专题3.4 相似三角形的性质（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，系统梳理对应高、中线、角平分线及周长之比等于相似比，面积之比等于相似比平方的性质，结合影子测高、标杆测高、镜子反射测高三种方案，构建从性质推理到实际问题建模的学习支架，含逻辑图辅助知识关联。 资料通过9类题型分类及典例变式设计，突出数学思维（逻辑推理）与数学语言（建模能力）培养，如镜子测量问题抽象相似三角形模型，课中助教师分层教学，课后即学即练与综合题帮助学生查漏补缺，发展应用意识与创新意识。

专题3.4 相似三角形的性质 教学目标 1、掌握：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。 2、周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方；拓展迁移到相似多边形的周长、面积性质。 3、掌握三种测量方案：影子测高、标杆测高、镜子反射测高。 4、可以把现实测量场景抽象为相似三角形模型，列比例方程求解物体高度。 5、通过推理得到各组量的比例关系，区分线性量（线段、周长）与面积量，发展逻辑推理；感受相似图形内部各几何量有规律的缩放关系。 6、经历数学建模：把实际生活问题转化几何图形，提升建模能力；体会相似知识在现实生活测量中的实用价值。 教学重难点 1.重点 （1）把实际问题抽象成相似三角形，运用相似三角形的知识建立比例计算。 （2）对应线段比、周长比=相似比；面积比=相似比平方。 2.难点 （1）已知面积比反求相似比，需要开平方；区分线段比例和面积比例。 （2）能熟练运用相似三角形的性质解决生活中对的一些实际问题。 知识点01 相似三角形的性质1、相似三角形的性质 1）对应角相等，对应边的比相等； 2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·成都·校考期中），，边上的中线，的周长为，的面积是，求：(1)边上的中线的长；(2)的周长；(3)的面积． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·校考期中）若，，，平分，平分，，则________． 知识点02 利用相似三角形测高1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1）如甲图所示，通常先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），由相似三角形的性质，求出AB。 2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。 注意：1）太阳光近似看成平行光线。在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【即学即练】 1．（25-26山东·九年级期中）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度；(2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 题型01 相似三角形的性质（角度问题） 【典例1】（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【变式2】（2026·成都·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，，，则的度数为______ 【变式4】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知（点在边上），若，，则的度数为______． 题型02 相似三角形的性质（长度、周长问题） 【典例1】（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，，，则的长为_______． 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边，则这个正方形木板的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 题型03 相似三角形的性质（坐标问题） 【典例1】27．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则点的坐标为________． 【变式2】（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是_______． 【变式3】（25-26江苏苏州·九年级下期中）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_____． 题型04 相似三角形的性质（面积问题） 【典例1】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东·期中）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，已知正方形的面积为，面积为的正方形从点出发沿着线段平移至点．直线与直线相交于点，直线分别与直线，相交于点，．在正方形的平移过程中，的面积是（　　） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．不变 D．无法确定 【变式4】（2026·河南周口·二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 题型05 相似三角形的性质（三线问题） 【典例1】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·湖北·课后作业）已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，，边上的高；矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上，设的长为x，那么线段的长可以表示为__________．（用含有x的代数式表示） 题型06 镜子测量问题（在异侧构建两个相似三角形测高） 【典例1】（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：；(2)求此公益广告牌的高度． 【变式1】（25-26·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【变式2】（25-26·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB 4m ，BP 6m ， PD 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（ ） A．8m B．9m C．16m D．18m 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 题型07 影子测量问题（在同侧构建两个相似三角形测高） 【典例1】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上．(1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）；(2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【变式1】（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【变式3】（25-26·陕西·西安九年级期中）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的MN处，求墙上影子MN的长度． 题型08 移动中的测量问题【典例1】（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式2】（26-27九年级上·重庆·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 题型09 其他测量问题 【典例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】(2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：．(2)求河宽的长． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【变式4】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 1．（25-26江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（       ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 6．（25-26浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米． 7．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽；(2)若求的长． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果，． (1)求证：．(2)若，，，求的长． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：；(2)求证：．并求的值． 10．（2025·广东茂名·模拟预测）平面直角坐标系中，，，，，点P在线段上．(1)当与全等时，求P点坐标；(2)在（1）的条件下，是__________三角形； (3)当与相似时，求P点坐标． 11．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：；(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 1.（26-27九年级上·重庆·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽蚌埠·三模）将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边中，点P为内部一动点，满足，点Q为的中点，的延长线交于，的延长线交于E，连接、，则下列选项错误的是（    ）． A． B． C． D．为定值 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，，是直线上任意两点（点在点的左侧），分别过点，点作轴，轴的垂线，两垂线交于点，过点作，垂足为点．与的面积之比为（   ） A． B． C． D．比值不确定，与的值有关 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长． 【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，．(1)______度；(2)求证：；(3)点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______； 7．（2026·山东·校考一模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】(2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】(3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】(4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，．(1)求点A、C的坐标；(2)求直线的解析式；(3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 相似三角形的性质 教学目标 1、掌握：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。 2、周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方；拓展迁移到相似多边形的周长、面积性质。 3、掌握三种测量方案：影子测高、标杆测高、镜子反射测高。 4、可以把现实测量场景抽象为相似三角形模型，列比例方程求解物体高度。 5、通过推理得到各组量的比例关系，区分线性量（线段、周长）与面积量，发展逻辑推理；感受相似图形内部各几何量有规律的缩放关系。 6、经历数学建模：把实际生活问题转化几何图形，提升建模能力；体会相似知识在现实生活测量中的实用价值。 教学重难点 1.重点 （1）把实际问题抽象成相似三角形，运用相似三角形的知识建立比例计算。 （2）对应线段比、周长比=相似比；面积比=相似比平方。 2.难点 （1）已知面积比反求相似比，需要开平方；区分线段比例和面积比例。 （2）能熟练运用相似三角形的性质解决生活中对的一些实际问题。 知识点01 相似三角形的性质 1、相似三角形的性质 1）对应角相等，对应边的比相等； 2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·成都·校考期中），，边上的中线，的周长为，的面积是，求：(1)边上的中线的长；(2)的周长；(3)的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，边上的中线， ，； （2）解：，，的周长为， ，； （3）解：，，的面积是， ，． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 3．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，，∴，故A正确， ∴，∴，，故B、C正确，∴，故D错误． 4．（25-26九年级上·重庆·校考期中）若，，，平分，平分，，则________． 【答案】12 【详解】解：，，，平分，平分，， ∴，∴. 知识点02 利用相似三角形测高 1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1）如甲图所示，通常先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），由相似三角形的性质，求出AB。 2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。 注意：1）太阳光近似看成平行光线。在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【即学即练】 1．（25-26山东·九年级期中）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：，∴∴ ∵，，∴∴故选：C 2．（25-26九年级上·广东·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ，，． 根据题意可得，， ∴，，， ，解得，米．即灯柱高12米． 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度；(2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】(1)5米(2)缩短了，缩短了米 【详解】（1）解：，，， ，，，，解得（米）； （2）解：米，米，（米）， ，，， ，，，，解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 题型01 相似三角形的性质（角度问题） 【典例1】（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴． 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【答案】 【详解】解：，，， ，．故答案为：． 【变式2】（2026·成都·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与相似，∴对应角相等．∵，∴，故不对应． 情况1∶若对应，则，∴； 情况2∶若对应，则；∴可能为或．只有C符合．故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，，，则的度数为______ 【答案】/度 【详解】解：，，， ，故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知（点在边上），若，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故答案为：． 题型02 相似三角形的性质（长度、周长问题） 【典例1】（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的长为4. 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为，∴与的周长比为． 【变式3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边，则这个正方形木板的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直角三角形木板的面积为，直角边，∴，∴， ∵正方形，∴，设正方形的边长为，则：， ∵，∴，∴，即，解得； 故这个正方形木板的边长为；故选A． 【变式4】（2026·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，，∴，，∴， ∵的平分线交于点F，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，则． 题型03 相似三角形的性质（坐标问题） 【典例1】27．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵，，C为的中点，∴，∴， 当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时轴，∴， 当为直角顶点时，设：，则：， 由勾股定理，得：，解得：，∴；故选C． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．      又∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，设，∴， ∴，解得：．∴点的坐标为．故答案为：． 【变式2】（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴，，如图：作于， ， ∵，垂足为．∴，∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴， ∴，，∴点的坐标是，故答案为：． 【变式3】（25-26江苏苏州·九年级下期中）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_____． 【答案】或 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5， ∴OC=4，∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA，=，=5，此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，故答案为：（4，0）或（3，2）． 题型04 相似三角形的性质（面积问题） 【典例1】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且，，，， ，，． 【变式1】（25-26九年级上·山东·期中）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形，，． ，，． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与的高相同，，， ，，，，， ，，，， ．故选：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，已知正方形的面积为，面积为的正方形从点出发沿着线段平移至点．直线与直线相交于点，直线分别与直线，相交于点，．在正方形的平移过程中，的面积是（　　） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：根据题意易知：，，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，∵，，∴， ∴，同理可得：，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴． ∴的面积为定值，与正方形在移动过程中的位置无关．故选：． 【变式4】（2026·河南周口·二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作， ∵是边长为的等边三角形，∴， ∴；∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为，面积比为相似比的平方，即， ∴每个新三角形的面积是前一个三角形面积的 时，；时， 依此类推，可得的面积为：． 题型05 相似三角形的性质（三线问题） 【典例1】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为，∴与对应边上的高之比为． 【变式1】（26-27九年级上·湖北·课后作业）已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，相似比为，∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为，∴边上的中线长为. 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，，边上的高；矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上，设的长为x，那么线段的长可以表示为__________．（用含有x的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，设与交于点 四边形为矩形，，， ，，， 为边上的高，，， 即．故答案为： ． 题型06 镜子测量问题（在异侧构建两个相似三角形测高） 【典例1】（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：；(2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1)证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）解：由题意得，，∴， ∵，∴，∴， ∵米，米，米，∴， ∴（米），同理可得，，∴， ∵米，∴，∴（米）， ∴（米）．答：公益广告牌的高度为4.5米． 【变式1】（25-26·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【答案】B 【详解】解：如图，由题意得： 而 所以树高为 故选： 【变式2】（25-26·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB 4m ，BP 6m ， PD 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（ ） A．8m B．9m C．16m D．18m 【答案】A 【详解】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴，∴，即，解得：． 答：该古城墙CD的高度为8m．故选：A． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，答：旗杆的高度为12米． 题型07 影子测量问题（在同侧构建两个相似三角形测高） 【典例1】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上．(1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）；(2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； （2）解：由题意可得，， ∴，∴，， 设小亮的影子长为，即，则， ∴，解得，经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 【变式1】（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 【详解】由题意知：，， 由平行投影知：，，， ，即，解得：，则旗杆的长为 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【详解】解：∵，∴， 又∵，∴， ∴，即，解得， ∴，∴，解得． 【变式3】（25-26·陕西·西安九年级期中）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的MN处，求墙上影子MN的长度． 【答案】1.05m 【详解】解：如图所示，连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D， ∵QP⊥PM，NM⊥PM，ND⊥QP，∴四边形PDNM是矩形，∴DN=PM=2m，MN=DP 由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN，则， ∴，∴， 答：墙上影子MN的长度为1.05m． 题型08 移动中的测量问题 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 【答案】 【详解】解：根据题意得：，， ∵，∴，， ∴，，即，，∴ 解得：，即悟颖塔的高度为． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【详解】解：设树高为尺，如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵，∴，∴，∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴，解得，故树高为尺． 【变式2】（26-27九年级上·重庆·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【详解】解：设，， ，，∴， ，，，， ，，∴， ，，，， ，解得（检验成立），，解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，．∴，∴，解得， ∴，∴．故真身宝塔的高度为． 题型09 其他测量问题 【典例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】(2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∴，即，∴，答：像的长为； (2)解：，理由如下：∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴，∴，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，同理可证明， ∴，即，∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：．(2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， （2）解：由题可知，，，， ，，即，，答：河宽为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， 由题意得：，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，答：路灯的高度为． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 【变式4】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴． （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，，∴， ∴，∵，， ∴，即，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即，解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 1．（25-26江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3，故选A. 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，即，解得，故答案为：B． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，，∴， ∵点是的中点，∴．故选：A． 4．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，，，，，． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【答案】/0.5 【详解】解：∵，∴， ∴，∴（负值已舍去）． 6．（25-26浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米． 【答案】30 【详解】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB．∴， ∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，∴，∴AB=30．故答案为：30． 7．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽；(2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，，∴； （2）解：∵，∴， ∵，，，∴，∴． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果，． (1)求证：．(2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）解：∵，∴，则， ∵，，，∴，∴． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：；(2)求证：．并求的值． 【答案】(1)见解析(2)证明见解析，2 【详解】（1）证明：∵，∴． （2）解：∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴；∴． 10．（2025·广东茂名·模拟预测）平面直角坐标系中，，，，，点P在线段上．(1)当与全等时，求P点坐标；(2)在（1）的条件下，是__________三角形； (3)当与相似时，求P点坐标． 【答案】(1)(2)等腰直角(3)或 【详解】（1）解：∵，，，， ∴轴，轴，，∴， 若与全等，则：， ∴，∴，∴P点坐标是； （2）解：，，，，，，。 是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角； （3）解：由（1）可知，，若与相似，分两种情况： ①，则：，得：∴ ∵∴∴解得： ∴，此时，P点坐标是 ②，则：，得∴ ∵∴∴∴解得：或 当时，，此时，P点坐标是 当时，，此时，P点坐标是 综上所述，当与相似时，P点坐标是或． 11．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：；(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1，在和中， ，，，， ，（内错角相等，两直线平行）．　 （2）解：由题意，墙面地面，，，，，， ，四边形是矩形，， 又，，，， ，，，的长度为． 1.（26-27九年级上·重庆·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，，，，，． 2．（2026·安徽蚌埠·三模）将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．∴．∴．故A正确． 由题意可知，，， ∴不一定等于．∴不一定等于．故B错误． ∵无法判断和是否相等，∴无法判断与是否相似，故C错误． ，，但的大小无法判断，∴与不一定相等，故D错误． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边中，点P为内部一动点，满足，点Q为的中点，的延长线交于，的延长线交于E，连接、，则下列选项错误的是（    ）． A． B． C． D．为定值 【答案】D 【详解】解：①对于A，∵是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故A正确； ②对于B，如图，过作于，于， 于， ∵，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B正确； ③对于C，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故C正确； ④对于D，如图，延长至点，使得，连接，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， 当时，，∴是等边三角形，∴，此时点为定点， 而在的运动过程中，一直在改变，即不是定值，故D错误．故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，，是直线上任意两点（点在点的左侧），分别过点，点作轴，轴的垂线，两垂线交于点，过点作，垂足为点．与的面积之比为（   ） A． B． C． D．比值不确定，与的值有关 【答案】B 【详解】解：∵，是直线上任意两点， ∴设点的坐标为，点的坐标为，，∴， ∵，，∴，，． ∴．∴．∴．故选：B 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长． 【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长． 【答案】问题探究：；方法拓展： 【详解】解：问题探究、分别为边、的中点 ， 方法拓展：如图，过作，交延长线于， ，，，，， ，，，， ，，，． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，．(1)______度；(2)求证：；(3)点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______； 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：30； (2)证明：∵，，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴； （3）解：过点作于，∵，∴， ∴点在过点且垂直于的垂线上， ∴当，即点与点重合时，线段有最小值，过点作于， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴线段的最小值为，故答案为：； 7．（2026·山东·校考一模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米，故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米；故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得，∴，∴， ∵，∴，解得， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，解得，∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案，根据题意得，∴，∴， ∵，∴，解得， ∴教学大楼的高度为． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】(2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】(3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】(4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【详解】（1）解：四边形是正方形，，， 又， ，， 在和中，，，， ； (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形，，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ，，， ， 又，，，； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形，，，， 四边形均为矩形，， ， ，，，， ， ，又，， ，∴． （3）解：由矩形的性质可得，，由勾股定理得， 由（2）可知，，，，即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，，四边形是矩形， ∴，，，，， ，∴，∵∴， 又，∴，∴，∴， ，， （不合题意舍去）或 ， ，同（2）知， ， 又， ，， ， ，，即的值为． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，．(1)求点A、C的坐标；(2)求直线的解析式；(3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标是，C的坐标是；(2)；(3)存在，P的坐标是和. 【详解】（1）解：（1）解方程，即， 即或，解得：， 又，，，的坐标是，的坐标是． （2）解：，，则B的坐标是．. ，.过点作轴于点F．则， .，，. 则，则点E的坐标是 .设直线的解析式是， ，   解得： .则直线的解析式是. （3）解：当时，，即，. ，.，. 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，，即，解得：，则点P的坐标是； ②当时，， 则，解得：，则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $