3.1 相似多边形（暑假预科讲义）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 3.1相似多边形 知识归纳与题型总结 考点01 比例线段 1. 定义：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段． 2. 比例的性质： （1）如果，那么； （2）如果（，，，都不等于0），那么； （3）（），那么． 考向01 成比例线段 【例1】四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 【对点1】已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 考点02 相似多边形 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比． 考向01 相似多边形 【例1】下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 考向02 相似多边形的性质 【例2】小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 【对点1】下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 【对点2】五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 一、选择题 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 2．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 3．下列命题正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相等的弦所对的弧相等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．若点是线段的黄金分割点，则与的比叫做黄金比 【答案】C 【分析】根据矩形判定，圆中弦弧关系，平行线分线段成比例定理，黄金分割定义逐一判断命题正误即可. 【详解】解：、对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故该选项错误，不符合题意； 、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧才相等，未给出同圆或等圆的条件，故该选项错误，不符合题意； 、该表述是平行线分线段成比例的基本定理，表述正确，故该选项正确，符合题意； 、黄金比是较长线段与整条线段的比，选项未说明是较长线段，表述不严谨，故该选项错误，不符合题意． 4．点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 5．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 6．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．点的坐标为 D．五边形的周长是五边形周长的3倍 【答案】C 【分析】根据，得到五边形与五边形的位似比为，计算判断解答即可． 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【详解】解：由五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，得五边形与五边形的位似比为， 点的坐标为， 故，，五边形的周长是五边形周长的3倍． 故C错误， 故选：C． 8．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 9．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 10．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 12．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 13．在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 【答案】27 【分析】先确定原矩形的边长，根据相似多边形对应边成比例求出留下矩形的未知边长，再计算面积，舍去不符合题意的解。 【详解】解：由题意得，原矩形长为，宽为，截去一个矩形后，留下矩形的一条边长为原矩形的宽，设另一条边长为，且， 因为留下的矩形与原矩形相似， 根据相似多边形的对应边成比例，分两种情况讨论： 情况1： 解得，符合题意； 情况2： 解得，此时留下矩形与原矩形全等，不符合截去一个矩形的要求，舍去； 若留下矩形的一条边长为，设另一边长为（其中）， 根据题意得：， 解得，与的条件矛盾，舍去； 因此留下矩形的面积为 14．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 15．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 三、解答题 16．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 18．已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 19．已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成比例线段． （1）将已知数据代入比例式，即可求解； （2）根据比例中项的定义列式，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 20．如图，在钝角中，为钝角，，为边上的高线，平分交于点E，且是与的比例中项． (1)求证：； (2)求的值； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证，得，再证，然后由直角三角形的性质得，则，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义得，再由（1）可知，，然后由相似三角形的性质即可得出结论； （3）由锐角三角函数定义得，设，则，，再由相似三角形的性质得，则，，，然后求出，则，再根据锐角三角函数定义即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵是与的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； （3）解：∵，， ∴设，则， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是与的比例中项， ∴， ∴，即， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 3.1相似多边形 知识归纳与题型总结 考点01 比例线段 1. 定义：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段． 2. 比例的性质： （1）如果，那么； （2）如果（，，，都不等于0），那么； （3）（），那么． 考向01 成比例线段 【例1】四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【对点1】已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 考点02 相似多边形 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比． 考向01 相似多边形 【例1】下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 考向02 相似多边形的性质 【例2】小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【对点2】五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 一、选择题 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 2．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 3．下列命题正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相等的弦所对的弧相等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．若点是线段的黄金分割点，则与的比叫做黄金比 4．点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 6．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 7．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．点的坐标为 D．五边形的周长是五边形周长的3倍 8．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 12．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 13．在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 14．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 15．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 三、解答题 16．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 17．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 18．已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 19．已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 20．如图，在钝角中，为钝角，，为边上的高线，平分交于点E，且是与的比例中项． (1)求证：； (2)求的值； (3)直接写出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $