1.2 定义与命题 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学第1章1.2定义与命题同步练，新授课场景下以A/B/C三层设计实现从概念理解到创新探究的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|定义、命题判断、结构改写、真假命题|选择填空+基础解答，强化概念辨析与基本技能，适配课时目标| |B组能力提升|命题条件结论分析、综合判断、反例构造|中档解答题，培养逻辑推理与问题转化能力，衔接阶段测评| |C组拓展探究|互逆命题、命题严谨性、跨情境应用|开放探究题，通过命题改写与歧义分析发展创新意识，体现数学语言表达|

浙教版数学八年级上册 第1章 1.2 定义与命题 课时作业 第1章 三角形 1.2 定义与命题 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 了解定义的含义，能说出常见数学概念的定义；2. 理解命题的概念，会判断一个语句是不是命题；3. 会把命题写成「如果……那么……」的形式，并分清条件与结论；4. 会判断命题的真假，会举反例说明一个命题是假命题；了解基本事实与定理。 一、知识梳理 知识点 1 定义 一般地，能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。 例如： 　　"由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形"，这是三角形的定义； 　　"有两条边相等的三角形叫做等腰三角形"，这是等腰三角形的定义。 要点 ① 定义必须是"明确的"，不能含糊不清，也不能用"大概""差不多"这样的词；② 定义中所用的名词，必须是已经明确了含义的；③ 定义既可以用来判断一个对象是不是某类对象，也可以用来推出这个对象具有的性质。 知识点 2 命题 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题。 判断是不是命题的两个要点 ① 必须是一个完整的陈述句（疑问句、祈使句、感叹句都不是命题）；② 必须对某件事情作出了肯定或否定的判断（不能只是描述，也不能没有判断）。 语　　句 是否是命题 理　　由 两点确定一条直线 是 作出了肯定的判断 三角形的内角和是 200° 是 作出了判断（虽然判断是错的） 画一个半径为 3 的圆 不是 祈使句，没有作判断 两条直线平行吗？ 不是 疑问句，没有作判断 这个图形真漂亮！ 不是 感叹句，不是数学判断 过直线外一点作已知直线的垂线 不是 祈使句，没有作判断 易错提醒 判断错误的语句仍然是命题。例如"3 ＞ 5"虽然是错的，但它作出了判断，所以是命题（是一个假命题）。 知识点 3 命题的结构 每个命题都由条件（题设）和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 图 1-1 命题的结构 把命题改写成「如果……那么……」的形式时： 　　"如果"后面接的是条件，"那么"后面接的是结论。 例如，命题"直角三角形的两个锐角互余"可以改写为： 　　"如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余"。 改写技巧 ① 先找出这句话在讲"什么东西"（研究对象），再看它"具备什么条件"、"有什么结论"；② 改写时可以适当补充主语，使句子完整通顺，但不能改变原意；③ 像"对顶角相等"这类省略式的命题，要补成"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"。 知识点 4 真命题与假命题 正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。 图 1-2 命题的分类 判断方法 ① 要说明一个命题是真命题，必须经过推理证明（对所有情况都成立）；② 要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例——即一个满足条件但不满足结论的例子。 例如，命题"有两个角相等的三角形是等边三角形"是假命题。反例如下图： 图 1-3 一个反例 图中的三角形满足 ∠B = ∠C（条件成立），但它的三条边并不都相等（结论不成立），所以这个命题是假命题。 知识点 5 基本事实与定理 名　称 含　　义 举　　例 基本事实 人们从长期实践中总结出来、并作为判断其他命题真假的原始依据的真命题 两点确定一条直线；两点之间线段最短 定　理 经过证明的真命题，可以作为进一步判断其他命题真假的依据 三角形的内角和等于 180° 注意 基本事实和定理都是真命题，但假命题不能作为推理的依据。定理需要证明，基本事实不需要证明。 二、典例精析 例 1 判断哪些语句是命题 下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？是命题的，指出它是真命题还是假命题。 　　（1）两条直线相交只有一个交点； 　　（2）画一条长为 5 cm 的线段； 　　（3）三角形的三条中线交于一点吗？ 　　（4）同位角相等； 　　（5）若 a = b，则 a + 3 = b + 3； 　　（6）这道题真难啊！ 【解】（1）（4）（5）是命题，（2）（3）（6）不是命题。 其中，（1）（5）是真命题，（4）是假命题。 【解析】（2）是祈使句，只是要求作图，没有作判断；（3）是疑问句；（6）是感叹句，都不是命题。 （4）"同位角相等"缺少了"两直线平行"这个前提。当两条直线不平行时，同位角并不相等， 　　所以它是假命题。这也提醒我们：读命题时要特别留意有没有省略前提条件。 例 2 改写成「如果……那么……」并指出条件与结论 把下列命题改写成「如果……那么……」的形式，并分别指出它们的条件和结论： 　　（1）等边三角形的每个内角都是 60°； 　　（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等； 　　（3）三角形的任意两边之和大于第三边。 【解】（1）如果一个三角形是等边三角形，那么它的每个内角都是 60°。 　　条件：一个三角形是等边三角形；结论：它的每个内角都是 60°。 （2）如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等。 　　条件：两条直线被第三条直线所截；结论：内错角相等。（这是一个假命题） （3）如果三条线段能组成一个三角形，那么其中任意两边之和大于第三边。 　　条件：三条线段能组成一个三角形；结论：任意两边之和大于第三边。 【解析】改写的关键是先找出"研究对象"。第（1）小题的研究对象是三角形，条件是"它是等边三角形"。第（2）小题看似是真命题，其实少了"两条直线平行"这个条件，因此是假命题——改写以后条件与结论一目了然，更容易发现问题。 例 3 举反例说明假命题 判断下列命题的真假。若是假命题，请举出一个反例。 　　（1）若 a² = b²，则 a = b； 　　（2）两个锐角的和一定是钝角； 　　（3）三角形的一个外角大于任何一个内角。 【解】三个都是假命题。 （1）反例：取 a = 3，b = -3，则 a² = 9，b² = 9，满足 a² = b²，但 a ≠ b。 （2）反例：取两个锐角分别为 30° 和 40°，它们的和是 70°，是锐角，不是钝角。 （3）反例：在一个钝角三角形中，若钝角为 120°，与它相邻的外角为 60°， 　　这个外角就小于 120° 这个内角。 【解析】举反例必须做到两点：① 完全满足命题的条件；② 不满足命题的结论。只有同时具备这两点，才能说明命题是假的。第（3）小题特别要注意：外角性质中说的是"大于任何一个与它不相邻的内角"，去掉"不相邻"三个字，命题就不成立了。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列语句中，是命题的是（　　） 　　A. 作线段 AB 的中点　　　B. 你今年多大了？ 　　C. 相等的角是对顶角　　　D. 多么美丽的图案啊！ 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） 　　A. 两点之间线段最短　　　　　B. 同位角相等 　　C. 一个角的补角一定是钝角　　D. 三角形可以有两个钝角 3. 命题"直角三角形的两个锐角互余"的条件是（　　） 　　A. 两个锐角互余　　　　　　　B. 一个三角形是直角三角形 　　C. 直角三角形　　　　　　　　D. 两个角互余 4. 要说明命题"若 a ＞ b，则 a² ＞ b²"是假命题，下列反例中正确的是（　　） 　　A. a = 3，b = 2　　　B. a = 1，b = -2　　　C. a = 2，b = 2　　　D. a = -1，b = 1 5. 下列语句中，不是定义的是（　　） 　　A. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 　　B. 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线 　　C. 三角形的内角和等于 180° 　　D. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 6. 下列关于基本事实与定理的说法中，正确的是（　　） 　　A. 基本事实需要证明　　　　　B. 定理不需要证明 　　C. 定理和基本事实都是真命题　D. 假命题也可以作为推理的依据 7. 命题"三角形的三条中线交于一点"改写成「如果……那么……」的形式是（　　） 　　A. 如果三条中线交于一点，那么这个图形是三角形 　　B. 如果一个图形是三角形，那么它的三条中线交于一点 　　C. 如果一个图形是三角形，那么它有三条中线 　　D. 如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线 8. 下列命题中，是假命题的是（　　） 　　A. 等边三角形的每个内角都是 60°　　B. 三角形的一个外角等于不相邻两内角之和 　　C. 三角形任意两边之和大于第三边　　D. 有两个角相等的三角形是等边三角形 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 能明确界定某个对象含义的语句叫做__________。 10. 对某一件事情作出正确或不正确判断的语句叫做__________；其中正确的叫做__________，不正确的叫做__________。 11. 命题"两直线平行，同旁内角互补"的条件是____________________，结论是____________________。 12. 把命题"等角的补角相等"改写成「如果……那么……」的形式：____________________________________。 13. 要说明"任何两个锐角的和都是钝角"是假命题，可举反例：两个锐角分别为________和________，它们的和是________，不是钝角。 14. 经过证明的真命题叫做__________；人们长期实践总结出来、作为判断其他命题真假的原始依据的真命题叫做__________。 15. 命题"如果两个角相等，那么这两个角是对顶角"是________命题（填"真"或"假"）。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）指出下列语句中哪些是命题，哪些不是命题；是命题的，判断其真假。 　　（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 　　（2）作 ∠AOB 的平分线； 　　（3）钝角三角形有两条高在三角形的外部； 　　（4）如果两个角是邻补角，那么它们的和是 180°； 　　（5）等腰三角形一定是等边三角形吗？ 　　（6）2 是最小的质数。 17.（10 分）把下列命题改写成「如果……那么……」的形式，指出条件和结论，并判断真假。 　　（1）同旁内角互补； 　　（2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形； 　　（3）绝对值相等的两个数相等。 18.（10 分）判断下列命题的真假。若是假命题，请举出一个反例。 　　（1）两个角的和是 180°，则这两个角是邻补角； 　　（2）三角形的三条高一定都在三角形的内部； 　　（3）如果 a ＞ 0，b ＞ 0，那么 a + b ＞ 0； 　　（4）三条线段一定能组成一个三角形。 B 组 能力提升 19.（8 分）已知命题："如果一个三角形有两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。" 　　（1）指出这个命题的条件和结论； 　　（2）判断这个命题的真假； 　　（3）把这个命题的条件和结论互换，写出新的命题，并判断新命题的真假。 20.（8 分）小明写了下面四个命题，请你帮他检查： 　　① 一个三角形中至少有一个角不小于 60°； 　　② 一个三角形中最多有一个直角； 　　③ 一个三角形中可以有两个钝角； 　　④ 三角形的三个内角中至少有两个锐角。 　　（1）判断这四个命题的真假； 　　（2）对假命题举出反例； 　　（3）选择其中一个真命题，简要说明它为什么正确。 21.（8 分）阅读下面两个命题： 　　命题甲："如果两个角是直角，那么这两个角相等。" 　　命题乙："如果两个角相等，那么这两个角是直角。" 　　（1）分别指出命题甲、乙的条件与结论，你发现它们有什么关系？ 　　（2）判断命题甲、乙的真假； 　　（3）由此你能得到什么结论？请用一句话概括。 C 组 拓展探究 22.（10 分）在数学中，如果两个命题的条件和结论正好互换，那么这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 　　（1）写出命题"如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等"的逆命题； 　　（2）分别判断（1）中原命题与逆命题的真假； 　　（3）写出一个原命题与逆命题都是真命题的例子； 　　（4）写出一个原命题为真、逆命题为假的例子。 23.（8 分）某数学兴趣小组对下面的语句展开了讨论： 　　"边长相等的两个三角形全等。" 　　（1）这个语句是不是命题？为什么？ 　　（2）小明认为这句话意思不明确，可能有两种理解： 　　　　理解一：两个三角形的三条边分别对应相等； 　　　　理解二：每个三角形自己的三条边都相等（即都是等边三角形）。 　　　　请分别按这两种理解判断命题的真假； 　　（3）由这个例子，你认为在叙述数学命题时应当注意什么？ 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. C　2. A　3. B　4. B　5. C　6. C　7. B　8. D 详解： 1. A 是祈使句，B 是疑问句，D 是感叹句，都不是命题； 　　C"相等的角是对顶角"作出了判断，是命题（虽然是假命题），选 C。 2. B 错，只有两直线平行时同位角才相等；C 错，直角的补角还是直角，不是钝角； 　　D 错，两个钝角之和已超过 180°；A 是基本事实，正确，选 A。 3. 把命题改写为"如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余"， 　　"如果"后面的部分就是条件，选 B。 4. 反例必须满足条件 a ＞ b，但不满足结论 a² ＞ b²。 　　A 中 3 ＞ 2 且 9 ＞ 4，结论成立，不是反例；C 中 a = b，不满足条件； 　　D 中 -1 ＜ 1，不满足条件；B 中 1 ＞ -2 满足条件，但 1² = 1 ＜ (-2)² = 4， 　　结论不成立，是反例，选 B。 5. C 是三角形内角和定理，说的是三角形的一条性质，不是给某个对象下定义，选 C。 6. 基本事实不需要证明，定理需要证明，两者都是真命题；假命题不能作推理依据，选 C。 7. 研究对象是三角形，条件是"一个图形是三角形"，结论是"它的三条中线交于一点"，选 B。 8. D 是假命题，反例：顶角为 100°、两底角各 40° 的等腰三角形有两个角相等，但不是等边三角形，选 D。 二、填空题 9. 定义 10. 命题；真命题；假命题 11. 两条平行直线被第三条直线所截；同旁内角互补 12. 如果两个角分别是两个相等的角的补角，那么这两个角相等 也可以写成："如果 ∠1 = ∠2，∠3 与 ∠1 互补，∠4 与 ∠2 互补，那么 ∠3 = ∠4。" 13. 答案不唯一，如 30°；40°；70° 14. 定理；基本事实 15. 假 反例：两个都是 50° 的角相等，但它们不一定是对顶角。 三、解答题 16.（1）（3）（4）（6）是命题，（2）（5）不是命题 （1）是命题，且是真命题（这是关于垂线的基本事实）； （2）不是命题，它是祈使句，只提出了作图要求，没有作判断； （3）是命题，且是真命题（钝角三角形确有两条高在外部）； （4）是命题，且是真命题（邻补角的定义就包含"和为 180°"）； （5）不是命题，它是疑问句； （6）是命题，且是真命题（质数从 2 开始，2 是最小的质数）。 17. 见解析 （1）如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补。 　　条件：两个角是同旁内角；结论：这两个角互补。这是假命题。 　　（只有当两条被截直线平行时，同旁内角才互补。） （2）如果一条线段是三角形的中线，那么它把这个三角形分成面积相等的两个三角形。 　　条件：一条线段是三角形的中线；结论：它把三角形分成面积相等的两个三角形。这是真命题。 （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。 　　条件：两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等。这是假命题。 　　（反例：|3| = |-3|，但 3 ≠ -3。） 18.（1）假　（2）假　（3）真　（4）假 （1）假命题。反例：∠1 = 100°，∠2 = 80°，两角之和是 180°， 　　但如果它们分别画在两张纸上，就没有公共顶点和公共边，不是邻补角。 　　（邻补角除了"和为 180°"，还必须有公共顶点和一条公共边。） （2）假命题。反例：在钝角三角形中，有两条高在三角形的外部。 （3）真命题。两个正数相加，结果一定是正数。 （4）假命题。反例：长为 1、2、3 的三条线段，因为 1 + 2 = 3，不满足 　　"两边之和大于第三边"，所以不能组成三角形。 B 组 能力提升 19.（1）见解析　（2）真命题　（3）新命题也是真命题 （1）条件：一个三角形有两个内角相等；结论：这个三角形是等腰三角形。 （2）这是真命题（等腰三角形的判定，即"等角对等边"）。 （3）互换条件与结论后得到新命题："如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个内角相等。" 　　这也是真命题（等腰三角形的性质，即"等边对等角"）。 　　说明：把条件与结论互换后，新命题不一定是真命题，本题恰好两者都真。 20.（1）①②④是真命题，③是假命题　（2）（3）见解析 （2）③的反例：若一个三角形有两个钝角，设它们分别为 100° 和 100°， 　　则两角之和已达 200° ＞ 180°，与三角形内角和定理矛盾，所以不可能，③是假命题。 （3）以①为例说明：假设三角形的三个内角都小于 60°， 　　那么三个角的和就小于 60° × 3 = 180°，这与"三角形内角和等于 180°"矛盾。 　　所以三角形中至少有一个角不小于 60°，①是真命题。 　　同理，②中若有两个直角，两角之和已是 180°，第三个角为 0°，不可能，所以最多一个直角； 　　④中若只有一个锐角或没有锐角，则另外两个角都不小于 90°，两角之和已不小于 180°，也不可能。 21.（1）条件与结论正好互换　（2）甲是真命题，乙是假命题　（3）见解析 （1）命题甲的条件是"两个角是直角"，结论是"这两个角相等"； 　　命题乙的条件是"两个角相等"，结论是"这两个角是直角"。 　　可以看出，乙的条件恰好是甲的结论，乙的结论恰好是甲的条件，两者的条件与结论正好互换。 （2）甲是真命题（直角都等于 90°，当然相等）； 　　乙是假命题，反例：两个 50° 的角相等，但它们都不是直角。 （3）结论：把一个真命题的条件和结论互换后，得到的新命题不一定是真命题。 C 组 拓展探究 22. 见解析 （1）逆命题："如果一个三角形的三个内角都相等，那么它是等边三角形。" （2）原命题是真命题（等边三角形的每个内角都是 60°，当然都相等）； 　　逆命题也是真命题（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 （3）原命题与逆命题都为真的例子（答案不唯一）： 　　原命题："如果一个三角形有两条边相等，那么它有两个角相等"（等边对等角，真命题）； 　　逆命题："如果一个三角形有两个角相等，那么它有两条边相等"（等角对等边，真命题）。 （4）原命题为真、逆命题为假的例子（答案不唯一）： 　　原命题："如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"（真）； 　　逆命题："如果两个角相等，那么这两个角是对顶角"（假，反例见第 15 题）。 23. 见解析 （1）是命题。因为它对"边长相等的两个三角形"这件事作出了"全等"的判断， 　　是一个陈述句并且有明确的判断，所以是命题。 （2）按理解一："两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等"，这是真命题； 　　按理解二："两个三角形各自都是等边三角形，那么这两个三角形全等"，这是假命题。 　　反例：边长为 2 的等边三角形与边长为 5 的等边三角形，各自三边都相等， 　　但大小不同，不能完全重合，所以不全等。 （3）启示：叙述数学命题时，语言必须准确、严密，不能产生歧义。 　　特别要写清楚"对应相等"还是"各自相等"，必要时补全省略的条件和研究对象， 　　这样才能保证命题的含义唯一确定。 本课时小结 （1）判断是不是命题看两条：是不是陈述句，有没有作出判断；判断错的语句仍是命题；（2）改写成「如果……那么……」时，先找研究对象，再分清条件与结论，必要时补全省略成分；（3）证明真命题要推理，说明假命题只需一个反例——反例必须满足条件而不满足结论；（4）基本事实不需证明，定理需要证明，两者都可以作为推理的依据；（5）像"同位角相等""同旁内角互补"这类省略了"两直线平行"的说法，都是假命题，要格外当心。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $