第3章 3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖利用奇偶性求解析式（分段函数、解方程组两种角度）及综合问题（比较大小、解不等式等），通过问题导入（如奇偶函数图象特点思考）衔接奇偶性定义，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于通过例题延伸探究（如奇函数改偶函数）、跟踪训练及反思感悟，结合数学思维（逻辑推理、运算能力）与数学语言（符号表达），系统呈现解题方法。学生能深化知识理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

第2课时 函数奇偶性的应用 第三章　 3.1.3　函数的奇偶性 <<< 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式. 学习目标 一、利用奇偶性求解析式 二、函数奇偶性的综合问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 利用奇偶性求解析式 一 用奇偶性求解析式的步骤 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x). 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)的解析式. 例 1 当x<0时，-x>0，则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3. 当x=0时，f(0)=0. 故f(x)= 解 角度1　求分段函数的解析式 6 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式. 延伸探究 1 当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)=f(-x)=x2+2x+3， 即当x<0时，f(x)=x2+2x+3. 解 7 已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 反 思 感 悟 8 已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)=x(1+x)，求f(x)的解析式. 跟踪训练 1 因为当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)， 所以f(-x)=-x[1+(-x)]=x(x-1). 因为f(x)是R上的偶函数， 所以f(x)=f(-x)=x(x-1)，x∈(-∞，0). 所以f(x)= 解 9 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x2，求函数f(x)，g(x)的解析式. 例 2 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， 在f(x)+g(x)=2x+x2中， ① 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2， 所以f(x)-g(x)=-2x+x2， ② (①+②)÷2，得f(x)=x2. (①-②)÷2，得g(x)=2x. 解 角度2　利用解方程组求解析式 10 利用f(x)，g(x)一奇一偶，把-x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x). 反 思 感 悟 11 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 跟踪训练 2 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x). 在f(x)+g(x)=中， ① 用-x代替x得f(-x)+g(-x)= ∴f(x)-g(x)= ② (①+②)÷2，得f(x)=； (①-②)÷2，得g(x)=. 解 12 二 函数奇偶性的综合问题 提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增. 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？ 问题1 提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m. 已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？ 问题2 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上 ，即在对称区间上单调性 . 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上 ，即在对称区间上单调性 . 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为 . 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为 . 以上a，b符号相同. 单调递增 相同 单调递减 相反 -M N 知识梳理 (课本例3)已知函数f(x)满足f(5)<f(3)，分别在下列各条件下比较f(-5)与f(-3)的大小： (1)f(x)是偶函数； 例 3 角度1　比较大小 因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)， 因此f(-5)=f(5)，f(-3)=f(3)， 从而由条件可知f(-5)<f(-3). 解 17 (2)f(x)是奇函数. 因为f(x)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 因此f(-5)=-f(5)，f(-3)=-f(3)， 又由条件可知-f(5)>-f(3)， 从而f(-5)>f(-3). 解 18 已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是 A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 例 3 √ ∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 解析 19 把例3中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； 延伸探究 2 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增， 则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减， ∴f(-1)>f(-0.5)>f(0). 解 20 (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减. 方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)， 又f(2)<f(3)<f(π)； ∴f(-2)<f(-3)<f(π). 方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|-2|<|-3|<π， ∴f(π)>f(-3)>f(-2). 解 21 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 反 思 感 悟 22 设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m) <f(m)，求实数实数m的取值范围. 例 4 角度2　解不等式 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[-2，2]上单调递减. 所以不等式f(1-m)<f(m)等价于解得-1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 解 23 在本例中，把条件中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 延伸探究 3 因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数， 所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增. 因为f(1-m)<f(m)， 所以解得-1≤m< 所以实数m的取值范围为. 解 24 要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响. 反 思 感 悟 25 1.知识清单： (1)利用奇偶性求解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域. 课堂小结 随堂演练 三 1.奇函数y=f(x)的局部图象如图所示，则 A.f(2)>0>f(4) B.f(2)<0<f(4) C.f(2)>f(4)>0 D.f(2)<f(4)<0 √ 由题意可知，函数的图象如图，可知f(2)>0>f(4). 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 2.设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是 A. B. C. D. √ 因为F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减. 解析 1 2 3 4 3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=2x+3，则当x>0时，f(x) =　　　　. 当x>0时，-x<0，∴f(-x)=-2x+3，又f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)，∴当x>0时，f(x)=-2x+3. 解析 -2x+3 1 2 3 4 4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　.  由题意可知|a|<3，解得-3<a<3. 解析 (-3，3) 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A C A < (-1，3) 题号 11 12 13 14 15 答案 D ABC (-3，0)∪(3，+∞) 506 1　 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，由f(1-x)+f(1-2x)<0， 得f(1-x)<-f(1-2x)， 即f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1，1)上是减函数， ∴解得0<x< ∴原不等式的解集为. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由f(1)=f(3)=-3， 得解得 (2)由(1)知f(x)=x2-4x. ①[-2，2]. ②由题意得当x≥0时，g(x)=x2-4x； 当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为g(x)是奇函数，g(x)=-g(-x)， 所以当x<0时，g(x)=-x2-4x. 若g(a)>a， 则或 解得a>5或-5<a<0. 综上，实数a的取值范围为(-5，0)∪(5，+∞). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)令2x+1=t， 则f(t)=-. 所以f(x)=- f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(-x)=- =-=-f(x). 所以f(x)是奇函数. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0，且f(x)是奇函数. 所以f(a2-5a-3)<f(17-4a). 又f(x)=-= f(x)的图象如图， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当a2-5a-3≤-3，即0≤a≤5时， 则有17-4a>-3，即a<5，综上，0≤a<5； ②当-3<a2-5a-3<3，即-1<a<0或5<a<6时， 则有a2-5a-3<17-4a， 解得-4<a<5，综上，-1<a<0； ③当a2-5a-3≥3，即a≤-1或a≥6时，原不等式无解. 综上，实数a的取值范围是{a|-1<a<5}. 基础巩固 1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 √ 方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3. 方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)，∴f(x)=-2x2-x，故f(1)=-3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为 A.(-∞，0] B.[0，+∞) C.(-∞，+∞) D.[1，+∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数为偶函数，所以2+a=0，a=-2， 即函数f(x)=-2x2+1， 所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增. 解析 3.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间 [-7，-3]上 A.单调递增，且有最大值-5 B.单调递增，且有最小值-5 C.单调递减，且有最大值-5 D.单调递减，且有最小值-5 √ 因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)=5. 由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[-7，-3]上单调递增，且有最大值f(-3)=-f(3)=-5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是 A. B. C. D. √ 由题意得|2x-1|<⇒-<2x-1<⇒<2x<⇒<x<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为 A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1) C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意； 当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称， ∴m=0，∴f(x)=-x2+2， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减. 又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2). 解析 6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(2)+g(2)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1，∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1， ∴f(2)+g(2)=-3. 解析 7.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)+f(b)>0，则a+b　　　0.(填“>”“<”或“=”)  ∵f(a)+f(b)>0，∴f(a)>-f(b)，∴f(a)>f(-b)， 又f(x)为减函数，∴a<-b，∴a+b<0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 < 8.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0，则x的取值范围是　　　　　.  因为f(x)是偶函数，所以f(x-1)=f(|x-1|). 又因为f(2)=0， 所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2). 又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减， 所以|x-1|<2， 解得-1<x<3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-1，3) 9.已知f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(x)在(-1，1)上是减函数，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数， 由f(1-x)+f(1-2x)<0，得f(1-x)<-f(1-2x)， 即f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1，1)上是减函数， ∴解得0<x< ∴原不等式的解集为. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(1)=f(3)=-3. (1)求b，c的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(1)=f(3)=-3， 得 解 (2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)=f(x). ①直接写出g(x)的单调递减区间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知f(x)=x2-4x. [-2，2]. 解 ②若g(a)>a，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得当x≥0时，g(x)=x2-4x； 当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x， 因为g(x)是奇函数，g(x)=-g(-x)， 所以当x<0时，g(x)=-x2-4x. 若g(a)>a，则 解得a>5或-5<a<0. 综上，实数a的取值范围为(-5，0)∪(5，+∞). 解 11.若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，则函数y=F(x)在(-∞，0)上有 A.最大值-8 B.最小值-8 C.最小值-6 D.最小值-4 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y=f(x)和y=x都是奇函数， ∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数. 又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8， ∴T(x)=af(x)+bx在(0，+∞)上有最大值6， ∴T(x)=af(x)+bx在(-∞，0)上有最小值-6， ∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞，0)上有最小值-4. 解析 12.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则 A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令F(x)=[f(x)]2-3g(x)， 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)， 所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确； 因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3， ① 所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3， ② 由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确； 易得g(2)=8+1=9，故D错误. 解析 13.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-3，0)∪(3，+∞) 因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0. 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3； 当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-3<x<0. 所以原不等式的解集为(-3，0)∪(3，+∞). 解析 14.若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 506 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]， 设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0， 其定义域关于原点对称， 则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025]. 因为g(-x)==-=-g(x)， 所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以g(x)max+g(x)min=0， 所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024， 所以t=506. 解析 15.已知函数f(x)=是奇函数，且在上单调递减， 则实数a=　　，实数m的取值范围为　　　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)为奇函数，则满足f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1). 又f(1)=1-a，f(-1)=-1+1=0，则1-a=0，得a=1，此时f(x)= 解析 又函数y=x2-x的图象的对称轴为直线x=函数y=-x2-x的图象的对称轴为直线x=-则函数f(x)的图象如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 则函数f(x)的单调递减区间为 因为函数f(x)在上单调递减， 所以即-≤m≤0， 即实数m的取值范围是. 16.已知函数f(2x+1)=|2x+4|-|2x-2|. (1)证明：f(x)是奇函数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2x+1=t，则f(t)=-. 所以f(x)=- f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(-x)=-=-=-f(x). 所以f(x)是奇函数. 证明 (2)若不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0成立，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0，且f(x)是奇函数. 所以f(a2-5a-3)<f(17-4a). 又f(x)=-= f(x)的图象如图， ①当a2-5a-3≤-3，即0≤a≤5时，则有17-4a>-3，即a<5，综上，0≤a<5； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当-3<a2-5a-3<3，即-1<a<0或5<a<6时，则有a2-5a-3<17-4a， 解得-4<a<5，综上，-1<a<0； ③当a2-5a-3≥3，即a≤-1或a≥6时，原不等式无解. 综上，实数a的取值范围是{a|-1<a<5}. 解 第三章　 3.1.3　函数的奇偶性 <<< $