3.3 相似三角形判定定理的证明 同步讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形判定定理及平行线分线段成比例定理，系统梳理判定方法（平行线法、三边法、两边夹角法、两角法）和比例定理推论，通过抽象“A”“X”型等基本图形，搭建从原理到应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，典例与变式结合，通过平行四边形、格点三角形等情境培养几何直观，借助矩形扩张等问题提升推理意识，过关验收覆盖选择、解答题，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

3.3 相似三角形判定定理的证明 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定 题型2 平行线分线段成比例 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　） A．∠AED＝∠B B． C．AD•BC＝DE•AC D．∠ADE＝∠C 【变式2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【变式3】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 题型2 平行线分线段成比例 解｜题｜知｜识 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【典例1】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 【变式2】如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 【变式3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 过 关 验 收 1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED 2．如图，在△ABC中，P是边AC的中点．按下列步骤作图： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB于点D，交线段BC于点E； ②以点P为圆心，BD长为半径画弧，交线段AP于点F； ③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G； ④作直线PG，交线段AB于点Q． 以下结论不一定成立的是（　　） A．∠APQ＝∠B B．∠BQP+∠C＝180° C．△APQ与△ABC的相似比为1：2 D．△ABC∽△APQ 3．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝（　　）时，△ABC∽△CBD． A． B． C． D．1 4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． D．AB2＝AD•AC 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD；③MN＝2；④；⑤△BAD∽△COD，正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 8．下列两个三角形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．有一个角是30°的两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 9．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列条件中：①AC2＝AP•AB；②∠ACP＝∠B；③∠APC＝∠ACB；④AB•CP＝AP•CB．能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 11．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（　　） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 12．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　 ． 14．如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6）． （1）当x＝ 　　 s时，△POQ的面积是8cm2； （2）当x＝ 　　 s时，以P、O，Q为顶点的三角形与△AOB相似． 15．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED，求证：△ABC∽△DEC． 16．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4， 求证：△CDB∽△CBA． 17．如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC． 18．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． （1）以上三人方法正确的有哪些　　 ．（填序号） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长． 19．如图，AE，BF是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB，CD，EF互相平行．已知 AC＝50cm，AE＝75cm，DF＝20cm，那么BD的长为（　　） A．50cm B．30cm C．60cm D．40cm 20．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 21．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（　　） A． B． C．2 D． 22．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 23．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，①；②；③；④．其中正确的有　　 ． 24．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为　 　 ． 25．如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A，B，C．若，则AB的长是 　　 cm． 26．阅读题 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD． 下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E， 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决） 27．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 28．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝3：2，FC＝2，AC＝6，求DE和CE的长． 29．如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F． （1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 　　 ； （2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 　　 ； （3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 　　 ； （4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 　　 ，并证明． 30．如图，在△ABC中，DE∥BC，． 求：（1）； （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 相似三角形判定定理的证明 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定 题型2 平行线分线段成比例 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DG，AD∥BC， 由AD∥BC可得，△ADE∽△FBE，△ADG∽△FCG； 由AB∥DG可得△DEG∽△BEA，△ABF∽△GCF； 由平行四边形性质可得△ABD∽△CDB， 由相似传递性可得△ABF∽△ADG； 综上所述：相似三角形共有6对． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　） A．∠AED＝∠B B． C．AD•BC＝DE•AC D．∠ADE＝∠C 【答案】C 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， 故A正确，不符合题意； ∵，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， 故B正确，不符合题意； ∵AD•BC＝DE•AC， ∴，无法判断△ADE∽△ACB， 故C符合题意， ∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A 【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选：A． 【变式3】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【答案】D 【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A， 当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC， 都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法， 故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB； 由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件时， 满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法， 故添加条件C能判断△ABP∽△ACB； 当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法， 故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB． 故选：D． 题型2 平行线分线段成比例 解｜题｜知｜识 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【典例1】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF，BD＝EF； ∵DE∥BC， ∴， ， ∵EF∥AB， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 【答案】A 【解答】解：∵DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2， ∵在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC． ∴，则， ∴BE＝12． 故选：A． 【变式2】如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 【答案】C 【解答】解：方法1， ∵AC∥BD，BD＝2AC， ∴， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； 方法2，如图，连接BC，AD， ∵BC∥AD，AD＝2BC， ∴， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； ∴方法1，2都对． 故选：C． 【变式3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝8，BC＝12，EF＝9， ∴， 解得：DE＝6， 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE， 选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE， 选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，P是边AC的中点．按下列步骤作图： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB于点D，交线段BC于点E； ②以点P为圆心，BD长为半径画弧，交线段AP于点F； ③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G； ④作直线PG，交线段AB于点Q． 以下结论不一定成立的是（　　） A．∠APQ＝∠B B．∠BQP+∠C＝180° C．△APQ与△ABC的相似比为1：2 D．△ABC∽△APQ 【答案】C 【解答】解：由作法得∠APQ＝∠B，所以A选项不符合题意； ∵∠PAQ＝∠BAC， ∴∠AQP＝∠C， ∵∠BQP+∠AQP＝180°， ∴∠BQP+∠C＝180°，所以B选项不符合题意； ∴△APQ∽△ABC，所以D选项不符合题意； ∴相似比为， 而AB与AC不一定相等，APAC， ∴相似比不一定为，所以C选项符合题意； 故选：C． 3．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝（　　）时，△ABC∽△CBD． A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝∠CBD＝90°， 当时，△ABC∽△CBD， ∵AC＝8，CB＝2， 即， 解得， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B， ∴△DBE∽△ABC， 故A不符合题意； 如图2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C， ∴△FGC∽△ABC， 故B不符合题意； 如图3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACH∽△ABC， 故C不符合题意； 如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例， ∴△IBJ与△ABC不相似， 故D符合题意， 故选：D． 5．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． D．AB2＝AD•AC 【答案】C 【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意； D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意． 故选：C． 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD；③MN＝2；④；⑤△BAD∽△COD，正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM． 如图所示，连接BM，DM． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别为AC、BD的中点， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆，故①正确； ∵N是BD的中点， ∴MN是BD的垂直平分线， ∴MN⊥BD．故②正确； ∵∠ACD＝15°，， ∴∠DCA＝∠CDM＝15°， ∴∠DMA＝30°． ∵OD＝OM， ∴∠ODM＝∠DMA＝30°． ∵AC＝8，， ∴DM＝4． 在Rt△DMN中， ∠DNM＝90°，∠NDM＝30°， ∴．故③正确； ∵在Rt△DNM，∠NDM＝30°， ∴∠DMN＝60°， ∵∠DMO＝30°， ∴∠OMN＝30°， ∵MN是BD的垂直平分线， ∴∠BMN＝∠DMN＝60°， ∴∠BMO＝90°， ∴∠BMC＝180°﹣∠BMO＝90°， ∴BM⊥AC， ∴AB＝BC ∵AC＝8， ∴BA2+BC2＝AC2＝64，即2BA2＝64， ∴（舍负），故④错误； ∵AM＝BM，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠BAM＝45°， ∵∠DBM＝30°， ∴∠ABD＝15°， ∴∠ABD＝∠ACD， ∵∠AOB＝∠DOC ∵∠BDC＝∠BAM＝45°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠ADB＝∠ODC， ∴△BAD∽△COD，故⑤正确． 故选：C． 7．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，AB，BC＝2，AC， 选项A中三角形三边为1，，，而，所以A选项中的三角形与△ABC不相似； 选项B中三角形三边为1，，2，而，所以B选项中的三角形与△ABC不相似； 选项C中三角形三边为1，，，因为，所以C选项中的三角形与△ABC相似； 选项D中三角形三边为，，，而，所以D选项中的三角形与△ABC不相似． 故选：C． 8．下列两个三角形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．有一个角是30°的两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 【答案】C 【解答】解：A．两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，不符合题意； B．不能确定30°是底角，还是顶角，无法判定相似，不符合题意； C．两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，符合题意； D．两个面积相等的三角形，只能得到底和高的积相等，无法判定相似，不符合题意． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列条件中：①AC2＝AP•AB；②∠ACP＝∠B；③∠APC＝∠ACB；④AB•CP＝AP•CB．能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：∵∠PAC＝∠CAB， ∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，所以②正确； 当∠APC＝∠ACB时，△ACP∽△APC，所以③正确； 当，即AC2＝AP•AB时，△ACP∽△APC，所以①正确，④错误． 故选：B． 10．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意∠ABC＝135°，BC＝2，， ∴， 选项A中的三角形是有一个角为135°，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 11．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（　　） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【解答】解：如图①∵∠A＝35°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°， ∵∠E＝75°，∠F＝70°， ∴∠B＝∠E，∠C＝∠F， ∴△ABC∽△DEF； 如图②，∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6， ， ∵∠AOC＝∠DOB， ∴△AOC∽△DOB． 故选：A． 12．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【解答】解：如图，连接BF， 网格可知， ， ∴， ∴△ABC∽△BCF， 故选：C． 13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　 ． 【答案】2或或3． 【解答】解：如图1，若DP∥AB，则△CDP∽△CBA． ∴． ∵AB＝6，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4， ∴． ∴DP＝2． 如图2，若DP∥AC，则△BDP∽△BCA， ∴， ∴， ∴； 如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C， 则△CDP∽△CAB． ∴， ∴， ∴PD＝3， 综上所述，PD的长为2或或3， 故答案为：2或或3． 14．如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6）． （1）当x＝ 　　 s时，△POQ的面积是8cm2； （2）当x＝ 　　 s时，以P、O，Q为顶点的三角形与△AOB相似． 【答案】（1）2或4； （2）3或． 【解答】解：（1）根据题意，， ∵动点P的速度为2cm/s，动点Q的速度为1cm/s，设运动时间为xs， ∴BQ＝xcm，OQ＝OB﹣BQ＝（6﹣x）cm，OP＝2xcm， 故， 整理，得x2﹣6x+8＝0， 解得x＝2或x＝4， 故x＝2s或4s， 故答案为：2或4． （2）当△AOB∽△QOP时， ∴， ∴， 解得； 当△AOB∽△POQ时， ∴， ∴， 解得x＝3； 故答案为：3或． 15．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED，求证：△ABC∽△DEC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠B＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC． 16．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4， 求证：△CDB∽△CBA． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4， ∴，， ∴． ∵∠BCD＝∠ACB， ∴△CDB∽△CBA． 17．如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵D在AB边上，AC＝4，AD＝2，BD＝6， ∴AB＝AD+BD＝2+6＝8， ∵AC2＝AD•AB＝2×8＝16， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC． 18．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． （1）以上三人方法正确的有哪些　　 ．（填序号） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长． 【答案】（1）①②； （2）小红的证明： ∵， ∴△ACP∽△ABC． （3）2． 【解答】（1）解：①小星的证明： ∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC； ②小红的证明： ∵， ∴△ACP∽△ABC； ③小亮的证明：由， 不能证明△ACP∽△ABC， ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：①②； （2）证明：小红的证明： ∵， ∴△ACP∽△ABC． （3）解：∵△ACP∽△ABC， ∴， ∵BP＝1，， ∴， 解得AP＝2．（负值已舍去） 19．如图，AE，BF是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB，CD，EF互相平行．已知 AC＝50cm，AE＝75cm，DF＝20cm，那么BD的长为（　　） A．50cm B．30cm C．60cm D．40cm 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AC＝50cm，AE＝75cm， ∴CE＝AE﹣AC＝75﹣50＝25（cm）； ∴， ∴BD＝40cm． 故选：D． 20．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】B 【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝6，BC＝4，EF＝3， ∴，即， ∴， 故选：B． 21．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：∵AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F． ∴， ∵AB＝3，BC＝5，EF＝4， ∴， ∴， 故选：A． 22．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，， ∴选项B符合题意． 故选：B． 23．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，①；②；③；④．其中正确的有　　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴，，，， 故①②④正确；③错误； 故答案为：①②④． 24．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知，即， ∴， ∴AD， 故答案为：． 25．如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A，B，C．若，则AB的长是 　　 cm． 【答案】． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥CM于点E，交NB于点D， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 26．阅读题 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD． 下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E， 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决） 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：如图（2），过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E， ∵CE∥DA， ∴BD：CD＝BA：EA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴AB：AC＝BD：CD； （2）解：如图（3），∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC5， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴BDBC． 27．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 28．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝3：2，FC＝2，AC＝6，求DE和CE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∵DE∥BC， ∴， ∵AC＝6， ∴AE＝AC﹣CE＝6﹣CE， ∴，解得CE＝2.4， ∵EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴BC＝DE+CF＝DE+2， ∵AD：BD＝3：2， ∴AD：AB＝3：5， ∴， 即，解得DE＝3． 29．如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F． （1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 　　 ； （2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 　　 ； （3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 　　 ； （4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 　　 ，并证明． 【答案】（1）1：3； （2）1：5； （3）1：7； （4）1：（2n+1），理由见解析． 【解答】解：（1）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴DG是△BCF的中位线， ∴DG∥EF， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：3， 故答案为：1：3； （2）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴DG∥EF， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：5， 故答案为：1：5； （3）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴DG∥EF， ∴， ∵AE：ED＝1：3， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：7， 故答案为：1：7； （4）AF：AC＝1：（2n+1）． 理由：取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴DG∥EF， ∴， ∵AE：ED＝1：n， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：（2n+1）， 故答案为：1：（2n+1）． 30．如图，在△ABC中，DE∥BC，． 求：（1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）∵DE∥BC， ∴， 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $