专题3.1 相似多边形（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“相似多边形”核心知识点，系统梳理从线段的比、成比例线段（含基本性质、合分比、等比性质）到相似多边形定义（对应角相等、对应边成比例）及相似比的知识脉络，为后续相似三角形学习搭建基础支架。 资料通过“即学即练”结合生活实例（如地图比例尺、照片测量古籍长度）培养抽象能力与应用意识，题型分类（10类）及综合实践活动（比例性质探究）发展推理意识与创新意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题3.1 相似多边形 教学目标 1、理解线段的比及成比例线段的区别与联系；掌握比的基本性质。 2、理解相似多边形概念：对应角相等，对应边成比例；掌握相似比的定义。 3、会根据定义判断两个多边形是否相似；能利用相似比求边长；知道全等是相似比为 1 的特殊相似。 4、通过观察、对比缩放图形，类比全等多边形，体会 “形状相同、大小可以不同”，提升识图能力。 5、感受生活中大量相似图形，体会图形变换思想。 教学重难点 1.重点 （1）相似多边形定义（误以为 “所有矩形都相似、所有菱形都相似”）。 （2）相似比（相似比有顺序，甲与乙的相似比≠乙与甲的相似比）。 2.难点 （1）判定相似多边形的两个条件缺一不可：仅有角相等，或者仅有边成比例，多边形不一定相似。 （2）等比性质及其综合运用。 知识点01 成比例线段与比的性质 1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比。 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 3．比例的基本性质： （1）如果那么ad=bc。其中：a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项。 （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）； （3）合分比性质：如果那么； （4）等比性质：如果（b+d+……+n≠0），那么 【即学即练】 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，， ∵，这组线段不成比例，故本选项错误． B、，，， ∴，这组线段成比例，故本选项正确． C、，，， ∵，这组线段不成比例，故本选项错误． D、，，， ∵，∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段，∴，即， 将，，代入等式，得，整理得，解得． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 【答案】B 【详解】∵是和的比例中项，∴， 又∵线段的长度为正数，∴．故选：B． 4．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【详解】解：设A、B两地的实际距离为则：；解得千米 A、B两地的实际距离为千米；故答案为：． 5．（2026·广东深圳·二模）已知，若，且，则_________． 【答案】15 【详解】解：， ，， ， ，提取公因式得，解得． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么；②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【详解】（1）③④都真命题． ③证明：∵，． ∵，． ④证明：∵，．．． （2）四个数a，b，c，d成比例，∴．∴， ∵，，且，．． （3）∵，∴．∴． ∵的周长与的周长的差为6，， ． ．即的周长为18． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知为的三边，且，则的形状是_____． 【答案】等边三角形 【详解】解：设，∴， ∴， 为的三边，，，∴， ，，∴①，②， 得：，即，，同理可得，，是等边三角形． 知识点02 相似多边形 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。 它的符号是“∽”，读作“相似于”。 切记：写法与全等类似，对应字母要写在对应的位置上。 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比；根据比的性质，也可得到周长比等于相似比。 注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定，也是它的性质。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【详解】解：∵，∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等，∴甲和丙相似； ∵，∴乙和丙不相似；故选：B． 2．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】解：∵∴， ∴．故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形， 则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似，∴，∴，解得（负值舍去），故选：B． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知四边形四边形，，，且．(1)的度数为_____；(2)若，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴．故答案为： （2）解：∵四边形四边形，∴， ∵，，，∴，∴． 题型01 成比例线段辨别与运用 【典例1】（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】解：A．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； B．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； C．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； D．排序为，，，，，，，该组线段成比例． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，，，是成比例线段，，即，， 代入，，得：．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中，则的长为（    ） A．0.75 B．1 C．1.5 D．2 【答案】A 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段，∴，∴， ∵，，，∴，即，解得；故选A． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 题型02 等比中项及运用 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，，则它们的比例中项线段的长为（    ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】A 【详解】解：设它们的比例中项线段的长为． ∵若线段是、的比例中项∴根据比例中项的定义可得． 由比例的基本性质（内项积等于外项积）得，解得或． 又∵线段的长度为正数，∴．故选A． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴，∴． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是 ________ ． 【答案】 【详解】解：∵ 线段是线段、的比例中项，∴ ． ∴ （取正值，因为线段长度为正）．故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 【答案】线段的长度是 【详解】解：线段是和的比例中项，线段，，， 又，．答：线段的长度是． 题型03 比例相关知识的实际应用 【典例1】（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比∴解得；该古籍的实际长度为故选D． 【变式1】（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【答案】 【详解】解：设小男孩的实际身高为， 得，解得，．答：小男孩的实际身高为1.2米． 【变式2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【答案】25 【详解】解：设实际长度为厘米， ∴，∴，故实际长度为，故答案为：． 【变式3】（2026·上海金山·一模）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 【答案】4 【详解】解：设化石的实际长度为cm， 由题意得：，解得：．故答案为：4． 题型04 比例的基本性质 【典例1】（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴设，（）， A选项：，，，错误；B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误；D选项：，正确，符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误；选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 【变式2】（25-26四川成都·九年级期中）如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，则可以变形为． A、，，该选项正确，故不符合题意； B、，，该选项正确，故不符合题意； C、，，该选项正确，故不符合题意； D、，，该选项错误，故符合题意．故选：D． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【详解】解：，∴， ∴． 【变式4】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知：，且． (1)求代数式的值；(2)当时，求的值． 【答案】(1)(2)，， 【详解】（1）解：设，则，∴原式； （2）解：设，则， ∵，∴，解得：，∴． 题型05 比例的基本性质综合运用 【典例1】（25-26山东青岛九年级期中）已知abc≠0，且＝＝＝k，则k的值为（　　） A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 【答案】C 【详解】解：∵，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴2（a+b+c）=k（a+b+c），∴当a+b+c≠0时，得k=2； 当a+b+c=0时，则a+b=-c，k=-1；∴k的值为2 或-1；故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【详解】解：∵，∴，，； 将三式相加：，即； ∴； 情况1：若 ，则 ，∴ ； 情况2：若 ，则 ，代入 ，同理可得 ； 综上， 的值为1或．故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【详解】解：∵，其相似比为k，∴， ∴直线的解析式为，∵，，∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 【变式3】（2026·四川内江·模拟预测）已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 【答案】或 【详解】解：，，，， ， 当时，两边同时除以得：，解得，一次函数解析式为， 当时，，函数与轴交于点， 当时，可得：，解得：，函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时，可得：，∴，一次函数解析式为， 当时，，函数与轴交于点 当时，解得，可得：，函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 题型06 相似图形与相似多边形判定 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角；∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等.∴相似的是丙与丁，故选C 【变式1】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值，∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，∴不一定相似．故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【详解】解：如图：由题知，，延长，则，，， 同理可得，，，即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图：由题知，， ，新矩形与原矩形不相似，乙不对．故选：A． 【变式4】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题；④任意的圆都相似，是真命题；故答案为：③④． 题型07 相似多边形的性质（角度问题） 【典例1】（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【详解】解：∵四边形和相似，∴， 在四边形中，，∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知五边形五边形，，则的度数为______ 【答案】 【详解】解：∵五边形五边形．∴根据相似多边形的性质，对应角相等，即． 又∵．∴．故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【详解】解：∵四边形四边形，∴． ∵，∴，解得． ∴． 题型08 相似多边形的性质（长度问题） 【典例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵五边形与五边形的周长比为， ∴五边形与五边形的相似比为，∴的值为．故答案为：． 【变式1】（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：矩形与矩形是相似的矩形，， 设，，则，，故，即， ∴，∴，故选：B 【变式2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）若四边形四边形，且，，则四边形与四边形的周长比为______． 【答案】 【详解】解：因为四边形∽四边形，所以对应边成比例，相似比为， 因为周长比等于相似比，四边形与四边形的周长比为，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，．(1)求证：；(2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：∵，∴，． ∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∴，∴是菱形，∴； （2）∵四边形是菱形，∴． ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵四边形与四边形相似，∴，∴， ∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴的长为． 题型09 相似多边形的性质（面积问题） 【典例1】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【答案】60 【详解】解：设放大后的长为，∵放大前后的两个矩形相似， ∴，解得，∴放大后的长为，放大后的矩形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为．∵相似多边形的周长比等于相似比，∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20，∴，解得，∴较大多边形的周长为．故选：A． 【变式2】（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为，它们的面积之比为，即． 【变式3】（2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比,∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方,∴两面国旗的面积比为． 题型10 相似多边形中的新定义问题 【典例1】（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， 平分，，， ，，是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ，，． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是，矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确；，即，故④正确； 四边形是正方形，，， 矩形是黄金矩形，，即，故②正确； ，，故③正确；故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【详解】 （2）解：如图，连接，．由（1）知，，为黄金三角形， ∴，，∴，，， ∴为黄金三角形，可得，即，∴． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”：设，，则， ∵，∴，即．∴． ∴，（负数不合题意，舍去）．∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，则，∵，∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去），∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得，∴正方形的边长为． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得，解得． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【详解】解：对于选项A：，，∴，故A符合题意； 对于选项B：，，∴，故B不符合题意； 对于选项C：，，∴，故C不符合题意； 对于选项D：，，∴，故D不符合题意． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 【答案】C 【详解】∵ 相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为与的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为的菱形与一个内角为的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 【答案】C 【详解】解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似，故选：C． 5．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变，∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得，解得，即投影画面长边长为． 6.（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，， 将，代入得：，∵，∴，故选：B． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，故选项D正确． 设，（）验证其他选项：A. ，故A错误； B. ，故B错误；C. ，，显然不相等，故C错误；故选：D． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 【答案】 【详解】解：∵五边形五边形，， ∴相似比为则面积比为：．故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似；见解析． 【详解】解：不相似．理由如下： ，，，，， ，． ，．∴矩形和矩形不相似． 10．（25-26九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值；(2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，，(2)(3) 【详解】（1）解：设，则，，． ∵，∴，解得，∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项，∴， 把，代入可得：， ∵线段长度不能为负，∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段，∴， 把，，代入可得：，解得． 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：，，， ， 与互为倒数，的值为1．故选：A． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为，∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线，∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【详解】解：A.∵四边形与为菱形，∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段，∴B，E，F，D四点共线，故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接，由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2，∴，∴， 不满足三角形重心的性质，∴点E不是的重心，故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线，假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，，∴，故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线，∵菱形菱形，∴， ∵，∴，∴，∴， 故该选项正确，不符合题意；故选：B． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：，实际直线距离：．故答案为：． 5．（25-26九年级·成都·专题练习）如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】 【详解】解：根据题意得：内矩形长为，宽为，外矩形长为，宽为， 若内外两个矩形相似，除对应角相等外，还需，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．∴当时， 小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴矩形中点A、C的坐标为：，，即：，， ∵，，，∴四边形是矩形，∴，， ∵直线与轴交于点，与轴交于点，令，解得：，即， ∵点为线段上一点，∴设，且， ∴，， ∵四边形四边形，∴，∴，解得：，∴，∴． 7．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【详解】解：∵矩形矩形，∴， 由矩形的性质可知，，∴，∴． 8．（2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：设，∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得，移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此，解得：，∴，且， 将代入所求代数式，得． 9．（25-26·河北高阳县·九年级期中）（1）观察下列式子：，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了 B．变好了 C．没有改变 （4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否 【详解】解：（1）∵，，，… ∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大； （2）由（1）得：＜，理由如下：， ∵ ，∴ ，∴ ＜0，∴ ； （3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，则-＜0， ∴ ＜，∴ 采光条件变差，故选A ； （4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似，故填：否． 10.（2026·山西大同·三模）综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】(1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】(3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【详解】（1）解①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴，∴四边形是矩形； ②∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，∴， ∵矩形和矩形相似，∴即，∴； （2）①解：当恰好经过点时，由（1）②得，∴， ∵旋转，∴，∵，，， ，． ②解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，，， ，，， 在与中，，，， ，，，，∴点E是的中点． （3）∵，，∴， 解：①如图，当点在线段上时，， ，，，， ，，连接，，则， ，，是等边三角形， ，由（2）可知，， ，，， ，是等边三角形，过点作于， ，，，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形，， 综上所述，线段的长为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 相似多边形 教学目标 1、理解线段的比及成比例线段的区别与联系；掌握比的基本性质。 2、理解相似多边形概念：对应角相等，对应边成比例；掌握相似比的定义。 3、会根据定义判断两个多边形是否相似；能利用相似比求边长；知道全等是相似比为 1 的特殊相似。 4、通过观察、对比缩放图形，类比全等多边形，体会 “形状相同、大小可以不同”，提升识图能力。 5、感受生活中大量相似图形，体会图形变换思想。 教学重难点 1.重点 （1）相似多边形定义（误以为 “所有矩形都相似、所有菱形都相似”）。 （2）相似比（相似比有顺序，甲与乙的相似比≠乙与甲的相似比）。 2.难点 （1）判定相似多边形的两个条件缺一不可：仅有角相等，或者仅有边成比例，多边形不一定相似。 （2）等比性质及其综合运用。 知识点01 成比例线段与比的性质 1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比。 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 3．比例的基本性质： （1）如果那么ad=bc。其中：a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项。 （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）； （3）合分比性质：如果那么； （4）等比性质：如果（b+d+……+n≠0），那么 【即学即练】 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 4．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 5．（2026·广东深圳·二模）已知，若，且，则_________． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么；②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知为的三边，且，则的形状是_____． 知识点02 相似多边形 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。 它的符号是“∽”，读作“相似于”。 切记：写法与全等类似，对应字母要写在对应的位置上。 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比；根据比的性质，也可得到周长比等于相似比。 注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定，也是它的性质。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 2．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知四边形四边形，，，且．(1)的度数为_____；(2)若，求的长． 题型01 成比例线段辨别与运用 【典例1】（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中，则的长为（    ） A．0.75 B．1 C．1.5 D．2 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 题型02 等比中项及运用 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，，则它们的比例中项线段的长为（    ） A．4 B．6 C．10 D．16 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是 ________ ． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 题型03 比例相关知识的实际应用 【典例1】（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【变式2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【变式3】（2026·上海金山·一模）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 题型04 比例的基本性质 【典例1】（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26四川成都·九年级期中）如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【变式4】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知：，且． (1)求代数式的值；(2)当时，求的值． 题型05 比例的基本性质综合运用 【典例1】（25-26山东青岛九年级期中）已知abc≠0，且＝＝＝k，则k的值为（　　） A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 【变式1】（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．或1 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【变式3】（2026·四川内江·模拟预测）已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 题型06 相似图形与相似多边形判定 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【变式1】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【变式4】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 题型07 相似多边形的性质（角度问题） 【典例1】（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知五边形五边形，，则的度数为______ 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 题型08 相似多边形的性质（长度问题） 【典例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 【变式1】（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）若四边形四边形，且，，则四边形与四边形的周长比为______． 【变式3】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，．(1)求证：；(2)若，四边形与四边形相似，求的长． 题型09 相似多边形的性质（面积问题） 【典例1】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式2】（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】（2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 题型10 相似多边形中的新定义问题 【典例1】（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”：设，，则， ∵，∴，即．∴． ∴，（负数不合题意，舍去）．∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 5．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 6.（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 10．（25-26九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值；(2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 5．（25-26九年级·成都·专题练习）如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 7．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 8．（2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 9．（25-26·河北高阳县·九年级期中）（1）观察下列式子：，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了 B．变好了 C．没有改变 （4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 10.（2026·山西大同·三模）综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】(1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】(3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $