培优01 二次函数的性质5大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心性质，通过题型分类构建从基础到综合的训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增减性与最值|20题|多维度考查开口方向、对称轴及顶点坐标|从函数基本性质出发，建立数与形的关联| |比较函数值大小|15题|结合点坐标与对称轴分析函数增减规律|深化对二次函数对称性的理解与应用| |二次函数平移|15题|考查顶点式图像变换规律|衔接代数表达式与几何变换的对应关系| |与方程、不等式|25题|综合图像交点、根的判别式及解集问题|构建函数与方程、不等式的内在联系| |图象与系数关系|15题|通过图像判断系数符号及代数式取值|强化数形结合思想，提升直观分析能力|

专题01 二次函数的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 二次函数的增减性与最值 1 题型二、 比较函数值的大小 9 题型三、 二次函数的平移 15 题型四、 二次函数与方程、不等式 20 题型五、 二次函数的图象与系数的关系 36 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的增减性与最值 1．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 3．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的图象关于y轴对称，利用二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：根据题意可得二次函数的图象关于y轴对称， ∵图象过点， ∴点关于y轴的对称点也在函数图象上． 4．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 5．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 6．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 7．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 8．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 9．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 10．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 11．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 12．二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式，直接读出、的值，得到顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 13．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 14．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 15．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 16．抛物线的对称轴是______． 【答案】y轴 【分析】根据抛物线的性质：，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，即可得的对称轴． 【详解】解：根据抛物线的性质得：抛物线的对称轴是轴． 17．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 18．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 19．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 20．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 题型二、比较函数值的大小 21．已知点都在抛物线上，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定大小关系 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数上的对称轴为y轴，再判断在对称轴左侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：∵抛物线，其对称轴为轴， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小， ∵点都在对称轴左侧，且， ∴． 故选：B． 22．已知，都在抛物线上，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定大小关系 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，函数关于y轴对称，当时，开口向上，离y轴越近，函数值越小；当时，开口向下，离y轴越近，函数值越大． 根据抛物线的对称轴是y轴，开口向上即可判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，开口向上， ∴在y轴左侧，y随x的增大而减小， ， ， 故选：C． 23．若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 24．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 25．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 26．点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质， 通过代入x值计算y值，然后比较大小． 【详解】∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵， ∴． 故选：A． 27．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 28．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 29．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 30．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 31．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 32．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解： 二次函数中，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 且开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， ， ． 33．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 34．已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 35．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 题型三、二次函数的平移 36．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 37．将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（   ）． A．向左平移个单位，再向下平移个单位 B．向右平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟知“左加右减，上加下减”的平移法则是解题关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移法则进行求解即可． 【详解】解：选项A，向左平移个单位，再向下平移2个单位得，故不符合题意； 选项B，向右平移个单位，再向下平移2个单位得，故不符合题意； 选项C，向左平移个单位，再向上平移个单位得，故符合题意； 选项D，向右平移个单位，再向上平移个单位得，故不符合题意． 故选：C． 38．二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 39．二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（    ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握针对“左加右减”，针对常数项“上加下减”是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断平移方向． 【详解】解：由题意的图象是由的函数图象平移而来， 相对于，水平方向向左平移3个单位，垂直方向向上平移5个单位， 故选A． 40．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先化简得，根据二次函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，求解即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到抛物线， 故选：B． 41．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 42．若抛物线平移得到，则必须（   ） A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度 B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的平移．熟记相关结论即可．左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减． 【详解】解：A：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； B：平移后抛物线的解析式为：，即，符合题意； C：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； D：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； 故选：B． 43．要得到二次函数的图象，需将的图象（    ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移方法准确计算是解题的关键． 根据二次函数图象的平移口诀：上加下减，左加右减平移即可． 【详解】向右平移2个单位变为：， 向上平移一个单位变为：； 向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 故选． 44．将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 【详解】解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得 ， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 45．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 46．若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】解：原函数为，向左平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得， 故答案为：． 47．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为___________ 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所得抛物线的表达式为：，即． 故答案为：． 48．将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可． 【详解】解：由函数平移口诀“左加右减，上加下减”可得， 平移后的函数解析式为． 故答案为：． 49．把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为：，即． 故答案为：． 50．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 题型四、二次函数与方程、不等式 51．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 52．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 53．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 54．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 55．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 56．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 57．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 58．命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需满足且二次函数与轴无交点，先排除不符合的选项，再验证剩余选项的判别式． 【详解】解：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与轴无交点， ∵ 命题的条件为， ∴ 、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意． 59．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 60．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 61．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 62．二次函数的图象的对称轴为_______________． 【答案】2 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 63．已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】根据抛物线图象与x轴交于，利用图象法直接可得出当与时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图象与x轴交于 ，，又抛物线开口向上， ∴由图象可得，当时，x的取值范围是， 当时，x的取值范围是或． 64．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 65．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，则只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 66．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 67．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 68．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 69．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 70．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 71．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像的对称轴是，与x轴的一个交点为，与y轴交于点； (2)图像与x轴的交点坐标是，且函数有最小值； (3)当时，函数取得最大值1，且图像与x轴两个交点之间的距离为2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知二次函数的顶点坐标为，根据顶点坐标先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的图像的性质得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的两交点坐标为，根据顶点坐标先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴是直线， ∴设该二次函数的解析式为， ∵该图像与x轴的一个交点为，与y轴交于点， ∴，解得 ∴该二次函数的解析式为； （2）∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是， ∴其对称轴为， 又∵函数有最小值， ∴该函数图像的顶点坐标为， 设该二次函数解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （3）根据题意，当时，函数取得最大值1， 则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 又∵抛物线与轴两个交点之间的距离为2， ∴抛物线与轴的两交点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 72．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 73．如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，结合图象可得答案； （2）根据二次函数的图象得出当时，的值，再检验即可； （3）根据二次函数的图象经过点，结合对称性可得答案； （4）根据二次函数的图象与直线没有交点可得答案. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴方程的解是. （2）解：由图象可得：当时，， 则的解是. 检验：二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 当时， 解得：. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴方程的解是. （4）解：∵二次函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有实数根. 74．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 75．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 题型五、二次函数的图象与系数的关系 76．二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④ 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴上， ∴，即，故①正确； ∵对称轴，即， ∴，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④四个． 故选D． 77．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①根据对称轴得出； ②当时，结合图象进行判断； ③得出点的对称点为，当时，可得结论； ④根据图象可得增减性． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即， 故①正确； ②当时，函数值大于零，即， 故②错误； ③∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点的对称点为， 当时， 即， 故③正确； ④由图象可知，当时，的值随值的增大而减小， 故④正确； 综上，正确的选项为①③④，共3个． 78．如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知，故①错误； ②由对称轴为， ∴， ∴，则，故②正确； ③由图象可知，当时，，则，故③正确； ④从图象知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，当时，，则，故⑤正确； 综上，②③④⑤正确，共4个． 故选：D． 79．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 80．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故、；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴， ∴，对称轴为，常数项， ∴， ∴； ∴，①正确； ∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上， ∴对任意实数，都有，②正确； ∵ ∴，③正确； 由题意得， ， ∴二次函数值小于一次函数的值， ∵二次函数过点和，这两个点也在直线上， ∴两个函数的交点为和， 由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方， ∴不等式成立的范围是，④正确． 综上所述，正确的个数有4个． 81．已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象得出，，由二次函数的对称轴公式得出，即可判断①③；求出二次函数的图象与轴的另一个交点是，即可判断②；由图象可得，当时，，再结合，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴，，故③正确； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点是， ∴当时，，故②错误； 由图象可得，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有③④，共个． 82．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，根据图像的特点可以判断④，根据二次函数图像与轴的交点可判断⑤，根据二次函数的最值可判断⑥． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴，故说法①不正确； ∵二次函数的图像与轴交点横坐标分别是和， ∴该图像的对称轴为：， ∴，故说法②正确； 由二次函数的图像可知：当时，， ∴，故说法③正确； 由二次函数的图像可知：当时，函数图像在轴上方，即，故说法④正确； 由二次函数的图像可知：该图像与轴有个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故说法⑤错误； ∵二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴， 即（为实数），故说法⑥正确； ∴正确的有个． 83．已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数图象的开口方向以及抛物线与坐标轴的交点即可判断①②，由待定系数法求解函数解析式结合对称轴即可判断③，由于抛物线的最低点是，若点在该抛物线上，则，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴没有交点， ∴，故②错误； 由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为， ∵过点， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵抛物线的最低点是， ∴若点在该抛物线上，则，故④正确． 故选：B． 84．二次函数的图象如图所示．下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，观察图象可得，，，，可得，可判断；由，可得；即时y的值；因二次函数与x轴有两个交点，故；根据函数图象即可判断⑤． 【详解】解：观察图象可得，，，， ∴， ∴， 故①符合题意， ∵， ∴， 故②符合题意， 将代入二次函数中，得， 故③符合题意， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，即， 故④符合题意， 由图可知，当x的值接近3时，，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 85．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，函数的增减性，二次函数图象与轴的交点个数，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴交于负半轴，抛物线与轴有2个交点， ∴， ∴，当时，随的增大而增大，， 综上：只有③是正确的； 故选A． 86．已知二次函数的图象与轴交于正半轴，且满足．则下列5个结论： ①该二次函数的图象经过点； ②； ③若，则此二次函数的对称轴为直线； ④若，则此二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； ⑤若存在满足，则当时，随着的增大而减小； 其中正确的结论有______（只填写正确的序号即可）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图像、性质、对称轴、与轴的交点等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象与轴交于正半轴，可得，由可得抛物线过点，逐一分析各结论即可． 【详解】对于结论①：由二次函数图象与轴交于正半轴，得， ， 当时，，故图象过点，故①正确； 对于结论②：当图象开口向下，对称轴在y轴左侧时，，，，则，故②错误； 对于结论③：由，得图象过点，与点关于对称轴对称， 对称轴为，故③正确； 对于结论④：由和，可得，， 的根的判别式， 图象与x轴有两个不同的公共点，故④正确； 对于结论⑤：存在满足，结合图象过， 另一根为，满足， 对称轴，且， 由和，可得，即图象开口向下， 在对称轴左侧，函数随增大而增大， 故当时，y随x增大而增大，即⑤错误； 故答案为：①③④． 87．二次函数的图象如图所示．下列说法：①；②；③若，在函数图象上，当时，；④；⑤是一元二次方程的解，其中正确的有______．（填写正确的序号）    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点， 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵函数图象与x轴交于点，， 函数图象的对称轴为直线， ∴， ，即，故①正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ，故②错误； ③对称轴为，开口向上， ∴若，在函数图象上， 当时，； 当时， ，故③错误； ④∵当时，， ∴， 即，故④正确； ⑤当时，， ∴， 把代入一元二次方程，方程左边右边， ∴是方程的解，故⑤正确； 故答案为：． 88．如图，二次函数的函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中 下列结论： ①； ②； ③； ④当 时，；⑤， 其中正确的有 _________．  (填写正确的序号) 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系．熟练掌握二次函数的图象开口方向，对称轴，顶点，与x轴，y轴的交点坐标，自变量取特殊值时的函数植，是解决问题的关键． 根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，判断①；根据开口方向，对称轴，判断②；根据当时的函数值，判断③；根据当时的函数值，判断④；根据当与时的函数值，判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴， 故①正确； ∵对称轴在0～1之间， ∴， 又， ∴， ∴， 故②正确； 当时，， 故③错误； 当时，， ∴， 故④正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 89．已知二次函数的“图象与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．下面描述： ①； ②若点在和之间，则； ③若，均在抛物线上，则； ④若，均在抛物线上，且，则； ⑤若为等腰三角形，则的值为个． 其中正确的有_________．（填写所有正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据二次函数的对称轴可判断①；根据二次函数的图象与轴交于点可判断②；根据二次函数的增减性可判断③④；根据等腰三角形的性质可判断⑤，据此可得结论． 【详解】解：①∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， ∴， ∵点在和之间， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∵ 即点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴，故结论③正确； ④∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴当时，随的增大 而增大， ∵，均在抛物线上，且， ∴， ∴，， ∴，故结论④错误； ⑤∵，， ∴，，， 由②知：二次函数的解析式为，， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，∵， ∴，不符合题意， ∴此种情况不存在； 综上所述，的值为或，共个，故结论⑤错误； ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数图象的对称轴，二次函数图象的性质，等腰三角形的性质及勾股定理．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 90．如图，二次函数的图象，在下列说法中：① ；② ；③ 当时，y随x的增大而增大； ④ 方程的两根为，．正确的说法有_____________．（请写出所有正确的说法序号）    【答案】①③④ 【分析】根据图象开口向上可得，与y轴的交点在负半轴可得，可得，可判断①；当时，，可得，可判断②；③由于对称轴是，可判断③；由抛物线与x轴的交点的横坐标是和3，可判断④． 【详解】解：①图象开口向上， ， 与轴的交点在负半轴， ， ，故①符合题意； ②当时，， ，故②不符合题意； ③抛物线与x轴的交点的横坐标是和3， 由二次函数的对称性可得：对称轴是， 时，y随x的增大而增大，故③符合题意； ④抛物线与x轴的交点的横坐标是和3， 方程的两根为，，故④符合题意． 故答案为：①③④． 1．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），点在的延长线上．且（为正整数）．过点的抛物线，其顶点在轴上． (1)点的坐标为__________；点的坐标为__________； (2)当时，抛物线的函数表达式为__________； (3)如图2，抛物线，经过、两点，顶点为．且、、三点在同一直线上． ①求与的关系式； ②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积，规定（其中、均为非零常数），例如：，已知，，若正整数和正整数满足不等式组且，请直接写出值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）把代入抛物线得到，即可得到答案； （2）求出，进一步得到顶点的坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）①求出，得到抛物线的顶点的横坐标为，求出直线的解析式为，由、、三点在同一直线上得到，设抛物线的解析式为，把点的坐标为代入并整理即可得到答案；②先求出，根据题意列出不等式组并解得正整数和正整数满足根据得，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得到， 解得， ∵直线与抛物线相交于两点（点在第一象限）， ∴点的坐标为；点的坐标为； （2）解：当时，（为正整数）． ∵点在的延长线上． ∴， ∵过点的抛物线，其顶点在轴上． ∴顶点的坐标为，即为， 设抛物线的解析式为，把代入得到， 解得 ∴抛物线的解析式为； （3）解：①由题意可得，， 则， 则抛物线的顶点的横坐标为， 设直线的解析式为，把点的坐标为代入得到 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵、、三点在同一直线上． ∴抛物线的顶点的纵坐标为， ∴， ∴抛物线的解析式为， 把点的坐标为代入得到， 解得； ②∵（其中、均为非零常数），，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴ 解得正整数和正整数满足 ， 当时，设四边形的面积， 当时，设四边形的面积， ∵， ∴ 解得 当时，，解得，符合题意， 此时； 当时，，解得，符合题意， 此时； 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 综上可知，值为或． 3．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，消去即可得到与的数量关系； （2）由抛物线对称性得、横坐标之和为6，结合两三角形面积差列方程求解E点横坐标，纵坐标与、一致； （3）联立直线与抛物线解析式，结合点横坐标求出顶点纵坐标，再根据二次函数性质求区间内的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴为，点，在抛物线上， 关于直线对称，即， ， 设， 在线段上， 或， 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 综上所述，的坐标为或． （3）解：抛物线的顶点式为，顶点， 设直线的解析式为， 当的坐标为时， 将、代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∴，解得， ∴， 故，此时顶点在第一象限，不合题意； 当的坐标为时， 将，代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ， ， ， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为，开口向上，对称轴为； ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ，且， ， 综上所述，当时，的取值范围是． 4．已知抛物线，平面上有一定点，过作直线与抛物线交于（在的左侧），分别过两点作直线和（和不平行于坐标轴），其中，且直线和与抛物线都有唯一公共点．（附：两点间的距离公式：若，则 (1)请用表示和． (2)若一束光线经过点到点，经直线反射后的反射光线为，求证：轴． (3)若直线和交于点，判断点是否在某个一次函数的图象上，若在，请求出函数的解析式；若不在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明：根据（1）可得的解析式为， 设与轴交于点， 令，则，即， ∵、， ∴，， ∴， ∴， 根据光的反射定律，入射角等于反射角，得， ∴， ∴，即轴； (3)不在，点始终在直线上 【分析】（1）根据点在抛物线上，得出，将直线方程代入抛物线得：，根据直线与抛物线只有一个公共点，得该方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和，两根之积，即可解答； （2）根据（1）可得的解析式为，设与轴交于点，则，结合、，得出，则，根据光的反射定律，入射角等于反射角，得，即可得，则轴； （3）同理第（1）问可得，过的直线的解析式为：，联立和的方程求出交点，联立直线与抛物线，得方程，根据一元二次方程根与系数的关系，两根满足：，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵直线与抛物线仅有唯一公共点， 将直线方程代入抛物线得：， 整理为一元二次方程：， ∵直线与抛物线只有一个公共点，所以该方程有两个相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和，得， 两根之积，得； （2）略 （3）解：同理第（1）问可得，过的直线的解析式为：， 联立和得：， 两式相减得：，即， ∵在左侧，即， ∴两边约去得， 即的横坐标为：， 代入得的纵坐标：， ∴， 联立直线与抛物线，得方程， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根满足：， ∴， ∴的纵坐标恒为定值，横坐标任意，即点始终在直线上，这是一个常数函数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 二次函数的增减性与最值 1 题型二、 比较函数值的大小 3 题型三、 二次函数的平移 4 题型四、 二次函数与方程、不等式 6 题型五、 二次函数的图象与系数的关系 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的增减性与最值 1．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 4．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 5．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 7．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 8．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 11．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 12．二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 13．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 14．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 15．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 16．抛物线的对称轴是______． 17．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 18．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 19．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 20．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 题型二、比较函数值的大小 21．已知点都在抛物线上，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定大小关系 22．已知，都在抛物线上，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定大小关系 23．若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 24．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 25．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 26．点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 27．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 28．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 29．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 30．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 31．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 32．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 33．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 34．已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 35．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 题型三、二次函数的平移 36．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 37．将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（   ）． A．向左平移个单位，再向下平移个单位 B．向右平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 38．二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 39．二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（    ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 40．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 41．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 42．若抛物线平移得到，则必须（   ） A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度 B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 43．要得到二次函数的图象，需将的图象（    ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 44．将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 45．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 46．若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 47．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为___________ 48．将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为___________． 49．把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为___________． 50．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 题型四、二次函数与方程、不等式 51．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 52．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 53．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 54．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 55．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 56．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 57．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 58．命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 59．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 60．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 61．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 62．二次函数的图象的对称轴为_______________． 63．已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 64．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 65．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 66．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 67．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 68．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 69．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 70．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 71．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像的对称轴是，与x轴的一个交点为，与y轴交于点； (2)图像与x轴的交点坐标是，且函数有最小值； (3)当时，函数取得最大值1，且图像与x轴两个交点之间的距离为2． 72．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 73．如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 74．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 75．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 题型五、二次函数的图象与系数的关系 76．二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 77．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 78．如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 79．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 80．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 81．已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 82．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 83．已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 84．二次函数的图象如图所示．下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 85．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 86．已知二次函数的图象与轴交于正半轴，且满足．则下列5个结论： ①该二次函数的图象经过点； ②； ③若，则此二次函数的对称轴为直线； ④若，则此二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； ⑤若存在满足，则当时，随着的增大而减小； 其中正确的结论有______（只填写正确的序号即可）． 87．二次函数的图象如图所示．下列说法：①；②；③若，在函数图象上，当时，；④；⑤是一元二次方程的解，其中正确的有______．（填写正确的序号）    88．如图，二次函数的函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中 下列结论： ①； ②； ③； ④当 时，；⑤， 其中正确的有 _________．  (填写正确的序号) 89．已知二次函数的“图象与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．下面描述： ①； ②若点在和之间，则； ③若，均在抛物线上，则； ④若，均在抛物线上，且，则； ⑤若为等腰三角形，则的值为个． 其中正确的有_________．（填写所有正确的序号） 90．如图，二次函数的图象，在下列说法中：① ；② ；③ 当时，y随x的增大而增大； ④ 方程的两根为，．正确的说法有_____________．（请写出所有正确的说法序号）    1．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），点在的延长线上．且（为正整数）．过点的抛物线，其顶点在轴上． (1)点的坐标为__________；点的坐标为__________； (2)当时，抛物线的函数表达式为__________； (3)如图2，抛物线，经过、两点，顶点为．且、、三点在同一直线上． ①求与的关系式； ②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积，规定（其中、均为非零常数），例如：，已知，，若正整数和正整数满足不等式组且，请直接写出值． 3．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 4．已知抛物线，平面上有一定点，过作直线与抛物线交于（在的左侧），分别过两点作直线和（和不平行于坐标轴），其中，且直线和与抛物线都有唯一公共点．（附：两点间的距离公式：若，则 (1)请用表示和． (2)若一束光线经过点到点，经直线反射后的反射光线为，求证：轴． (3)若直线和交于点，判断点是否在某个一次函数的图象上，若在，请求出函数的解析式；若不在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $