专题08 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题（4大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 以二次函数为载体，系统整合平行四边形、矩形、菱形、正方形存在性问题，通过性质解构-代数转化-多解验证的方法体系，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形存在性|4题（襄阳/南宁期中）|中点坐标公式+向量平行，代数法与几何平移结合|以对边平行且相等/对角线互相平分为核心，将几何关系转化为坐标方程| |矩形存在性|2题（焦作阶段练习/海南模拟）|中点重合+勾股定理（对角线等），斜率验直角|平行四边形基础上叠加对角线相等或直角条件，强化方程与几何性质融合| |菱形存在性|2题（达州中考/肇庆二模）|距离公式（四边等）+斜率积-1（对角线垂直）|平行四边形基础上叠加邻边相等或对角线垂直，深化代数表达几何特征| |正方形存在性|2题（专题练习/模拟预测）|边等+垂直（距离公式+斜率积-1），矩形与菱形性质综合|融合矩形（对角线等）与菱形（对角线垂直）性质，构建多条件方程组求解|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题… .1 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题..10 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题。 .15 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题… .21 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对 边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元：借向量平行（坐标差 相等)简化关系，注意动点范围。 3解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及 图形合理性。 1.(2425九年级上湖北襄阳期中)如图，已知直线y=-x+3分别与x轴，y轴交于A、B,抛物线 y=ax2+bx+C过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D ()若y=ar2+br+C是由y=-2x2+1平移得到的，其顶点为M,对称轴交AB于点N ①求抛物线的解析式： ②是否存在点P,使得四边形MNPD为平行四边形？ (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得△BPD为直角三角形？ 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25九年级上广西南宁·期中)如图，在坐标系中△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1,0),B(0, 2),抛物线y= 5x2-bx-2的图象过点(2，-1)及点C B (1)求该抛物线的解析式： (2)求点C的坐标 (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P,使以P,A,C,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求 出P点坐标；若不存在，说明理由 3.(24-25九年级上湖南长沙阶段练习)己知抛物线与x轴交于A(-,0)、C3,0),与y轴交于点 B(0,-3) y典 (1)求抛物线对应的函数解析式： (2)在x轴上是否存在点P,使△PBC为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由： (3)点M为抛物线上一动点，在直线BC上是否存在点O,使以点O、B、O、M为顶点的四边形为平行四边 形？若存在，求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由， 4.(2425九年级上广东惠州阶段练习)如图，抛物线y- +mx+n交轴于点A(4,0)和点B交 y轴于点C(0,2) 2/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数解析式： (2)设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D,是否存在点N,使得四边形DNOC是 平行四边形，如果有，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 (3)x轴上，是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明 理由. 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、O,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相 平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消 元：结合斜率（垂直时积为1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解：先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理 性。 5.(2425九年级上河南焦作阶段练习)抛物线y=(x-m)-2的顶点为A(点A在第四象限)，与y轴 交于点B(O,2),P是对称轴上一点，△PAB为直角三角形： (I)求出m的值及顶点A的坐标： (2)求点P的坐标： ()若E是平面直角坐标系内一点，则是否存在一点E,使得以A,B,P,E为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 6.(2025海南模拟预测)如图，已知抛物线y=-2x2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0)(点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,对称轴是直线x=2,P是第一象限内抛物线上一个动点 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M,垂足为点H,若PM=MH时，求△PBC的面积： (3)若以P,M,C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长： (4)已知点Q是直线PC上一点，在(3)的条件下，直线PM上是否存在一点K,使得以Q,M,C,K为 顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B)，设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂 直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积1（对角线垂 直)列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结 合图形验合理性。 7.(2025四川达州中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3) B (1)求抛物线的解析式： (②)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标： (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、CM、N为 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 项点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 8.(2025广东肇庆·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=r2+bx-3的图象交x轴于A(-1,0) B(3,O)两点，交y轴于点C,点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D,交直线BC于点E. 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标： (3)在y轴上是否存在点F,使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的 坐标；若不存在，请说明理由， 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角 线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元， 结合图形限动点范围。 3解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程：先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理 性。 9.如图，抛物线经过A(-1,0),C(4,0),D(3,-4)三点 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)探究在抛物线上是否存在点P,使SPc=2SDc?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由. 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)直线AD交y轴于点G,M是线段GD上动点，MNI‖x轴与抛物线CD段交于点N.MF⊥x轴于F, NH⊥x轴于H,当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点 C(0,-3),且抛物线的顶点坐标为(1，-4). 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(O,-l),连接BC,DP相交于点E,连接PB.若aCDE与 △PBE的面积相等，求点P的坐标； (3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H.是否存在点 M,N,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由. B 综合攻坚·能力跃升 一、解答题 1.(2025九年级上北京专题练习)已知抛物线L:y=m-2ar-3(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3). 2 1 -4-3-2-19 1234 -2 -3 -4H (1)求抛物线L的表达式： 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若将抛物线L沿x轴向右平移得到抛物线L'，平移后点C的对应点为点P，点Q是平面内任意一点，是 否存在以A、B、Q、P四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由. 2.(2025陕西咸阳模拟预测)如图，抛物线y=ar+br+C(a≠0)的图象经过A(,0),B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,6),M是抛物线的顶点. M (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q,在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使以A, P,Q,M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请 说明理由， 2425九年级下宁夏吴忠期中)如图，抛物线)=-？+r+c与x轴交于410)，B两点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C(O,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D,动点M在抛物线上 运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P,交直线CD于点N, A/OPD B (1)求抛物线的解析式： (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边 形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标 4.(2025陕西西安模拟预测)如图，已知抛物线C:y=-x+x+c与y轴相交于点C(0,),对称轴为直 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线x=2.坐标原点为O点，抛物线C1的对称轴交x轴于A点， 备用图 (1)抛物线的关系表达式： (2)将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C,C,与C1相交于点E,点F为抛物线C1对称轴上的一 点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出 点H的坐标；若不存在，请说明理由， 5.(2025九年级上浙江专题练习)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=ar+br+2(a≠0)与x 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.与y轴交于点C,连接BC. B 111111111 (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴： (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由. 6.(2025山东枣庄二模)已知，如图抛物线y=ax+3ar+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两 点，点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0)，OC=3OB 8/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△BC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请 说明理由； (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若 存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 7.(2025吉林松原模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+2x+c(a≠0)与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为x=1,点D为此抛物线的顶点. y (1)求抛物线的解析式。 (2)若连接CD,则LBCD=°. (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值， (④点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点 Q的横坐标， 8.(24-25九年级下海南三亚阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+C与x轴交于点A、 B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(-5,0)，点C的坐标为(0,5)， 9111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积的最大 值； (3)如图2，若点M是抛物线上一动点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M,使得以 A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 9.(2025九年级上浙江专题练习)如图，抛物线y=x+r+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其 中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA=OC=5. B B 备用图 (1)求抛物线对应的函数解析式； (②)点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标： (3)在(2)条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点 作四边形PEFM,当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标. 10.(2025甘肃陇南模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于B、C两点，抛 物线y=a2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(-l,0).点D为抛物线在第一象限内的一点，过 点D作DO∥CO,DO交BC于点P,交x轴于点2， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (②)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC,求出m的值： (3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点F,问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的 矩形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由， 11.(2025陕西西安一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=x2+2x-3与x轴交于点A和 点B B (1)求点A,点B的坐标； (2)抛物线C2与抛物线C关于原点O成中心对称，求抛物线C2的表达式： (3)已知A的对应点为A,B的对应点为B,C的对应点为C,以A,A,B,B,C,C六个点中的4 个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积， 12.(24-25九年级下·湖北省直辖县级单位阶段练习)如图，已知抛物线y=x2+br+c的图象与x轴交 于点A(3,0)、B(1,0),与y轴交于点C,且OA=0C. O B 图① 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (②)如图①，在直线AC上方的抛物线上存在一点M,使得S△wc=6,求出M的坐标； (3)若点P是该抛物线上位于直线AC下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点 D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B,P,D,Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写 出Q点的坐标. 11/11 专题08 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 10 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 15 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于，抛物线过两点，点P是线段上一动点，过P作轴于点C，交抛物线于点D． (1)若是由平移得到的，其顶点为M，对称轴交于点N． ①求抛物线的解析式； ②是否存在点P，使得四边形为平行四边形？ (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得为直角三角形？ 【答案】(1)①②存在点P，使得四边形为平行四边形，点或点 (2)存在，满足条件的抛物线解析式为或 【分析】先求出点的坐标， （1）①根据抛物线的平移得出，即可得出结论； ②假设存在，得出，再求出点，的坐标，得出，设出点的坐标，表示出，进而用求出的值，即可得出结论； （2）分和，求出点和的坐标，分别代入抛物线的解析式中，即可求出，即可得出结论． 【详解】（1）①解：∵直线分别与轴，轴交于、， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， 将点坐标代入抛物线中， 得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 抛物线是由平移得到， ， ∴抛物线的解析式为； ②假设存在， 由①知，抛物线的解析式为 设， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ， ∴， ∴或， ∴点或点， 此时，四边形是平行四边形， ∴存在点，使得四边形为平行四边形； （2）如图， 假设存在，当时，轴， ∴点的纵坐标为3， ∴点，将点代入抛物线的解析式为中，得， ∴抛物线的解析式为， 当时，过点作轴于，则 将代入抛物线的解析式为中， 得， ∴抛物线的解析式为， 即：存在，满足条件的抛物线解析式为或； 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标 (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（3，1） (3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1) 【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可； （2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标； （3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，分类讨论. 【详解】（1）把点（2，-1）代入得= ∴该抛物线的解析式为 （2）过点C作CD垂直轴于点D ∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90° ∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3   ∴△BOA≌△ADC ∴OA=DC，BO=AD ∵A(1,0),B(0,2), ∴OA=DC=1，BO=AD=2 ∴点C的坐标为（3,1） （3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3 ①当AP//BC,且AP = BC时，如图: 将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)， 经检验:点P1在抛物线上， 故P1满足条件， ②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)， 经检验，P2不在抛物线上； ③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)， 经分析，点P3不在抛物线上，不合题意. 综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1). 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线与x轴交于，与轴交于点．    (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在直线上是否存在点Q，使以点O、B、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或,或,或 (3)存在Q, ,， 【分析】（1）运用二次函数交点式解析式，将点坐标代入求解； （2）设，则，分三种情况讨论：①当时，②当时,③当时,分别构建方程求解； （3）运用待定系数法确定直线的解析式为，设，分情况讨论： ①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，运用中点坐标构建方程求解． 【详解】（1）根据题意，设解析式为， 与轴交于点，则，得 ∴． （2）设，则 当为等腰三角形时，可分为以下几类： ①　当时，, 解得，此时P的坐标为 ②　当时,，解得，不能和C重合，故此时P的坐标为 ③　当时,，解得或，此时P的坐标为 ,或 综上，P的坐标为 或,或,或 （3）存在Q； 设直线的解析式为，则 ，解得 ∴ 设， ①以为对角线，要形成平行四边形，则 解得， 相应的，或 ∴Q的坐标为,或 ,   　　　　　 ②以为对角线，要形成平行四边形，则 ，解得 相应的，或 ∴点Q的坐标为，；    ③以为对角线，要形成平行四边形，则 ，变形得， 此方程无解，故方程组无解， ∴不存在以为对角线的平行四边形． 综上，Q的坐标为, ,， 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的表达式为，设，，得到，根据题意得到，代入得到，解方程求解即可； （3）首先令，即，求出，然后根据题意分3种情况讨论，分别根据等腰三角形的概念和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵拋物线交轴于点和点，交轴于点， ∴，解得 ∴； （2）∵， ∴设直线的表达式为 ∴，解得 ∴ ∵点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点， ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 解得 ∴； （3）∵， ∴令，即， 解得， ∴ ∵， ∴设 如图所示，当时， ∵ ∴ ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，当点P的坐标为，，时，为等腰三角形． 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 5．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）抛物线的顶点为（点在第四象限），与轴交于点，是对称轴上一点，为直角三角形； (1)求出的值及顶点的坐标； (2)求点的坐标； (3)若是平面直角坐标系内一点，则是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求函数解析式，正切函数的定义，矩形的判定和性质． （1）利用待定系数法可求得的值，进而求得顶点的坐标； （2）分和两种情况讨论，当时，求得，得到，据此求解即可； （3）在（2）的基础上，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴，顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴其对称轴为直线， 当时，如图， ∴点的坐标为； 当时，如图， ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图，当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时， 根据平移的性质知：将点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 6．（2025·海南·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积； (3)若以P，M，C为顶点的三角形是以为底角的等腰三角形时，求线段的长； (4)已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，设，则：，根据列出方程，求出的值，进而求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解； （4）求出直线的解析式，设，利用平移思想求出点坐标，进而求出点坐标，再验证即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∵， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴， ∴； （3）设，则：， ∴， ①当时，过点作，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，过点作，则：， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 故； （4）存在： 由（3）可知：，， 设直线的解析式为，把代入得：， ∴， 设， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴， ∵点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 则四边形为矩形，满足题意； 故． 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 7．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为， (3)存在，或或，，见解析 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：    ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ （3）存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 8．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）分四边形为菱形和四边形为菱形，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于、两点， 把、代入， 得，解得， ； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 轴， ，， ， 是直角三角形， 当时，则：， ， ∴关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ， 此时点的坐标为， 当时， 设的解析式为， 把，代入， 得，解得， ， 设点，则，， 则：，， ，， ， ∴， ， ，， ， 则， 即， 解得，（此时点和点重合，故舍去）， 点； 综上或； （3）存在，或； 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为； 设点，，； 四边形为菱形， ， 即， 则， 由（2）知，此时， ， ∵， ∴， ∴， ， 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 点，，， ，即， ∴， ， ， 解得，（舍去）， ， ； 综上或． 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 9．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 一、解答题 1．（2025九年级上·北京·专题练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，其对称轴为直线 (2) 存在，或或 【分析】 （1）将点，代入，可得，，即可求解； （2）分四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形时平行四边形三种情况，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将点，代入，得 ． 解得， 故该抛物线的解析式为，其对称轴为直线． （2） 解：存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 由题得，，，设，， ①四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ③四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 7．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 8．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 9．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 10．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 11．（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【答案】(1)， (2) (3)四边形，是菱形，面积最大的菱形面积为18 【分析】（1）当时，，然后求解即可； （2）首先将抛物线配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后根据中心对称的性质得到抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，进而求解即可； （3）首先求出，，，，然后得出，，，结合，证明出四边形，是菱形，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴抛物线的二次项系数为，顶点坐标为 ∴抛物线的表达式为； （3）解：如图所示， 当时， ∴ ∵，，抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴，， ∴，， ∴四边形，是平行四边形 又∵， ∴四边形，是菱形 由图可得，菱形的面积大于菱形的面积 ∴菱形的面积． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，关于点成中心对称的图形的性质以及菱形的判定和面积公式，其中根据中心对称的性质求出抛物线的函数表达式是解题的关键． 12．（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标； (3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案； （3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 将A、B、C代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 代入A、C得， 解得， ， 过点M作轴，交于点N， 设，则， ， ， 即， 解得或， 或； （3）解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于； ∴， 设，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为， 此时，， ∴，且， 此时四边形是正方形， ∴， 综上：或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $