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ⑵若A=B，则p是q的充要条件. (3)若，则p是q的必要不充分条件； (4)若A=B，则p是q的充要条件； 2.方法：集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 变式1-1已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 变式1-2已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 变式1-3设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 类型二、集合与含有量词命题真假的融合 典例2 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 题型模版 1.特征：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. 含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）。 2.方法：其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围，①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 变式2-1已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-2已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-3已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 . 题型三、集合与常用逻辑用语融合的结构不良问题 典例3 请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）横线中，并完成解答. 已知集合，. （1）当时，求； （2）求集合； （3）当时，若是成立的_____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型模版 1.特征：初始条件、解决策略和目标结论这三者中至少有一个不明确的试题称为结构不良试题 2.方法：从所给出的几个条件中选择一条或多条补充到试题中,然后进行试题解答,或者对给出的条件进行重新组合,实现不同的问题解答路径。 变式3-1已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 变式3-2已知集合． (1)当时，求； (2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围． 条件（1）：； 条件（2）：“”是“”的充分条件． 注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分． 变式3-3在①，，②存在集合，非空集合，使得，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数的范围. 问题：求解实数的范围，使得命题：，，命题：__________有且只有一个真命题. 题型四、集合新定义问题与常用逻辑用语融合 典例4 定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 题型模版 1.特征：与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以常用逻辑用语融合，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题. 2.方法：（1）通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 变式4-1（多选）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 变式4-2（多选）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 变式4-3情报分析员截获了一组加密的数字片段，其数值分别为一个正整数序列．据信，一个有效的密钥是由这些片段中的一个子集构成的，且该子集中所有数字之和必须恰好等于一个目标值K．分析员需要判断是否存在这样的子集． 令布尔函数的值为“真”或“假”，表示是否可能从前i个片段中选出一个子集，使其元素之和恰好为j． (1)给定片段序列和目标值．请判断和的真假性，并说明理由． (2)试写出的逻辑递推关系式． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（ ） A．0 B． C．3 D．5 3．已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 5．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是（　　） A．⑤ B．④⑤ C．③④ D．③④⑤ 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 7．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 8．（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 9．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则__________ 10．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 11．已知集合，若“，都有”为真命题，则实数a的取值范围为___________； 12．设全集，集合，，其中．若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 13．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 14．已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合与常用逻辑用语融合重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合与充分条件与必要条件的融合 题型二、集合与含有量词命题真假的融合 题型三、集合与常用逻辑用语融合的结构不良问题 题型四、集合新定义问题与常用逻辑用语的融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合与常用逻辑用语融合是高中数学核心重难点，所有题型均围绕集合与充分条件与必要条件的融合、集合与含有量词命题真假的融合、集合与常用逻辑用语融合的结构不良问题、集合新定义问题与常用逻辑用语的融合求参数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件： 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， ⑴若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ⑵若A=B，则p是q的充要条件. (3)若，则p是q的必要不充分条件； (4)若A=B，则p是q的充要条件； 二是根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合与充分条件与必要条件的融合 典例1 已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【解析】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型模版 1.特征：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， ⑴若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ⑵若A=B，则p是q的充要条件. (3)若，则p是q的必要不充分条件； (4)若A=B，则p是q的充要条件； 2.方法：集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 变式1-1已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【解析】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 变式1-2已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【解析】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 变式1-3设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【解析】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时，. 类型二、集合与含有量词命题真假的融合 典例2 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【解析】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 题型模版 1.特征：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. 含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）。 2.方法：其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围，①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 变式2-1已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【解析】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 变式2-2已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题“”是真命题等价于.又列出不等关系式即可求解. 【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 故选：B 变式2-3已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【解析】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 题型三、集合与常用逻辑用语融合的结构不良问题 典例3 请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）横线中，并完成解答. 已知集合，. （1）当时，求； （2）求集合； （3）当时，若是成立的_____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），. （2）答案见解析 （3）答案见解析 【分析】（1）化简集合，再由交、并、补运算即可求解； （2）由一元二次不等式的解法即得； （3）由充分条件必要条件转化为集合关系即求. 【解析】（1）当时，， 因为，所以， 所以， 所以. （2）由， 当时，； 当时，； 当时，. （3）当时，由（2）知；， 若选择条件①， 即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集， 则有，且等号不能同时取到， 解得，所以实数的取值范围是. 若选择条件②， 即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 则有，且等号不能同时取到， 解得，所以实数的取值范围是. 若选择条件③， 即是成立的充要条件，则集合等于集合， 则有， 方程组无解，所以不存在满足条件的实数. 题型模版 1.特征：初始条件、解决策略和目标结论这三者中至少有一个不明确的试题称为结构不良试题 2.方法：从所给出的几个条件中选择一条或多条补充到试题中,然后进行试题解答,或者对给出的条件进行重新组合,实现不同的问题解答路径。 变式3-1已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2)答案见解析 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【解析】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 变式3-2已知集合． (1)当时，求； (2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围． 条件（1）：； 条件（2）：“”是“”的充分条件． 注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；；(2)答案见解析； 【分析】（1）由集合的交并补运算得到结果即可； （2）选条件（1）时由补集和集合间的包含关系计算即可；选条件（2），先由充分条件得到，再计算即可； 【解析】（1）当时，， 所以， 或，所以， （2）选条件（1）， 或，， 因为，所以，即； 选条件（2）， 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即. 变式3-3在①，，②存在集合，非空集合，使得，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数的范围. 问题：求解实数的范围，使得命题：，，命题：__________有且只有一个真命题. 【答案】见解析 【分析】利用命题的真假进行等价转换即可求得答案． 【解析】选条件①， 由命题为真，可得在上恒成立， ∵，∴，∴. 由命题为真，则方程有解， ∴ ，∴. 又命题，有且只有一个真命题， ∴ 或， ∴实数的范围为或. 选条件②， 由命题为真，可得在上恒成立， ∵，∴，∴. 由命题为真，可得或， 又为非空集合，∴ ， ∴或， 又命题，有且只有一个真命题， ∴ 或， ∴实数的范围为，或 题型四、集合新定义问题与常用逻辑用语融合 典例4 定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】如图，由于，故两个阴影部分均为， 于是，， 若，则IIV， 而，成立; 反之，若， 则由于，， . 故是的充要条件， 故选：A. 题型模版 1.特征：与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以常用逻辑用语融合，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题. 2.方法：（1）通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 变式4-1（多选）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 变式4-2（多选）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 【答案】BD 【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C. 【解析】对于A，因为，所以，A错误． 对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又， 所以，B正确． 对于C，若，则， 所以； 若，则，不妨设， 则，所以， 所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”． 故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误． 对于D，由，可设， 则， 因为，所以，D正确． 故选：BD. 变式4-3情报分析员截获了一组加密的数字片段，其数值分别为一个正整数序列．据信，一个有效的密钥是由这些片段中的一个子集构成的，且该子集中所有数字之和必须恰好等于一个目标值K．分析员需要判断是否存在这样的子集． 令布尔函数的值为“真”或“假”，表示是否可能从前i个片段中选出一个子集，使其元素之和恰好为j． (1)给定片段序列和目标值．请判断和的真假性，并说明理由． (2)试写出的逻辑递推关系式． 【答案】(1)为真，为真，理由见解析 (2) 【分析】本题是一个决策问题，而非最优化问题．它本质上是背包问题的一个变体，其中物品的“价值”和“成本”是相同的，且我们关心的是“能否恰好装满”而非“最大价值”． 【解析】（1）定义状态：表示能否用前i个片段凑出和为j．为真（用空集可以凑出和为0），对为假．片段序列． 判断考虑前两个片段，目标和为8． 不使用片段2（数值5）：问题变为能否用凑出8，即．显然不能，为假． 使用片段2（数值5）：问题变为能否用凑出，即．用片段可以凑出3，为真． 因为至少有一种方式可行，所以为真． 判断考虑所有四个片段，目标和为11． 不使用片段4（数值8）：问题变为能否用凑出11，即．通过观察，的和为11，所以为真． 使用片段4（数值8）：问题变为能否用凑出，即．用片段可以凑出3，为真． 因为至少有一种方式可行，所以为真．（具体方案有和）． （2）逻辑递推关系式推导．为了确定）的真假，我们考察第i个片段 不选择片段如果仅用前个片段就能凑出和为j（即为真），那么自然也为真． 选择片段这要求．如果用前个片段能够凑出和为；（即为真），那么将加入该子集后，和即为j．此时也为真． 只要上述两种情况至少有一种为真，则就为真．这对应于逻辑上的“或”运算．因此，递推关系式为： 其中，当时，第二项无意义或视为假．边界条件为：为真，且对所有为假． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【解析】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 2．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（ ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据集合中元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可求解. 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 3．已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【解析】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 4．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【解析】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 5．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是（　　） A．⑤ B．④⑤ C．③④ D．③④⑤ 【答案】D 【解析】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故选：D． 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 【答案】BD 【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断. 【解析】对A：若，则，即 若，比如：，则不成立 ∴“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对B：若，则，即二次方程有两个不等实根 若二次方程有两个不等实根，等价于 比如：满足，但不成立 ∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确； 对C：∵且 则 ∴“”是“”的充要条件，C错误； 对D：根据题意可得：，则最小值为2022，D正确； 故选：BD. 7．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】AC 【分析】根据“类”的定义可直接判断AB均错误，根据可得，即C正确，整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 【解析】对于A，易知，能被整除，因此可得，即A正确； 对于B，可得，因此可得，可得B错误； 对于C，由可设， 所以，即，所以C正确； 对于D，整数属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即，可知充分性成立； 若，则除以5之后的余数相同，故整数属于同一“类”， 因此整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 故选：AC 8．（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 9．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则__________ 【答案】 【分析】根据集合中元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可求解. 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故答案为：. 10．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】解不等式得到，由“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 故，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．已知集合，若“，都有”为真命题，则实数a的取值范围为___________； 【答案】 【分析】解不等式和，再根据题意可得，列出不等式求解即可； 【解析】，即，解得， ， ，因为，故解得， ， ，都有，则， 则或， 解得或， 故a的取值范围为. 故答案为： 12．设全集，集合，，其中．若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】． 【分析】首先求当时的取值范围，再求其补集. 【解析】若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 13．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. 【解析】（1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或 14．已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)是“好的”；(2)证明见解析；（3）除1，2，4外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【解析】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $