专题 3.13 相似三角形与折叠问题 讲义 - 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建相似三角形与折叠问题的知识体系，以框架图呈现折叠核心性质（全等性、垂直平分性）、相似结合规律（AA判定）及常考模型（直角折叠、一线三等角等），突出“折叠转等量，相似列比例，方程求边长”的内在逻辑，明确重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分如矩形折叠构造相似（题型2）通过教材改编题与变式题结合，培养推理意识；综合培优部分如折叠后相似存在性问题（题型7）提升几何直观与创新意识。同步检测分层设置，助力教师精准教学，学生自主复习提升。

专题 3.13 相似三角形与折叠问题讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.知识梳理 1 （一）折叠问题核心性质 1 （二）折叠与相似结合核心规律 2 （三）常考模型速记 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】三角形折叠与相似 2 【题型 2】矩形折叠构造相似三角形 6 【题型 3】菱形折叠构造相似三角形 13 【题型 4】正方形折叠构造相似三角形 20 三.题型精析（综合培优） 25 【题型 5】三角形折叠构成相似三角形 25 【题型 6】四边形折叠构成相似三角形 33 【题型 7】折叠后相似存在性问题（中档常考） 40 四.同步检测 49 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 58 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 69 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 81 一.知识梳理 （一）折叠问题核心性质 折叠本质是轴对称变换，所有折叠题型通用两大核心结论，是找等量、证相似的关键： 1. 全等性：折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等；对应线段、对应周长、对应面积完全相等。 2. 垂直平分性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到两个对应端点的距离相等。 3. 角度特征：折叠后会产生等角、直角、公共角、余角、补角，是证明三角形相似的核心条件。 （二）折叠与相似结合核心规律 1. 折叠必出等角，利用两角对应相等（AA）可快速证相似，是本专题最核心、最高频的判定方法； 2. 矩形、正方形、直角三角形折叠，极易产生直角型相似、母子相似、一线三等角相似模型； 3. 解题核心思想：折叠转等量，相似列比例，方程求边长，所有计算题均可套用该逻辑。 （三）常考模型速记 1. 直角图形折叠：矩形与直角三角形折叠，出现公共直角+折叠等角，直接构造AA相似； 2. 一线三等角模型：折叠后底边共线，三个直角（等角）共线，左右两个三角形相似； 3. 母子相似模型：折叠后小三角形与原大三角形共角，叠加等角，形成嵌套相似。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】三角形折叠与相似 【例题1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知． （1）求证：． （2）若是斜边的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：， ． ． ． 又由折叠可知， ． 又， ． （2）证明：是斜边的中点， ． ． 又 ， ， 又∵，， ∴， ． 又，由折叠可知， ． 四边形是菱形． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，折叠的性质等知识，灵活运用所学是解题的关键． （1）利用同角的余角相等可证明，由折叠的性质结合等量代换得到，结合对顶角相等即可得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，由可知，继而得到，证明得到，再根据折叠的性质可知，从而证明，从而得证． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 【变式2】（2025·河南鹤壁·一模）如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点分别在边、上，把沿折叠，点落在边上的处，把沿折叠，点恰好与点重合． （1）求证：． （2）当，求的长． 【答案】（1）由折叠的性质可知，，， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）由折叠的性质推出，即可证明相似； （2）由折叠的性质可知，，，，根据相似三角形对应边成比例可求（负值舍去），，进而得，，即可得解． 解：（1）略 （2）解：， ， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， （负值舍去），， ，， ． 【题型 2】矩形折叠构造相似三角形 【例题2】（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【答案】（1）证明：由折叠知， 在长方形中，， ∴，    ∴ ， ∴ ， ∴ 重合部分是等腰三角形； （2）证明：同理（1）可知， ∴，    ∵四边形是长方形， ∴， 由折叠知，， ∴，   ∴； （3） 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， （1）要证是等腰三角形，则需要证中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论； （2）由折叠可得，要证，则需要证明，进而结合（1）中结论即可得证； （3）结合（1）中结论，可延长交的延长线于点 N，进而得到，再结合正方形的性质、勾股定理求出，即可求出的值； 解：（1）略 （2）略 （3）如图，延长交的延长线于点 N， 同（1）可得， ∴    设，则， ， ，   ， ∵， ∴， ． 【变式1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）矩形中，，，点为的中点，将矩形右下角沿折叠，使点落在矩形内部点位置，如图所示，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作EM⊥AF，则AM=FM，利用相似三角形的性质，构建方程求出AM即可解决问题． 解：如图中，作EM⊥AF，则AM=FM， ∵AE=EB=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA， ∴∠BEC=∠EAF， ∴AF∥EC， 在Rt△ECB中，EC=， ∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB， ∴△CEB∽△EAM， ∴ ， ∴ ， ， ∴AF=2AM=， 故选A． 【点拨】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式2】（2024·重庆江津·二模）如图，在矩形纸片中，将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处，折痕．，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与翻折，相似三角形的性质与判定，勾股定理，先根据翻折，得出，证明，再设，，代入勾股定理，进行计算即可作答． 解：∵将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 则设，， 在中，， 即， 即， 解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）． （1）求AP的取值范围； （2）连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在CD上时，AP的长度达到最大．利用翻折的性质和勾股定理求出和长度，再利用，即可推断出最大长度，从而求出取值范围． （2）利用已知条件和翻折性质推出，从而证明，得出，再根据翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出，．在中，，即可求出长度． （1）解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，如图所示， 四边形ABCD是矩形， ，，， 沿直线翻折， ，， ，． ． ， ． ， ． ． ． ． ． AP的取值范围是． 故答案为：． （2）解：如图， 由折叠性质得：， ， ， ， ， ， ． 设，过M作于H，连接， 由折叠性质得：，， ． ， ． ． ， ． ， MN为的中位线，则， 在中，， ， ． ． ． （舍去）． ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定理．解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大．解题的难点在于是否能正确画出图形，解题的易错点在于是否能排除的其中一个值． 【题型 3】菱形折叠构造相似三角形 【例题3】（2024·陕西渭南·二模）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作边长都为7的菱形纸片若干个，四个顶点为A、B、C、D（为保持一致，活动中， 小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步∶在边上分别取点M、N（不含端点），将四边形 沿翻折，使线段的对应线段经过顶点 D（点A、B分别与点 E、F对应）． 操作判断 （1）智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形，若则______． 迁移探究 （2）缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示，已知求的长； 拓展延伸 （3）创新小组按上述步骤折叠后，要使是以为直角边的直角三角形，请你在图3 中帮他们画出满足条件的图形（草图即可），并求出对应的的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）图形如下： BN的长为 ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义、菱形的性质、折叠的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）根据折叠的性质即可解答； （2）如图2，过D作于G，先说明G是的中点，根据折叠的性质可得，即；设，则，然后求得ｋ，进而求得； （3）分和两种情况分别根据折叠的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点分析解答即可． 解：（1）∵将四边形 沿翻折，使线段的对应线段经过顶点 D（点A、B分别与点 E、F对应）， ∴． 故答案为：４． （2）如图2，过D作于G， ∵， ∴G是的中点， 由折叠可得：， ∴，                           设，则， ∴，解答：， ； （3）过点 B作于T，，，则， ， ∴ 要使是以为直角边的直角三角形，分两种情况讨论： ①当时，画出图形如图3所示，延长，交于点H，则， 由折叠可得， ∴， 设，则， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 又∵ ②当时，不合题意． 综上所述，BN的长为 ． 【变式1】（2025·海南海口·模拟预测）如图，点是菱形的边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好在边上，若，点为的中点，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠性质，关键是证明．延长，与的延长线交于点H，证明，求出，根据，便可求得结果． 解：延长，与的延长线交于点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由折叠性质知，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（2025·浙江衢州·三模）如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为______． 【答案】 【分析】如图，过作于，在的延长线上取点，使，运用菱形的性质以及折叠的性质，三角形外角性质来证明，则，设，则，故，即可作答．本题考查了折叠的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：如图，在的延长线上取点，使， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 由对折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明如下： 由题意得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2） 【分析】本题考查菱形，相似三角形，折叠，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据折叠的性质，则，，根据平行线的性质，则，根据等量代换，等角对等边，则，根据菱形的判定，即可； （2）连接交于点，根据菱形的性质，则，根据，相似三角形的判定和性质，则，得，则，根据，，求出，即可进行解答． 解：（1）略 （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ．    【题型 4】正方形折叠构造相似三角形 【例题4】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形纸片的边长为，将正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与点，不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．当点位于中点时，与周长的比是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的周长与面积的性质，熟练掌握相似三角形的周长与面积的性质是解题的关键. 根据正方形的性质得到角为直角，再根据折叠的性质得到角相等，进而判定三角形相似，设，根据条件可得到关于的等式，根据相似比即可求得周长比. 解：如图，四边形是正方形， ， ． 由折叠可知，， ， ， ． 设，则． 由折叠可知，． 是中点， ． ， ， 即， 解得， ． ， ， 与周长的比为． 故答案为：． 【变式1】（2025·广西河池·一模）如图，将四边形是边长为18的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理．根据正方形的性质、折叠的性质和相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 解：四边形是边长为18的正方形，， ，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， ， ， ， 解得， 即， ，， ， 又， ， ， 即， 解得， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，把正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．那么___________．    【答案】 【分析】延长，交于点，先由折叠的性质，设，即，， 然后利用勾股定理得到，进而得到，，证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 解：证明：延长，交于点，如图所示：　    ∵对折正方形得折痕， ∴设，即 ∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查正方形性质，折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线求解．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．勾股定理：若三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G， （1）小明认为，你同意吗？请说明理由． （2）实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长． 【答案】（1）同意．理由如下： 根据折叠的性质可得． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）的周长为． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据角之间的关系通过等量代换可得；结合，利用相似三角形的判定定理即可解答； （2）设，则，由勾股定理求出的长；接下来利用相似三角形的性质求出和的长度，然后利用周长的计算公式计算即可． 解：（1）略 （2）解：设，则， ∴， ∴， 即，． ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长为． 【点拨】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】三角形折叠构成相似三角形 【例题5】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图1，在直角三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【观察思考】 （1）折痕的长为______； 【实验探究】 （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，求的值； ②如图3，当直线时，求的长． 【答案】（1）3；（2）①；②． 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论． （2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出x的值，进一步计算即可解答； ②如图3，过A作于H，交于K．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论． 解：（1）由折叠的性质得：，， ∴， ∴ ∴ ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3； （2）①由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴； ②如图3，过A作于H，交于K．    则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行于， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点拨】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，折叠的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握旋转的性质，折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·阶段检测）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长度是（　　） A． B． C．或2 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，设，则，根据相似三角形的性质列比例式，即可求出的长，得到的长即可求出答案． 解：根据题意可得：， 设，则， ， ∴ 当， ， ， ， 解得， 即， 当， ， ， 解得， 故或． 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 【答案】15 【分析】由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 解得：，即， ∴， 故答案为：15． 【点拨】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 【变式3】（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>；（2）证明：如图3，延长到点，使，连接， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴． （3）． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴， 设与相似比为， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 即 【题型 6】四边形折叠构成相似三角形 【例题6】（2024·广东汕头·模拟预测）如图1，在正方形中，点是边上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）如图2，若点为的中点，连接、，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，点为的中点，同样将沿着折叠，的延长线恰好经过点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 是的垂直平分线， ， ， ，， ，即， 在中，， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：①由（2）可得，，，， 四边形是矩形， ，， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，可用证明三角形全等； （2）根据折叠的性质证明是的中位线，证明可得，即可证明是等腰直角三角形； （3）证明即可证明四边形是平行四边形． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、正方形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质与与判定，熟练掌握以上知识 是解题的关键． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）    A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可． 解：如图，过点作，交于点，    在和中， 设，则， ，即：， 解得：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在四边形中，，，点P，Q分别为上的两动点，先将四边形沿折叠，使点B的对应点为点，再沿折叠，使点C的对应点恰好落在上，连接． （1）的度数为______． （2）当时，连接．若 ，则______ 【答案】 /90度 【分析】本题考查翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）由题意． （2）由题意，根据，可以假设，设，则，构建方程组，求出x即可． 解：（1）如图1中， 由翻折的性质可知，， ∴， 故答案为：． （2）如图2中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴可以假设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由可得（负值已经舍弃）， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025·湖北·三模）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．首先折出对角线． （1）如图2，将纸片沿折叠，使边落在上，如果，，求折痕的长； （2）将点沿过点的直线翻折到上，对应点为，折痕交于点，交于点．展开后如图3所示．如果点恰好为的中点． ①证明：，并探究求与之间的数量关系； ②将纸片继续折叠，使与重合，折痕为．展开后将点沿过点的直线翻折到上的点处，即，展开后如图4所示．在①的条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）；（2）① 根据翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）由翻折可知：，则，根据，，即可求解； （2）①根据翻折的性质可知，，根据四边形是矩形，得到，则，由相似三角形的判定方法得到，则，根据中点得到，代入计算即可； ②根据翻折的性质可知，，，则，设，则．，则，在中，，由此即可求解． （1）解：由翻折可知：， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：①略 ②根据翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则．， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 四.题型精析（拓展培优） 【题型 7】三角形、四边形两次折叠后相似问题 【例题7】（2025·宁夏银川·一模）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图1所示． 操作1：将正方形沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边上，折痕为，则四边形为矩形． （1）证明：四边形为矩形； （2）点M是边上一动点．如图2，O是对角线的中点，若点N在边上，，连接，求证． 【答案】（1）证明：设正方形的边长为， 是正方形的对角线， ， 由折叠的性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形； （2）证明：作，，垂足分别为，， 四边形是矩形，， ∴， 四边形是矩形， ，，， ∴， ，， 为的中点， ，， ， ， ∵ ， ， ． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义是解题的关键． （1）设正方形的边长为，先根据折叠的性质证四边形是矩形，再根据是等腰直角三角形得出和的比例关系，即可得证结论； （2）作，，垂足分别为，，证，根据线段比例关系得出即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2024·河北邯郸·模拟预测）问题情境：如图1，在中，，，是边上的中线．如图，将点沿折叠后与点重合，将顶点沿折叠，使得顶点与点重合，与交于点．若设的面积为，四边形的面积为，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质、三角形相似的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形和平行四边形面积公式、勾股定理，解题的关键是运用三角形和平行四边形的面积公式；根据题意得到推出，得出，进而求出的面积，然后根据折叠的性质，证明四边形为平行四边形，进而求出四边形的面积． 解：，，是边上的中线，为的中点， ， ， ， 是边上的中线， ， ， ， 解得： ， 由折叠易知，， ， ， ，， ，， 四边形为平行四边形． ∵ ， ，， 过点作于点． ， ， 故选：A 【变式2】（25-26九年级上·安徽·期中）在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点．请完成下列探究： （1）若四边形是正方形， 则的大小为 __________； （2）当时，的值为___________． 【答案】 30°/30度 / 【分析】（1）由折叠可知，，，于是可得 ，由含度角的直角三角形性质得，根据平角的定义求得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）设， 由折叠可得， ， ， ，， ， 在中， 利用勾股定理求得， 则， 易证，利用相似三角形的性质求得 进而求出 再证， 利用相似三角形的性质求得求出 进而可求出，再进一步计算即可解答． 解：（1）∵四边形为正方形， ∴ ∵将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为， ∴ ∴ ∵将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕， ∴，， 在中， ∴ ∴ ∴即 故答案为：； （2）∵ ∴设 ∵四边形为矩形， ∴ ∵将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∵将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点拨】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【变式3】（2025·河南·模拟预测）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接． 【问题解决】 （1）如图2，连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，则________，________． （2）如图3，连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，再把纸片展开，连接．当点也落在对角线上时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图4，延长交线段的延长线于点，交线段于点．当的三边中有两边长之比为时，请直接写出的长． 【答案】（1） 2；（2）四边形是平行四边形， 理由：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 又 四边形是平行四边形； （3）或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠的性质推出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）证明，得到，根据即可证明； （3）分四种情况讨论即可. 解：（1）四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：，2； （2）略 （3）①当时，，如图（1）， ， ， ∴. 在中，， . ②当时，如图（2）， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， ③， ，即， 这种情况不存在， ④连接，则， ， ，即， 这种情况不存在， 综上，的长为或． 【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【题型 8】折叠后相似存在性问题 【例题8】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．在综合与实践课上，老师让同学们准备了正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形的边上任选一点，将沿折叠使点落在点处； 操作二：将边沿过点的直线折叠使与重合，折痕交于点，展开纸片，折痕与正方形的对角线交于点 （1）根据以上操作，得的度数为 【迁移探究】 （2）如图1，若，，试求线段的长： 【拓展提升】 （3）同学们在操作一后得到如图，延长交于点，过作于点，在经历多次操作后，小鹿认为四边形 与四边形的周长存在确定的比值关系，小鸣认为四边形 与四边形的面积存在确定的比值关系．小鹿与小鸣中只有一位同学的说法是正确的，你认为谁的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）小鹿的说法正确，小鸣的说法不正确； 理由：如图2，连接并延长交于Q，交于P， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 由折叠可知，即， ∴, ∵, ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴小鹿的说法正确， ∵小鹿与小鸣中只有一位同学的说法是正确的， ∴小鸣的说法不正确． 【分析】（1）由折叠可得，，然后根据列式计算即可； （2）设，则，，在中，利用勾股定理求出x，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可得答案； （3）连接并延长交于Q，交于P，证明，可得，则，证明，可得，求出即可得出结论． （1）解：由折叠可得：，， ∴ ； （2）解：在正方形中，，， ∴， 设，则， 由折叠得：，，，， ∴E、G、F三点共线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：略． 【变式1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 【答案】B 【分析】根据折叠后点与点重合，可得折痕是线段的垂直平分线，可得，结合为斜边的直角三角形判定条件，用勾股定理列方程求长度，验证是否符合甲的计算结果；再根据是的平分线，，先求得，再由是的平分线，可得，利用相似三角形求出长度，进而得到长度，验证是否符合乙的计算结果． 解：，，， ， 设，则． 甲的方法：∵点与点关于对称， 垂直平分， ， 在中，， 在中，， ，即， 解得， 即，， ， ， ， ； 在中，， ， ， 为等腰直角三角形，且， 甲的折叠方法及计算结果正确； 乙的方法：如解图，连接， 平分，， ，， ，，， ，，， 是公共边， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 甲、乙两人确定的点是相同位置的点， 为等腰直角三角形，且， 乙的折叠方法正确，计算结果不正确． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为24，则： （1）的长度为___________； （2）的长度为___________． 【答案】 8 【分析】（1）根据矩形的性质及三角形的面积求出； （2）先证明，得出，设，，列出方程，求出x的值即可． 解：（1）在长方形中，，， ∵， ∴， 故答案为：8； （2）由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理的综合运用，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图1，四边形是矩形，，，动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度匀速运动，当点P运动到点C时，点P停止运动，设运动时间为t秒． （1）尺规作图：沿过点P的直线将矩形折叠，使得点A与点C重合，在图1中作出该折痕； （2）在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点E，F点，连接，，求四边形的周长； （3）过点P作的垂线，是否存在某一时间t，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为5，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）如图所示，即为所求： （2）25 （3）存在，或 【分析】（1）根据题意，作出的垂直平分线，即可求解； （2）先证明，得出，得出四边形是平行四边形，根据垂直平分，即可证明四边形是菱形，进而在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得周长，即可求解； （3）分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图所示，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使得点A与点C重合， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴四边形的周长为． （3）解：存在，如图所示，当M在上， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∴，， 依题意，， ∴，， ∴， 如图所示，当M在上， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 则， ∴， 综上所述，或． 【点拨】本题考查了折叠的性质，作垂线，垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，现有折叠的性质得到，再由为的中点，得到三点共线，，，证明，即可得到． 解：由折叠的性质可得， ∵为的中点， ∴三点共线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，折叠矩形纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，折痕为与相交于点N，直线交于点G，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识， 先证明，N是的中点，再证明，，进一步得到，，即可得到的长． 解：由题意可知，点E是的中点，， ∴ ∴ ∴， ∴，N是的中点， 由折叠可知，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·重庆南岸·期中）如图，边长为的正方形纸片ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，连接CF；再把正方形ABCD沿着CO折叠，点F落在BD的点G处，连接CG交折痕DE于点H，则△CEH的面积为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由折叠得DF=CD=，再求出OF=-1，再由折叠得∠FCO=∠EDF=∠CDE，∠FOC=∠CED=90°可证△COF∽△DEC，得到比例式，可得，最后根据三角形面积公式求解即可． 解：∵沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处， ∴△FDE≌△CDE ∴DF=CD= ∵△ODC为等腰直角三角形， ∴OD=OC=1 ∴OF=-1 由2次折叠可得，∠FOC=∠CED=90°，∠CDE=∠FDE， 如图可知，∠1=∠2 易得∠FCO=∠EDF=∠CDE， ∴△COF∽△DEC ∴ ∵，，CF=2CE ∴ ∴ ∴, ∵△CFH中，∠CEH=90°，∠ECH=45° ∴CE=EH ∴ 故选：A． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解答此题的关键． 5．（2026·河北沧州·一模）将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（    ） A． B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据折叠过程确定折痕为正方形对角线及线段（N为中点），利用相似三角形性质求出点P到的距离，通过面积差法求解阴影部分面积． 解：如图，设正方形，边长为6，N为中点，P为与交点 ，连接，过点分别作、，垂足分别为点、点， 四边形是正方形 ， 、、， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知，阴影部分面积为． 6．（2026·河北沧州·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出，根据翻折的性质得出，，，根据三角形内角和定理，等角对等边可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，结合，即可求解． 解：∵正方形中， ∴，，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 7．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为（   ） A． B．4 C． D．3.5 【答案】A 【分析】记与相交于点，连接，根据折叠得到，证明，设，根据勾股定理求出，，证明，得到，即可得到答案． 解：记与相交于点，连接， 正方形， ， 由折叠的性质得到， ， 在与中， ， ， ， 设， ，， 在中，， 即， 解得， ，， 正方形， ， ， ，即， 解得． 8．（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，交于点G，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，解直角三角形求出，再根据线段的比例和差关系求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 解：∵菱形中，， ∴，， 由折叠知，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又， ∴. 9．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）如图，将面积为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】D 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用折叠的性质得到相关线段、角的等量关系，确定、、三点共线，通过勾股定理求出和的长度，再结合平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 解：∵正方形纸片的面积为， ∴， ∵沿折叠，点落在点处，沿折叠，点落在点处， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴，，三点共线． 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得 ∴ ∵，，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴在中，为斜边上的中线， ∴ 10．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点．将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点与点重合（如图），折痕为，连结，；第二次折叠纸片使点与点重合（如图），点落在处，折痕为，连结，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连结交于点，设交于点，由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，，垂直平分，垂直平分，则，推出， ，则，得到，而，求出，则，由得，则，最后由得到答案． 解：如图，连结交于点，设交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点与点重合（如图），折痕为，连结，；第二次折叠纸片使点与点重合（如图），点落在处，折痕为， ∴，，，垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查矩形的性质，翻折变换的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为__________． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，根据折叠可得，．根据，得出．证明，得出，即可求解． 解：∵将沿折叠使点落在边上的点处， ∴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），（折叠前后两部分图形全等）． ∵， ． 在 和中，∵，， ∴， ， 即， 解得：（负值已舍去）． 故答案为：． 12．（2025·北京昌平·二模）如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为____________． 【答案】2 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，设交于点，折叠得到垂直平分，进而得到，，进而得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 解：设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2； 故答案为：2． 13．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．若，，且以，，为顶点的三角形与相似，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查折叠，相似三角形的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当；当，进行解答，即可． 解：根据折叠的性质得， 当， ∴， ∴， ∴． 当， ∴， 即， ∴． 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，设，则，证得，即可求解． 解：设，则， 如图所示： 由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即： 解得：（舍负） ∴ 故答案为： 15．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将矩形纸片置于平面直角坐标系中，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形纸片进行两次折叠：先沿对角线折叠，点C落在处，再次折叠，使点D与点A重合，折痕交于点E，交于点F．则点F的坐标为____． 【答案】 【分析】延长交y轴于G，设与相交于H，证明得到，设，则，在中，利用勾股定理求得，再证明求得，进而利用坐标与图形可得结论． 解：延长交y轴于G，设与相交于H， ∵顶点A，C的坐标分别为，， ∴由矩形性质得，，，， 由折叠性质得，，，， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由得， 解得，即， ∵， ∴，即轴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为，即， 故答案为：． 【点拨】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 16．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解． 解：∵点N是线段的黄金分割点，且， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·浙江舟山·阶段检测）如图，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿折叠，使点A落在点F处，连结并延长交于点G，再将沿折叠，点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，四边形的面积为，则的值为_____ 【答案】 【分析】连接，由折叠可得，再证明可得，设，则正方形长为，再证，然后根据相似三角形对应边成比例计算出的长度，由，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，计算出的值，先证可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故从而可知四边形是平行四边形，又根据折叠可知，所以四边形是矩形，设，则， ，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出，进而计算出，最后求比即可． 解：如图：连接， 根据折叠可知：， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， 设，则正方形边长为， ， 由折叠可知：， ∴， ∵， ， 又， ， ， ∴， ， ， ∴四边形平行四边形， ， 设与于点，与于点，如图： ∵四边形平行四边形， ，， ∵是中点，， ∴是中点， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知：， ∴四边形是矩形， 设，则，， ∴， ， ， ，， ∵， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 18．（2025·安徽滁州·二模）如图，现有矩形纸片，，，将边沿折痕折叠，使点B落在边上点F处，再沿折痕折叠，使点C落在矩形所在平面内的点处，边与交于点G，然后还原． （1）的长为________； （2）在边上取点H，满足，沿折叠使点C落在矩形所在平面内的点处，作的平分线分别交于点P，M，则的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）由折叠的性质可得，结合，易证四边形都是矩形，得到，求出，推出，易证四边形是正方形，进而求出，设，则，证明，推出，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）延长交于点Q，由折叠的性质可得，结合平分，得到，求出，进而证明，利用正切的定义结合结合，求出，证明，求出，进而求出，证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 解：（1）由折叠的性质可得， ∵是矩形，，， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， 故答案为：； （2）延长交于点Q， 由折叠的性质可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查的是矩形的判定性质、折叠的性质、正方形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，沿折叠，使得点C落在斜边上的点E处． （1）求证：； （2）已知，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵，沿折叠， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）． 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识． （1）由折叠的性质可知，因为证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知．在中运用勾股定理求出即可． 解：（1）略 （2）解：由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F， （1）求证：； （2）若，求的长； 【答案】（1）证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）2 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践 （1）【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； （2）【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 【答案】（1）45°；（2）；（3）或2 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解； （2）证是等腰直角三角形，得，则，进一步求出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理再求出，最后根据线段的和差关系求解即可． （3）分两种情形：当，当，分别求解即可． （1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 由（1）得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，    当时，， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知， 设，则， ， ， ． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（2025·浙江衢州·一模）【问题提出】如图，折叠矩形纸片，使得点与点重合，则折痕与边，的交点、将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？ 【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿，折叠后展平，折痕交于点． （1）求证：； （2）请过点P折叠，在上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）． 【答案】（1）证明：由题意得：，分别为，的中点． 四边形为矩形， ，， 为的中点， ，则， ， ， ， ； （2）如图，所示，点即为所求． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先得出E，F分别为的中点，再根据矩形的性质得出，然后证明，列出比例式，求出与的比，从而可得与的关系式； （2）过画出折痕交于点即可； 解：（1）略 （2）证明：， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）杨老师在探究“矩形折叠中的相似三角形”问题时遇到一些困难，请你帮帮老师： 如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点、点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形：__________________． （2）迁移探究 当与的交点恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 同样的折叠方式，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求此时的长． 【答案】（1）或（写出一个即可）；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质和对顶角相等可得出相似的三角形为或； （2）由题意结合勾股定理可求出，即可求出．易证，即得出，代入数据即可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）画出图形，易求出，即得出，从而可求出，再根据折叠可求出．最后根据，即可求解． 解：（1）∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故与相似的三角形为或（写出一个即可） （2）∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即阴影部分的面积为； （3）如图，点F在的中垂线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查三角形相似的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，含特殊角的直角三角形三边的关系，勾股定理等知识．掌握矩形和折叠的性质，三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． 24．（本小题满分12分）（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ （1）小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； （2）小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】（1）解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， , ， ， 四边形为菱形； （2）①；② 【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明； （2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到； ②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形． 解：（1）略 （2）①当时，， 同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，， ， 又，则，即， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形， 延长交于， 由①知时，， ， ， ， ，则， 又， ， 又， 与重合， 由折叠可知， 又， ，又， 则四边形是矩形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.13 相似三角形与折叠问题讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.知识梳理 1 （一）折叠问题核心性质 1 （二）折叠与相似结合核心规律 2 （三）常考模型速记 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】三角形折叠与相似 2 【题型 2】矩形折叠构造相似三角形 3 【题型 3】菱形折叠构造相似三角形 4 【题型 4】正方形折叠构造相似三角形 6 三.题型精析（综合培优） 7 【题型 5】三角形折叠构成相似三角形 7 【题型 6】四边形折叠构成相似三角形 9 【题型 7】折叠后相似存在性问题（中档常考） 10 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识梳理 （一）折叠问题核心性质 折叠本质是轴对称变换，所有折叠题型通用两大核心结论，是找等量、证相似的关键： 1. 全等性：折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等；对应线段、对应周长、对应面积完全相等。 2. 垂直平分性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到两个对应端点的距离相等。 3. 角度特征：折叠后会产生等角、直角、公共角、余角、补角，是证明三角形相似的核心条件。 （二）折叠与相似结合核心规律 1. 折叠必出等角，利用两角对应相等（AA）可快速证相似，是本专题最核心、最高频的判定方法； 2. 矩形、正方形、直角三角形折叠，极易产生直角型相似、母子相似、一线三等角相似模型； 3. 解题核心思想：折叠转等量，相似列比例，方程求边长，所有计算题均可套用该逻辑。 （三）常考模型速记 1. 直角图形折叠：矩形与直角三角形折叠，出现公共直角+折叠等角，直接构造AA相似； 2. 一线三等角模型：折叠后底边共线，三个直角（等角）共线，左右两个三角形相似； 3. 母子相似模型：折叠后小三角形与原大三角形共角，叠加等角，形成嵌套相似。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】三角形折叠与相似 【例题1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知． （1）求证：． （2）若是斜边的中点，求证：四边形是菱形． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【变式2】（2025·河南鹤壁·一模）如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点分别在边、上，把沿折叠，点落在边上的处，把沿折叠，点恰好与点重合． （1）求证：． （2）当，求的长． 【题型 2】矩形折叠构造相似三角形 【例题2】（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）矩形中，，，点为的中点，将矩形右下角沿折叠，使点落在矩形内部点位置，如图所示，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·重庆江津·二模）如图，在矩形纸片中，将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处，折痕．，，则_____________． 【变式3】（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）． （1）求AP的取值范围； （2）连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长． 【题型 3】菱形折叠构造相似三角形 【例题3】（2024·陕西渭南·二模）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作边长都为7的菱形纸片若干个，四个顶点为A、B、C、D（为保持一致，活动中， 小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步∶在边上分别取点M、N（不含端点），将四边形 沿翻折，使线段的对应线段经过顶点 D（点A、B分别与点 E、F对应）． 操作判断 （1）智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形，若则______． 迁移探究 （2）缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示，已知求的长； 拓展延伸 （3）创新小组按上述步骤折叠后，要使是以为直角边的直角三角形，请你在图3 中帮他们画出满足条件的图形（草图即可），并求出对应的的长． 【变式1】（2025·海南海口·模拟预测）如图，点是菱形的边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好在边上，若，点为的中点，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2025·浙江衢州·三模）如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为______． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【题型 4】正方形折叠构造相似三角形 【例题4】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形纸片的边长为，将正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与点，不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．当点位于中点时，与周长的比是多少？ 【变式1】（2025·广西河池·一模）如图，将四边形是边长为18的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．1 【变式2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，把正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．那么___________．    【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G， （1）小明认为，你同意吗？请说明理由． （2）实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】三角形折叠构成相似三角形 【例题5】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图1，在直角三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【观察思考】 （1）折痕的长为______； 【实验探究】 （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，求的值； ②如图3，当直线时，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·阶段检测）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长度是（　　） A． B． C．或2 D．4或 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 【变式3】（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【题型 6】四边形折叠构成相似三角形 【例题6】（2024·广东汕头·模拟预测）如图1，在正方形中，点是边上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）如图2，若点为的中点，连接、，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，点为的中点，同样将沿着折叠，的延长线恰好经过点，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）    A．3 B． C．2 D．1 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在四边形中，，，点P，Q分别为上的两动点，先将四边形沿折叠，使点B的对应点为点，再沿折叠，使点C的对应点恰好落在上，连接． （1）的度数为______． （2）当时，连接．若 ，则______ 【变式3】（2025·湖北·三模）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．首先折出对角线． （1）如图2，将纸片沿折叠，使边落在上，如果，，求折痕的长； （2）将点沿过点的直线翻折到上，对应点为，折痕交于点，交于点．展开后如图3所示．如果点恰好为的中点． ①证明：，并探究求与之间的数量关系； ②将纸片继续折叠，使与重合，折痕为．展开后将点沿过点的直线翻折到上的点处，即，展开后如图4所示．在①的条件下，连接，求的度数． 四.题型精析（拓展培优） 【题型 7】三角形、四边形两次折叠后相似问题 【例题7】（2025·宁夏银川·一模）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图1所示． 操作1：将正方形沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边上，折痕为，则四边形为矩形． （1）证明：四边形为矩形； （2）点M是边上一动点．如图2，O是对角线的中点，若点N在边上，，连接，求证． 【变式1】（2024·河北邯郸·模拟预测）问题情境：如图1，在中，，，是边上的中线．如图，将点沿折叠后与点重合，将顶点沿折叠，使得顶点与点重合，与交于点．若设的面积为，四边形的面积为，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·安徽·期中）在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点．请完成下列探究： （1）若四边形是正方形， 则的大小为 __________； （2）当时，的值为___________． 【变式3】（2025·河南·模拟预测）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接． 【问题解决】 （1）如图2，连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，则________，________． （2）如图3，连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，再把纸片展开，连接．当点也落在对角线上时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图4，延长交线段的延长线于点，交线段于点．当的三边中有两边长之比为时，请直接写出的长． 【题型 8】折叠后相似存在性问题 【例题8】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．在综合与实践课上，老师让同学们准备了正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形的边上任选一点，将沿折叠使点落在点处； 操作二：将边沿过点的直线折叠使与重合，折痕交于点，展开纸片，折痕与正方形的对角线交于点 （1）根据以上操作，得的度数为 【迁移探究】 （2）如图1，若，，试求线段的长： 【拓展提升】 （3）同学们在操作一后得到如图，延长交于点，过作于点，在经历多次操作后，小鹿认为四边形 与四边形的周长存在确定的比值关系，小鸣认为四边形 与四边形的面积存在确定的比值关系．小鹿与小鸣中只有一位同学的说法是正确的，你认为谁的说法正确？请说明理由． 【变式1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为24，则： （1）的长度为___________； （2）的长度为___________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图1，四边形是矩形，，，动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度匀速运动，当点P运动到点C时，点P停止运动，设运动时间为t秒． （1）尺规作图：沿过点P的直线将矩形折叠，使得点A与点C重合，在图1中作出该折痕； （2）在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点E，F点，连接，，求四边形的周长； （3）过点P作的垂线，是否存在某一时间t，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为5，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，折叠矩形纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，折痕为与相交于点N，直线交于点G，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆南岸·期中）如图，边长为的正方形纸片ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，连接CF；再把正方形ABCD沿着CO折叠，点F落在BD的点G处，连接CG交折痕DE于点H，则△CEH的面积为（　　　） A． B． C． D． 5．（2026·河北沧州·一模）将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（    ） A． B． C．15 D． 6．（2026·河北沧州·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为（   ） A． B．4 C． D．3.5 8．（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，交于点G，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 9．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）如图，将面积为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长（   ） A．6 B． C． D．5 10．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点．将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点与点重合（如图），折痕为，连结，；第二次折叠纸片使点与点重合（如图），点落在处，折痕为，连结，则的值为（　　） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为__________． 12．（2025·北京昌平·二模）如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为____________． 13．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．若，，且以，，为顶点的三角形与相似，则的长为______． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______． 15．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将矩形纸片置于平面直角坐标系中，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形纸片进行两次折叠：先沿对角线折叠，点C落在处，再次折叠，使点D与点A重合，折痕交于点E，交于点F．则点F的坐标为____． 16．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____． 17．（24-25九年级下·浙江舟山·阶段检测）如图，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿折叠，使点A落在点F处，连结并延长交于点G，再将沿折叠，点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，四边形的面积为，则的值为_____ 18．（2025·安徽滁州·二模）如图，现有矩形纸片，，，将边沿折痕折叠，使点B落在边上点F处，再沿折痕折叠，使点C落在矩形所在平面内的点处，边与交于点G，然后还原． （1）的长为________； （2）在边上取点H，满足，沿折叠使点C落在矩形所在平面内的点处，作的平分线分别交于点P，M，则的长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，沿折叠，使得点C落在斜边上的点E处． （1）求证：； （2）已知，求线段的长度． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F， （1）求证：； （2）若，求的长； 21．（本小题满分10分）（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践 （1）【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； （2）【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 22．（本小题满分10分）（2025·浙江衢州·一模）【问题提出】如图，折叠矩形纸片，使得点与点重合，则折痕与边，的交点、将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？ 【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿，折叠后展平，折痕交于点． （1）求证：； （2）请过点P折叠，在上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）杨老师在探究“矩形折叠中的相似三角形”问题时遇到一些困难，请你帮帮老师： 如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点、点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形：__________________． （2）迁移探究 当与的交点恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 同样的折叠方式，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求此时的长． 24．（本小题满分12分）（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ （1）小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； （2）小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $