3.3相似三角形判定定理的证明 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相似三角形判定定理证明，以平行线分线段成比例定理及推论（三条平行线截线段成比例、平行截三角形边成比例等）为基础，构建相似三角形判定方法（平行线法、三边法、两边夹角法、两角法）的学习支架，形成从基础到应用的知识脉络。 资料通过分层例题（如平行四边形比例计算、直角三角形相似分类讨论）强化几何直观与推理能力，解答过程详细分析思路，助力学生理解判定原理。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生通过典型题巩固知识，查漏补缺，提升应用意识。

北师大版（2024）九年级上册3.3相似三角形判定定理的证明 【知识点1】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 1.（2025•良庆区校级二模）如图，已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=3，DE=1.6，则EF=（　　） A．2.4 B．1.8 C．2.6 D．2.8 2.（2025秋•浦东新区校级月考）如图，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么DF=______． 3.（2024秋•怀化期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则AP：PQ：QC=______． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024•汨罗市开学）已知△ABC中，点D在边AC上．下列条件中，不能推断△ADB与△ABC相似的是（　　） A．∠ADB=∠ABC B．∠ABD=∠C C． D． 2.（2025•三门峡模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D． 3.（2024秋•奉贤区期中）如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 ______时，△ACB与△ADC相似． 北师大版（2024）九年级上册3.3相似三角形判定定理的证明 (参考答案) 【知识点1】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 1.（2025•良庆区校级二模）如图，已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=3，DE=1.6，则EF=（　　） A．2.4 B．1.8 C．2.6 D．2.8 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，然后利用比例性质可求出EF的长． 【解答】解：∵a∥b∥c, ∴=，即=， ∴EF=2.4． 故选：A． 2.（2025秋•浦东新区校级月考）如图，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么DF=______． 【答案】． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AC=2，AE=5，BD=1.5， ∴， 解得：， 故答案为：． 3.（2024秋•怀化期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则AP：PQ：QC=______． 【答案】2：1：3 【分析】由在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，可证得△APM∽△CPD，根据相似三角形的对应边成比例，可求得AP：AC的值，继而求得PQ：AC与QC：AC的值，则可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AQ=CQ，AB∥CD，AB=CD， ∴△APM∽△CPD， ∴AP：PC=AM：CD， ∵M为AB的中点， ∴AM：CD=AM：AB=1：2， ∴AP：PC=1：2， ∴AP：AC=1：3， ∵AQ：AC=QC：AC=1：2， ∴PQ：AC=1：6， ∴AP：PQ：QC=AC：AC：AC=2：1：3． 故答案为：2：1：3． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024•汨罗市开学）已知△ABC中，点D在边AC上．下列条件中，不能推断△ADB与△ABC相似的是（　　） A．∠ADB=∠ABC B．∠ABD=∠C C． D． 【答案】D 【分析】根据题意根据选项逐一判断即可得到本题答案． 【解答】解：∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，故A选项能判定； ∵∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，故B选项能判定； ∵，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，故C选项能判定； ∵，条件不足，故D选项不能判定； 故选：D． 2.（2025•三门峡模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误； B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误； C、=不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确； D、=，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误． 故选：C． 3.（2024秋•奉贤区期中）如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 ______时，△ACB与△ADC相似． 【答案】3或3 【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可． 【解答】解：∵AD=2，CD=， ∴AC==． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB=3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB=3． 即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 故答案为：3或3． 学科网（北京）股份有限公司 $