15.3.2等边三角形 教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等边三角形的性质与判定、含30°角直角三角形的性质，通过回顾等腰三角形等旧知搭建学习支架，引导学生从特殊等腰三角形自然过渡到新内容，梳理知识脉络。 特色在于采用“观察—实践—猜想—证明”探究流程，如测量纸卡验证等边三角形内角、拼摆三角尺推导30°角性质，培养几何直观与推理意识。分组讨论与多种证法发展创新思维，助力学生提升探究能力，为教师提供结构化教学方案。

15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 课 题 等边三角形的性质与判定 课 型 新授课 教学内容 教材第82页的内容 教学目标 1．掌握等边三角形的性质与判定. 2．等边三角形的性质的应用. 教学重难点 教学重点：探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用. 教学难点：等边三角形的性质与判定的应用. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 前面我们学习了等腰三角形的性质及其判定，请回答下面的问题： 1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？ 2．叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的？ 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫作等边三角形． 2.发现探究，学习新知 【问题1】①我们知道等腰三角形的两个底角相等，当这条性质用于等边三角形，能得到什么结论？ ②先验证手里的纸卡是不是等边三角形，然后用量角器量三个角的度数，能得到什么结论？ 【师生活动】教师引导学生通过前面的探究得出结论:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 【追问】你能写出已知和求证，并证明这个猜想吗？ 【师生活动】学生自行证明，教师指导. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角) 同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. 【追问】等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，并且有“三线合一”的性质，那么等边三角形又即条对称轴呢？根据“三线合一”能推出什么结论呢？ 【师生活动】教师引导学生进行推理，得出结论，等边三角形有3条对称轴，每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 【问题2】等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形是否成立呢？ 【师生活动】教师指导学生进行推理： △ABC中，∠A=∠B=∠C. ∵∠A=∠B，∴AC=BC. 同理AB=AC，∴AB=AC=BC， 即△ABC时等边三角形. 得出结论：三个角都相等的三角形是等边三角形. 【追问】我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的底边等于腰时它是等边三角形，请同学们思考等腰三角形的角满足什么条件时它是等边三角形呢？ 【师生活动】同学们自行讨论，得出结论，并作出证明. ①等腰三角形的顶角等于60°. 已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=60°， ∴∠B+∠C=120°，∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形. ②等腰三角形的底角等于60°. 已知：△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=60°，求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C=60°， ∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形. 教师指导学生做出总结：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.学以致用，应用新知 例 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形． 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．边上的高也是这边的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 答案：C （2）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. ①求∠F的度数； ②求证：DC＝CF. 解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°. ∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝180°－90°－60°＝30°. ②证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°. ∴△DEC是等边三角形．∴CE＝CD. ∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝FC. ∴DC＝FC. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.等边三角形的性质有哪些？ 3.怎样判定三角形是等边三角形？ 6.布置作业 教材P82练习1,2.教材P84习题15.3第5，10,11题； 教材P91复习题第11,12,13题. 回顾上节内容，巩固所学，同时引申出本节课所要研究的问题.明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质的兴趣. 学生通过观察、思考、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察—实践—猜想—证明的创新思维过程. 在等腰三角形对称性的基础上进一步探究等边三角形的对称性，体现了知识的连贯性. 将性质的条件和结论调换得到逆命题，并验证其正确性，从而得到等边三角形的判定.进一步让学生熟悉这种探究方法. 此处应注意要证明这个结论，须分两种情况讨论. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括等边三角形性质和判定的应用. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质： 例题 2.等边三角形的判定： 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课 题 含30°角的直角三角形的性质 课 型 新授课 教学内容 教材第83-84页的内容 教学目标 掌握含30°角的直角三角形的性质与应用. 教学重难点 教学重点：含30°角的直角三角形的性质与应用 教学难点：探究含有30°角的直角三角形的性质. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 请叙述上节课所学内容： 等边三角形的性质是什么？ 等边三角形的判定是什么？ 如图，请用支持测量含30°角的直角三角尺的直角边BC和斜边AB的长，猜测他们有什么样的数量关系？ 【师生活动】教师请学生回顾上节可所学内容，让同学们进行测量并大胆推测，给出猜想. 2.发现探究，学习新知 【问题1】将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，验证上述猜想吗？ 【师生活动】教师引导学生分析：①△ABD是什么形状的三角形？②BC和CD有什么关系？ 教师指导学生梳理推理过程： 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB. 由此我们得到了含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【追问】刚才我们是在动手操作的基础上进行的推理，你还能想出其他证明这个性质的方法吗？ 【师生活动】学生进行分组探究，进行几何证明.教师给出指导点评. 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC =AB． 证法一：在△ABC 中， ∵∠C=90°，∠A =30°, ∴∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形．∴BC =AB. 证法二：如图，在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵∠B=60°，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴∠BEC= 60°，BE=EC. ∵∠A= 30°， ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°. ∴AE=EC，∴ AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC. ∴BC=AB. 3.学以致用，应用新知 例 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD. ∴BC＝×7.4＝3.7(m)． 又AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)． 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC= . 答案：5 （2）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE＝AB. 证明：如图，连接AD， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠BAC＝120°，∴∠B＝(180°－∠BAC)＝(180°－120°)＝30°. ∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°. 在Rt△ABD中，AD＝AB， 在Rt△ADE中，AE＝AD＝×AB＝AB， 即AE＝AB. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.你能说出含30°角的直角三角形的性质吗？ 6.布置作业 教材P84练习1,2.教材P84习题15.3第7,12,15题； 2.教材P91复习题第7题. 复习巩固，为本节课作铺垫.学生经历度量三角尺的活动，进行猜测，激发学生继续探究的兴趣. 经历拼摆三角形的过程，同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系.学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯. 应用多种方法证明命题，扩展学生思维.分组合作探究，培养学生的合作意识. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括含30°角的直角三角形的性质的应用. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例题 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $