3.5 图形的位似 初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦“图形的位似”核心知识点，系统梳理位似图形的定义（相似图形、对应点连线交于位似中心、对应边平行）及位似与坐标的关系（原点为中心时对应点坐标比为k或-k），在相似图形基础上深化特殊变换认知，为图形变换与坐标几何学习提供支架。 资料以题型分类（位似变换、作图）为主线，通过典例（如坐标计算）与变式题（如面积比问题）结合，培养几何直观与推理意识，借助坐标变换强化模型意识。课中助力教师系统授课，课后通过过关验收题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

3.5 图形的位似 内 容 导 航 题型1 位似变换 题型2 作图-位似变换 考 点 演 练 题型1 位似变换 解｜题｜知｜识 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，1），B（﹣1，0），C（4，﹣2），则点D的坐标是（　　） A． B．（1，0） C．（2，0） D．（4，0） 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，位似中心为原点O．若点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0），则点D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（　　） A．（8，﹣4） B．（﹣4，8） C．（4，﹣8） D．（﹣8，4） 【变式2】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：16，其中AD＝8，则OA的长为（　　） A． B．2 C． D． 【变式3】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，相似比为1：2，下列结论中不正确的是（　　） A．BC：EF＝1：2 B．OA：AD＝1：2 C．∠ACB＝∠DFE D．∠OAC＝∠ODF 题型2 作图-位似变换 解｜题｜知｜识 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得 到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A．（2，4） B．（4.2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2） 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，3），B（﹣3，1）． （1）△O1A1B1与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点O1，A1，B1都在格点上，则点P的坐标为　　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的，△OA2B2使它与△OAB的相似比为2：1；若P（m，n）是△ABC内部一点，则请直接写出点P的对应点Q的坐标　　 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（ 　 ，　 ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 过 关 验 收 1．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，2）或（﹣4，2） 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（9，4） D．（9，6） 3．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（　　） A．E B．F C．G D．H 4．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　） A．﹣2a+3 B．﹣2a+6 C．﹣2a+4 D．﹣2a﹣6 5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心画△A'OB'，使它与△AOB相似比为，则点A的对应点A'的坐标是（　　） A． B．（，1）或（，﹣1） C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16） 6．如图，点E（﹣2，1），F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣2，4）或（2，﹣4） C．（﹣4，2）或（4，﹣2） D．（4，﹣2） 7．图中的△ABC与△EDF位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 9．一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　　） A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2） 10．在平面直角坐标系中，已知线段AB，点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 11．如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF得到△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．四边形EFCB与△OEF的面积比是4：1 C．△ABC与△DEF的周长比为2：1 D．△ABC与△DEF的面积比为4：1 12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　） A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2） 13．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 14．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△MNC．若点A的对应点M的坐标为（5，﹣3），点B的对应点N的坐标为（3，0），则点A的坐标为（　　） A．（﹣5，3） B． C． D． 16．在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（8，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3） 17．在平面直角坐标系中，四边形ABCD顶点A的坐标为（2，﹣4），若以原点O为位似中心，画出四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD的相似比为，则点A′的坐标为（　　） A．（3，﹣6） B．（﹣6，3） C．（3，﹣6）或（﹣3，6） D．（﹣6，3）或（6，﹣3） 18．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝　　 ． 19．在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为　 　 ． 20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（4，4），C（4，2），已知△A1B1C1与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，点C1的坐标为（2，1）． （1）△A1B1C1与△ABC的相似比为　　 ；点A1的坐标为　 　 ； （2）在图中补全△A1B1C1；并直接写出A1C1与AC的关系． 21．如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）． （1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′； （2）写出点A′，B′，C′的坐标： （3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（ 　 　 ）． 22．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）． （1）作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，A点为对称中心； （2）作出△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2． 23．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　 　 ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　 　 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）写出点P的坐标为　 　 ，△ABC与△A′B′C′的面积比为　　 ，S△ABC＝　　 ； （3）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'． （1）在第一象限内画出△OA'B'； （2）求△OA'B'的面积． 26．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△OAB放大后的图形△OA1B1； （2）直接写出A1点的坐标；若点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为 　 　 ． 27．如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1； （3）直接写出点A2和点C2的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 图形的位似 内 容 导 航 题型1 位似变换 题型2 作图-位似变换 考 点 演 练 题型1 位似变换 解｜题｜知｜识 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，1），B（﹣1，0），C（4，﹣2），则点D的坐标是（　　） A． B．（1，0） C．（2，0） D．（4，0） 【答案】C 【解答】解：∵△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形， ∴△OAB∽△OCD， ∵A（﹣2，1），C（4，﹣2）， ∴△OAB与△OCD的相似比为1：2， ∵点A的坐标为B（﹣1，0）， ∴点D的坐标是（2，0）， 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，位似中心为原点O．若点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0），则点D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（　　） A．（8，﹣4） B．（﹣4，8） C．（4，﹣8） D．（﹣8，4） 【答案】A 【解答】解：∵点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0）， ∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的位似比为2， ∴D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（8，﹣4）． 故选：A． 【变式2】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：16，其中AD＝8，则OA的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：16， ∴△ABC与△DEF的相似比为1：4， ∴OA：OD＝1：4， ∴OA：AD＝1：3， ∵AD＝8， ∴OA． 故选：C． 【变式3】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，相似比为1：2，下列结论中不正确的是（　　） A．BC：EF＝1：2 B．OA：AD＝1：2 C．∠ACB＝∠DFE D．∠OAC＝∠ODF 【答案】B 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2， ∴BC：EF＝1：2， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴AC∥DF， ∴∠OAC＝∠ODF． ∴OA：AD＝OC：CE≠AC：DF， 故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 题型2 作图-位似变换 解｜题｜知｜识 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得 到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A．（2，4） B．（4.2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2） 【答案】D 【解答】解：如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2）． 故选：D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【答案】B 【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2）， k的值为：． 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，3），B（﹣3，1）． （1）△O1A1B1与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点O1，A1，B1都在格点上，则点P的坐标为　　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的，△OA2B2使它与△OAB的相似比为2：1；若P（m，n）是△ABC内部一点，则请直接写出点P的对应点Q的坐标　　 ． 【答案】（1）（﹣6，1）； （2）与△OAB位似的△OA2B2，如图2即为所求； （2m，2n）． 【解答】解：（1）如图1，连接A1A，B1B，O1O并分别延长，相交于点P， 则P点为位似中心， ∴点P的坐标为（﹣6，1）， 故答案为：（﹣6，1）； （2）与△OAB位似的△OA2B2，如图2即为所求； ∵P（m，n）是△ABC内部一点， ∴点P的对应点Q的坐标为（2m，2n）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（ 　 ，　 ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 【答案】（1）如图1，△A1B1C1即为所求； （2）﹣2a，﹣2b； （3）第二象限中使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍的△A2B2C2，如图2即为所求． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（﹣2a，﹣2b）， 故答案为：﹣2a，﹣2b； （3）第二象限中使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍的△A2B2C2，如图2即为所求． 过 关 验 收 1．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，2）或（﹣4，2） 【答案】A 【解答】解：线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4）， 以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为（8，4），即（4，2）， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（9，4） D．（9，6） 【答案】A 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴． ∵正方形BEFG的边长为12， ∴EF＝BE＝12， ∴BC＝4． ∴， ∴OB＝6， ∴C点坐标为（6，4）． 故选：A． 3．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（　　） A．E B．F C．G D．H 【答案】D 【解答】解：如图，∵点O为位似中心，DO＝2CO， 而OH＝2OA， 即点A的对应点为H点． 故选：D． 4．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　） A．﹣2a+3 B．﹣2a+6 C．﹣2a+4 D．﹣2a﹣6 【答案】B 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，∀ 则BD∥B′E， ∴△BCD∽△B′CE， ∴， ∵点C的坐标是（2，0）， ∴OC＝2， ∵点B的横坐标是a， ∴CD＝a﹣2， ∵△ABC与△A'B'C是位似图形，位似比为2， ∴， ∴CE＝2CD＝2a﹣4， ∴OE＝2a﹣6， ∴点B的对应点B'的横坐标是﹣2a+6， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心画△A'OB'，使它与△AOB相似比为，则点A的对应点A'的坐标是（　　） A． B．（，1）或（，﹣1） C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16） 【答案】B 【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点A的坐标为（﹣2，4）， ∴点A的对应点A′的坐标为或， 即或． 故选：B． 6．如图，点E（﹣2，1），F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣2，4）或（2，﹣4） C．（﹣4，2）或（4，﹣2） D．（4，﹣2） 【答案】C 【解答】解：以坐标原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍， 则：点E的对应点E′的坐标是（﹣2×2，1×2）或[﹣2×（﹣2），（﹣2）×1]，即：（﹣4，2）或（4，﹣2）； 故选：C． 7．图中的△ABC与△EDF位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【解答】解：如图： △ABC与△EDF位似，则位似中心是点N， 故选：B． 8．下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形， 故选：D． 9．一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　　） A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2） 【答案】C 【解答】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点A（6，8），点B（3，4）， ∴相似比为， ∴点C（10，4）的对应点D的坐标是（10，4），即D（5，2）． 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，已知线段AB，点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】C 【解答】解：∵位似中心为原点，相似比为， ∴点A（﹣6，3）的对应点A′的坐标为即（﹣2，1）或即（2，﹣1）． 故选：C． 11．如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF得到△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．四边形EFCB与△OEF的面积比是4：1 C．△ABC与△DEF的周长比为2：1 D．△ABC与△DEF的面积比为4：1 【答案】B 【解答】解：根据位似性质可得： A、△ABC与△DEF是位似图形，故A正确； B、设△OEF的面积为S， ∵EF是△OBC的中位线， ∴相似比为1：2，△OEF∽△OBC，则△OBC的 面积为4S， ∵四边形EFCB的面积＝△OBC的面积﹣△OEF的面积＝4S﹣S＝3S， ∴四边形EFCB与△OEF的面积比为3：1，故B错误，符合题意； C、∵点D，E，F，为AO，BO，CO中点， ∴将△ABC的三边缩小到原来的得到△DEF， ∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故C正确，不符合题意； D、∵面积比等于相似比的平方， ∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故D正确，不符合题意． 故选：B． 12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　） A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2） 【答案】C 【解答】解：∵A（4，4），B（6，2）， 以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的坐标为（2，2），D的坐标为（3，1）． 故选：C． 13．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】D 【解答】解：∵B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大， ∴B′（﹣4×2，2×2）或B′[﹣4×（﹣2），2×（﹣2）]， 即：B′（﹣8，4）或B′（8，﹣4）； 故选：D． 14．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解答】解：∵等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0）， ∴OA＝OB＝2， 过A作AC⊥x轴于C， ∵△AOB是等边三角形， ∴OCOB，ACOA， ∴A（，）， ∵△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的16倍， ∴△OA'B'与△OAB的位似比为4：1， ∴点A的对应点A′的坐标是（4，4）或（（﹣4），（﹣4）），即（2，2）或（﹣2，﹣2）， 故选：D． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△MNC．若点A的对应点M的坐标为（5，﹣3），点B的对应点N的坐标为（3，0），则点A的坐标为（　　） A．（﹣5，3） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣1，0），点A的对应点M的坐标为（5，﹣3），点B的对应点N的坐标为（3，0）分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴BC＝2，CN＝4，ME＝3，CE＝6， ∵在x轴的下方作△ABC的位似图形△MNC， ∴△ACB∽△MCN， ∴， ∵∠ADC＝∠MEC＝90°，∠ACD＝∠MCE， ∴△ACD∽△MCE， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 16．在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（8，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3） 【答案】D 【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC， ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴位似比为：1：2， ∵点B的坐标为（﹣4，6）， ∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）． 故选：D． 17．在平面直角坐标系中，四边形ABCD顶点A的坐标为（2，﹣4），若以原点O为位似中心，画出四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD的相似比为，则点A′的坐标为（　　） A．（3，﹣6） B．（﹣6，3） C．（3，﹣6）或（﹣3，6） D．（﹣6，3）或（6，﹣3） 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD顶点A的坐标为（2，﹣4），若以原点O为位似中心，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为， ∴点A′的坐标为或， 即点A′的坐标为（3，﹣6）或（﹣3，6）， 故选：C． 18．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝　　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵OB：BE＝1， ∴OB：OE＝1：2， ∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△BOC∽△EOF， ∴， ∴（）2，即， 解得：S△DEF＝8， 故答案为：8． 19．在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为　 　 ． 【答案】（6，3）或（﹣6，﹣3）． 【解答】解：∵CD＝3AB， ∴△COD与△AOB的位似比为3， ∵B点坐标为（2，1）， ∴点D的坐标为（6，3）或（﹣6，﹣3）， 故答案为：（6，3）或（﹣6，﹣3）． 20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（4，4），C（4，2），已知△A1B1C1与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，点C1的坐标为（2，1）． （1）△A1B1C1与△ABC的相似比为　　 ；点A1的坐标为　 　 ； （2）在图中补全△A1B1C1；并直接写出A1C1与AC的关系． 【答案】（1），（1，2）； （2）， A1C1∥AC，． 【解答】解：（1）∵△A1B1C1与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，C（4，2），C1（2，1）， ∴△A1B1C1与△ABC的相似比为， 又A（2，4）， ∴点A1的坐标为，即（1，2）， 故答案为：，（1，2）； （2）∵△A1B1C1与△ABC的相似比为，B（4，4）， ∴点B1的坐标为，即（2，2）， 如图，△A1B1C1即为所求， ∵△A1B1C1与△ABC的相似比为， ∴A1C1∥AC，． 21．如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）． （1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′； （2）写出点A′，B′，C′的坐标： （3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（ 　 　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示：四边形TA′B′C′即为所求； （2）A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）； 故答案为：（3，5），（5，5），（7，3）； （3）在（1）中，∵A（2，3），B（3，3），C（4，2）， A′（2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝5），B′（2×3﹣1＝5，2×3﹣1＝5），C′（2×4﹣1＝7，2×2﹣1＝3）； ∴D（a，b）为线段AC上任一点， 则变化后点D的对应点D′的坐标为（2a﹣1，2b﹣1）． 故答案为：（2a﹣1，2b﹣1）． 22．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）． （1）作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，A点为对称中心； （2）作出△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2． 【答案】（1）△ABC关于A的中心对称图形△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，如图2即为所求． 【解答】解：（1）△ABC关于A的中心对称图形△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，如图2即为所求． 23．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　 　 ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　 　 ． 【答案】（1）（﹣5，﹣1）； （2）见解答； （3）（2a，2b）． 【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）； 故答案为：（﹣5，﹣1）； （2）如图，△OA2B2为所作； （3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）写出点P的坐标为　 　 ，△ABC与△A′B′C′的面积比为　　 ，S△ABC＝　　 ； （3）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 【答案】（1）见图形； （2）（4，5）；； （3）见图形． 【解答】解：（1）位似中心P如图所示； （2）由图可得，P（4，5）， ∵， ∴△ABC与△A′B′C′的位似比为， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为， ， 故答案为：（4，5）；；； （3）如图，△A″B″C″即为所求． 25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'． （1）在第一象限内画出△OA'B'； （2）求△OA'B'的面积． 【答案】（1）见解答． （2）10． 【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求． （2）△OA'B'的面积为18﹣4﹣4＝10． 26．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△OAB放大后的图形△OA1B1； （2）直接写出A1点的坐标；若点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为 　 　 ． 【答案】（1）见解析； （2）A1（﹣6，﹣2），（﹣2a，﹣2b）． 【解答】解：（1）△OA1B1如图所示： （2）由图可得：A1（﹣6，﹣2）， 点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为（﹣2a，﹣2b）． 27．如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1； （3）直接写出点A2和点C2的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2BC2即为所求； （3）依据图2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）． 学科网（北京）股份有限公司 $