专题 3.14 相似三角形与一次函数 综合讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义以“知识梳理+题型精析+同步检测”构建相似三角形与一次函数综合知识体系，通过框架式呈现一次函数基础、坐标系相似判定思路及通用解题步骤，突出坐标转线段、相似存在性分类等重难点，助力学生形成结构化认知。 讲义亮点在于分层题型设计，从静态求值到动态存在性问题，如动点型相似存在性分类讨论，培养推理意识与模型观念。例题配变式训练，同步检测分层设题，基础生掌握方法，优秀生深化思维，为教师精准教学提供支撑。

专题 3.14 相似三角形与一次函数综合讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.学习目标与重难点 1 一、学习目标 1 二、重难点 1 二.知识储备 2 【知识点一】一次函数基础必备知识 2 【知识点二】坐标系中相似三角形判定思路 2 【知识点三】相似三角形与一次函数综合通用解题步骤 2 三.题型精析 3 【题型 1】静态图形相似与一次函数求值问题 3 【题型 2】相似三角形与一次函数解析式求坐标 10 【题型 3】动点型相似三角形存在性问题 19 【题型 4】相似三角形与一次函数综合（动点问题） 29 四.同步检测 36 解答题（本大题共6小题，共100分） 36 一.学习目标与重难点 一、学习目标 1. 掌握一次函数图像基本性质，会求直线解析式、交点坐标，能把点坐标转化为线段长度。 2. 理解平面直角坐标系中相似三角形的判定思路，能够结合坐标、直线斜率识别相等角，证明三角形相似。 3. 熟练解决坐标系背景下相似三角形的线段求值、求点坐标、存在性问题，掌握分类讨论方法。 4. 体会数形结合思想：由函数得坐标，由坐标得线段，由线段证相似，由相似列方程求坐标。 二、重难点 重点：一次函数求交点、坐标转线段；坐标系中AA相似判定；利用相似比列方程计算线段与点的坐标。 难点：相似三角形存在性多情况分类；坐标系中对应顶点不固定，容易漏解；线段长度要加绝对值，避免符号出错。 二.知识储备 【知识点一】一次函数基础必备知识 1. 一次函数解析式：，为斜率，为y轴截距。 （1）求解析式：代入两个点坐标，解二元一次方程组求。 （2）求交点坐标：联立两个直线解析式，解方程组，解即为交点的。 （3）坐标轴交点：与轴交点令；与轴交点令。 2. 坐标系中线段长度公式 （1）水平线段（纵坐标相同）：两点， （2）竖直线段（横坐标相同）：两点， （3）任意两点距离： 3. 斜率与垂直、平行关系 （1）两直线平行：斜率相等 （2）两直线垂直：斜率乘积 （斜率均存在时） 【知识点二】坐标系中相似三角形判定思路 坐标系中优先使用AA（两角对应相等）证明相似，较少使用SAS、SSS。 获取相等角的常见途径： （1）坐标轴产生直角：x轴、y轴互相垂直，得到角； （2）直线平行得到同位角、内错角相等； （3）互余关系：直角坐标系中“同角的余角相等”，是坐标系相似题高频等角来源； （4）公共角、对顶角相等。 【知识点三】相似三角形与一次函数综合通用解题步骤 步骤1：求基础：求出所有直线解析式，求出定点、交点坐标； 步骤2：转线段：由坐标求出相关线段的长度（注意加绝对值）； 步骤3：找等角：利用直角、平行、互余、公共角寻找两组相等角，确定相似； 步骤4：列比例：找准对应顶点，写出相似对应边比例式，建立方程求解； 步骤5：检验取舍：检验点的位置，舍去不符合题意、重合的解。 三.题型精析 【题型 1】静态图形相似与一次函数求值问题 题型特征：已知固定一次函数解析式，直线与坐标轴围成固定三角形，结合图形中线段、角度关系，证明三角形相似或求参数、线段长。 解题步骤：① 求直线与坐标轴交点坐标，确定三角形顶点坐标；② 计算三角形各边长、角度；③ 利用AA或SAS判定相似；④ 结合相似比例式列方程计算。 【例题1】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在上，平行于y轴的直线从点A出发，以3个单位每秒的速度在射线上匀速运动，交直线于点P，交x轴于点Q，运动的时间为秒． （1）若，①求点C的坐标；②当时，求的长度； （2）当时，直接写出直线运动的过程中，与相似时（不包含重合时）t的值． 【答案】（1）①C点坐标为；②12或24；（2）或15或 【分析】（1）①先求出，，证明，，求出即可得出答案； ②先表示出，，根据，得出，求出t的值即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论：当时，②当时，分别列出算式进行解答即可． （1）解：①把，代入得， 把，代入得：，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； ∴C点坐标为； ②由题可得，， ∴， ， ∵， ∴， 解得或8， ∴为12或24； （2）解：根据题意得：，， ∴，； ①当时，， 即， 解得或15； ②当时，， 即， 解得或6（舍去）， 综上所述t为3或15或． 【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，三角形相似的判定和性质，两点间距离公式，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法，注意分类讨论． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点是坐标原点），则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题得，，得到，根据相似三角形的性质得到或求出或，得到或，即可得到答案． 解：， ， ； 直线交轴的正半轴于点，交轴于点， ， ， ， 或 或， 或， 当时，， 代入得， 解得； 当时，， 代入得， 解得， 综上所述，的值为或， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林四平·期末）如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上,边AB、OA（AB>OA）的长分别是方程x−11x+24=0的两个根,D是AB上的一动点（不与A．B重合）.AB=8，OA=3.若动点D满足△BOC与AOD相似，则直线OD的解析式为____. 【答案】y=−x 【分析】分两种情况：△BOC∽△DOA和△BOC∽△ODA，由相似三角形的对应边成比例求得点D的坐标，由待定系数法求得直线OD的解析式； 解：若△BOC∽△DOA. 则 即 所以AD= ， 若△BOC∽△ODA,可得AD=8（与题意不符,舍去） 设直线OD解析式为y=kx,则3=−k， 即k=− ， 直线OD的解析式为y=−x； 【点拨】此题考查一次函数的性质，解题关键在于利用相似三角形的性质求解. 【变式3】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是，连接． （1）求的面积； （2）如果点D在线段上，且，求点D的坐标； （3）如果点P在直线上，且与相似，求线段长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，求解即可； （3）过点P作轴于点E，根据P在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论∶ ①当时，②）当时，分别列式计算求出x的值，即可求点P的坐标． 解：（1）解∶ 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当，则， ． ． 当，则，解得． ． ． 点C的坐标是， ． ． ； （2）解∶设直线的解析式为， ，点C的坐标是， ， 解得． 直线BC的解析式为． ， 当点D在线段上时，如图1，设与y轴交于点E，由题意得， ，， ．． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立和得， 解得 点D的坐标为； （3）解∶在中， ， ． 同理可得． 如图，过点P作轴于点E， ，； ， 轴， ． ． P在直线上，设， ． ． 当时． ． ，解得． ．， 当时， ． ，解得． ． 综上，线段长度为．或 【点拨】本题考查了三角形的面积，勾股定理，待定系数法求一次函数，两直线的交点，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【题型 2】相似三角形与一次函数解析式求坐标 题型特征：已知三角形相似关系、部分点坐标，求未知一次函数的值，是基础综合必考题型。 解题步骤：① 设一次函数解析式；② 由相似性质得边长比例、角度关系；③ 求出直线上点坐标；④ 代入解析式求参数。 【例题2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知点在直线上，此直线与x轴交于点B，直线轴，垂足为点D，作垂直于，垂足为点C，直线与相交于点P． （1）求点B坐标． （2）求点P坐标． （3）联结，得，若直线上存在点M，使与相似，求点M坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要查了一次函数的图象和性质，相似三角形的性质： （1）把点代入，可求出一次函数的解析式为，即可求解； （2）先求出直线的解析式，可设直线的解析式为，再求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意可得，然后分两种情况解答，即可求解． （1）解：∵点在直线上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， 即点B坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵垂直于， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P的坐标为，，点B坐标为，轴， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，此时，如图， ∴， ∴，解得：， ∴， 即点M的坐标为； 当时，此时，如图， ∴， ∴，解得：， ∴， 即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时E点坐标；当时，，同样方法求此时E点坐标． 解：设， 对于，当时，，解得， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为； 当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为， 综上所述，E点坐标为或． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴交线段于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点的坐标为 ______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，相似三角形，解题的关键是通过相似三角形的性质建立等式求解； 根据题意分类讨论，或． 解：设，则， 关于，当时，，即， 当时，，即， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． （1）求的面积； （2）如果动点在直线上，使得，求点的坐标； （3）如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，分两种情况：点在轴上方，点在轴下方，分别求解即可； （3）过点作轴于点，根据在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论：当∽时，当∽时，分别列式计算求出的值，即可求点的坐标． （1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， ， ， 令，，则， ， ， 点的坐标是， ， ， 的面积； （2）设直线的解析式为， ，点的坐标是， ，解得， 直线的解析式为， ，分两种情况： 当点在轴上方时，如图，设与轴交于点， ，， 又， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，如图，设与轴交于点， 同理得，，直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）如图，过点作轴于点， ， ， ， 在直线上， 设， ， ， 当∽时， ， ， ， ， ， ； 当∽时， ， ， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或 【点拨】本题属于一次函数的综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形性质，待定系数法，求两直线的交点坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【题型 3】动点型相似三角形存在性问题 题型特征：一次函数直线上有动点，动点与定点构成三角形，已知定三角形，探究动点位置使两三角形相似，是中考高频基础题型。 解题关键：分类讨论对应顶点，避免漏解；固定直角、等角，结合比例式求解动点坐标。 【例题3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点A、点C的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使以点C、点E、点P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）A的坐标是，C的坐标是；（2）存在，P的坐标是和 【分析】（1）先解一元二次方程求出两根，再结合点在坐标轴上的位置确定A、C坐标．因为，所以可根据的长度求出，进而得到B点坐标． （2）先利用A、B坐标求出直线的解析式，再结合的长度求出E点坐标；接着求出直线的解析式，得到D点坐标，进而确定的边长和角的特征．需分情况讨论：以C为顶点的角对应中不同的角，利用相似三角形的判定定理，结合坐标与距离的关系列方程求解P点坐标． （1）解：∵，即， 则，， 解得：，， 又∵， ∴，， ∴A的坐标是，C的坐标是． （2）解：∵， ∴， 则B的坐标是． ∴． 作轴于点F． 则， ∴， ∴， ∴，， 则， 则E的坐标是． ∴，， ∴； 设直线的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是； 当时，，即， ； 设P的坐标是，则． 当时，，即， 解得：， 则P的坐标是； 当时，，则， 解得：， 则P的坐标是． 总之，P的坐标是和． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）求点、的坐标； （2）如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在；点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． （1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·四川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求直线的函数解析式； （2）在直线上是否存在一点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P坐标为或；（3）存在，或或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定； （1）设直线的表达式为，先求出C点坐标，然后将C、D坐标代入解析式即可； （2）由折叠得，，①当时，，利用，得出直线解析式与直线的函数解析式值相同，求出直线的函数解析式再与直线解析式联立，即可求出的坐标，②当时，，利用翻折的性质可得点重合，将直线的函数解析式与直线解析式联立，即可求出的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形为矩形，①当为对角线时，、相交于点F，利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，先求出点F的坐标，利用可求出的坐标，进而求出的坐标，②当为对角线时，、相交于点F，此时点重合，利用F的坐标，求出的坐标，③当为对角线时，、相交于点F，此时共线，点N在直线上，利用F的坐标，求出的坐标． （1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ,, , 将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， , ∴, ， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为． （2）解：在直线上存在一点P，使得与相似，理由如下： 由折叠得，， ①当时，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为， ∵， ∴直线的函数解析式为， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴， ②当时，，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线的函数解析式为，直线解析式为， ∴， ∵， ∴关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点都在直线上， ∴点重合， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴． 综上：点P坐标为或． （3）解：当为对角线时，、相交于点F，如图所示： 由翻折可得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点为直线上一点， ∴设， ∴， 解得：或（舍去） ， ∴， ∵为中点， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， 又∵点为直线上一点， ∴点重合， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， ∴点N在直线上， 设， ∵点为直线上一点， 设， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴，解得：， ∴，即． 综上：若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，存在点或或，使以点、、、为顶点的四边形为矩形． 【题型 4】相似三角形与一次函数综合（动点问题） 【例题4】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图所示，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处，已知折叠，且． （1）判断与是否相似？请说明理由； （2）求点的坐标 （3）求直线与轴交点的坐标． 【答案】（1）与相似，理由见解析；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为． 【分析】（1）结论△OCD与△ADE相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD＝∠EDA，由此可证得两三角形相似． （2）设，则，利用，得到，．在中，利用，解得，故可求解； （3）根据待定系数法求出CE的解析式，故可求解． 解：（1）与相似．理由如下： 由折叠知，， ∴， ∵， ∴∠OCD＝∠EDA． 又∵， ∴． （2）∵， ∴设，则， 由勾股定理得，∴． 由（1），得： ∴ ∴． 在中，∵， ∴，解得． ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， （3）设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 令y=0,解得x=16 ∴点的坐标为． 【点拨】本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，直线交坐标轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，的面积． （1）直接写出点C的坐标________； （2）求直线的解析式； （3）如图2，点D，E分别是边，上的动点，将沿折叠，使得点A落在边上的F处，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出A、B的坐标，然后利用三角形面积公式求出，即可求出点C的坐标； （2）设直线的解析式为，然后把B、C坐标代入求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． （1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴，， 设， 由折叠知：， 根据题意，得， 则当与相似时，有两种情况： ①， ∴，即， 解得， ∴； ② ∴，即， 解得， ∴， 综上，E的坐标为或． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在坐标平面中，直线分别交轴、轴于、，把绕点旋转，使点落在轴正半轴点处，落在轴上点处，直线与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）点为线段上一点，过点作轴的平行线交直线于，设点的横坐标为，的面积为平方单位，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，，由旋转得，，得到，，直线的解析式为，代入，用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点作轴，交于点，连接，反向延长交于点，设，根据轴，确定点纵坐标与相同，求出的解析式为，进而得到点的坐标为，用表示出和的长度，代入三角形面积公式，即可得出与的函数关系式； （3）连接，过点作于点，过点作于点，由得到比例式，在中，用勾股定理求出，结合、代入比例式，即可列方程求得（舍去重合解），代入点坐标表达式，即可得点坐标． （1）解：直线分别交轴、轴于、， ∴，， ∴，， 由旋转得， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点，连接，反向延长交于点， ∵在直线上， ∴点的坐标为， ∵，轴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，代入，，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵点在上， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴与的函数关系式为； （3）解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 故时，，则， ∴． 【点拨】本题考查了一次函数的图像与性质、图形的旋转性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算，利用旋转的性质确定对应点坐标，结合相似三角形的比例关系建立方程是解题的关键． 四.同步检测 解答题（本大题共6小题，共100分） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，且，. （1）点A的坐标为_______，点B的坐标为_______ （2）求直线的表达式； （3）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与相似？若存在.请直接写出点P的坐标；如不存在，请说明理由_______ 【答案】（1），；（2）；（3）P的坐标是和 【分析】（1）由直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，令和，即可求出点A和点B的坐标； （2）作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）设P的坐标是，则，分成和两种情况进行讨论即可求解． （1）解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 当时，， ， 当时，， ； 故答案为：，； （2）解：，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 作轴于点F，   ， ， ， ， ， ，， 则， 则E的坐标是， ， 设直线的解析式是， ， 解得：， 则直线的解析式是：； （3）解：设P的坐标是， ， 则， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， 当时， ， 即， 解得：， 则P的坐标是， 当时， ， 则， 解得：， 则P的坐标是.， 综上所述，P的坐标是和． 【点拨】本题考查了一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，已知点，，求： （1）直线的解析式； （2）过点的直线（与x轴不重合）截且与的另一边相交于点P，若截得的小三角形与相似，试求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，相似三角形的性质及勾股定理． （1）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）分点在上和上两种情况，利用相似三角形的对应边的比相等，从而求得的坐标． （1）解：设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：． 则直线的解析式是：； （2）解：∵，，． ∴，，，， 当在上时，如图， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴（舍去）； 当在上时，当时，如图， ∴， ∴， 解得：， 设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， ∵， ∴的横坐标为， ∵在上，当时，， ∴， 综上所述，或或． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点 （1）求，两点的坐标； （2）若轴上有一点，轴上有一点，与构成位似图形，位似中心为原点，相似比为，求所在直线的解析式． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，位似的性质等知识，掌握这些基础知识是解题的关键． （1）运用求与坐标轴交点的方法求解即可； （2）根据位似的性质可知，再运用位似比求出点D的坐标，从而利用平行直线k值相等，与y轴交点纵坐标即为b值，可直接得出直线的解析式． （1）解：令，则， 令，则， ∴，两点的坐标分别是：，； （2）解：∵与构成位似图形，位似中心为原点， ∴，即直线所在直线的解析式中一次项系数是， 又∵相似比为，， ∴， ∴直线所在直线的解析式是：． 4．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图1所示，在平面直角坐标系中直线与坐标轴分别交于A，C两点，一动点从点出发向终点以每秒1厘米的速度移动，同时点从点向轴负半轴以每秒2厘米的速度移动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）如图1，作射线，求当为何值时，平分？ （2）如图2，若与相似，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，角平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，由勾股定理求出，过点作于，得，由三角形面积关系可得结论； （2）分和利用相似三角形的性质列式计算即可． （1）解：∵与坐标轴分别交于A，C两点， ∴令，则，令，则，解得， ∴， ， ， 过点作于， 平分， ， ， 又， ， 由题知，， ， ； （2）解：当时， ∴， 解得， 当时． ， 解得，     综上：或． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． （1）求过点的直线的函数表达式； （2）过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识． （1）待定系数法求一次函数解析式即可． （2）过点作交轴于，则，再证明，由相似三角形的性质得出，进而求出的值，再根据数轴求出，进而可求出点D的坐标． （3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可． （1）解：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 直线的解析式为； （2）解：过点作交轴于， ， ∵， ∴， ∴， 即． ∵，， ， ． 点的坐标为 （3）解：， ． 1．若，如下图： 则 解得： 2 ．若，如下图： 则 解得： 综上所述：符合要求的的值为或． 6．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点， 的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点 E、F、P、Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得 ，且以点 M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由知，， 则， 则， 当时，直线解析式为： 当时，，则， 即点， ； （2），理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 令得：， ∴点， ， ， ； （3）存在，时，；时，；时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ∴同理可得，， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， ， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④，的情况不存在， 综上，存在，时，；时，；时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $