30.2三角形的内切圆同步培优练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“圆的切线”为核心，通过基础概念辨析、性质应用到综合探究的三层设计，强化几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|内心概念、切线性质|选择1-2题直接考查内心定义与位置，夯实抽象能力| |中档|切线长计算、内切圆应用|填空12-13题结合四边形内切圆周长、切线长定理，培养运算能力| |提升|切线判定与综合证明|解答16-22题涉及切线证明、动态几何问题，发展推理能力与模型意识|

30.2三角形的内切圆同步培优练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，是的内切圆，则点是的(    ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高线的交点 3.如图，点是的内心，，则(    )    A. B. C. D. 4.如图，是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆．小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为  (    ) A. B. C. D. 随直线位置的变化而变化 5.如图，在中，，，点为的内心若的面积为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，是外接圆的圆心，是的内心，连接，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 7.如图，已知是的内切圆，切点为，，，若，，，则内切圆的半径(    ) A. B. C. D. 8.如图，的内切圆圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径若测得，则铁环的半径是          ． 12.如图，已知四边形的每条边都与相切，且，，则四边形的周长为          ． 13.如图，，是的切线，切于点，的周长为，，则的长为          的度数为          ． 14.如图，已知是的内切圆，切点分别为，，若的半径为，的面积为，且，则          ． 15.如图，在扇形中，，垂足为，是的内切圆，连接，，则的度数为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.如图，有一块直角三角形的材料，其中现要从材料中裁剪一个最大的圆，请用直尺和圆规作出满足条件的圆要求：保留作图痕迹，不写作法． 17.如图，四边形的四条边，，，分别与相切于点，，，，求证：． 18.如图，是的内切圆，已知，，． 求内切圆的半径 求的内心和外心的距离． 19.如图，为的内切圆，，，为切点． 若的周长为，内切圆半径为，则的面积为          ； 若，，，求的长． 20.如图，在中，点是的内心，延长与的外接圆交于点，连接，． 求证： 若，，求的长． 21.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，交于点． 求证：； 若，，求的长； 求证：点是的内心． 22. 阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆的半径为，探究与、之间的关系连接、、．，，，，，解决问题： 利用探究的结论，计算边长分别为、、的三角形的内切圆半径 若四边形存在内切圆与各边都相切的圆，如图，且四边形的面积为，各边长分别为、、、，试推导四边形的内切圆半径公式 若一个边形为不小于的整数存在内切圆，且面积为，各边长分别为、、，，合理猜想其内切圆的半径公式不需说明理由． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.  14.   15.   16. 解：如图，为所求作．  17. 证明：、、、分别与相切，，，，，将四式左右分别相加得，整理得，故。  18. 【小题】 如图，设与，，分别相切于点，，，连接，，， ，，，，，． ，四边形为正方形，设的半径为， ， ，，，解得． 【小题】 ，，， 为的外接圆的直径，． 设的中点为，点即为的外心，． 设与相切于点，连接，由得，，． 在中，，，， 即的内心与外心之间的距离为．  19. 【小题】 【小题】 设，则．为的内切圆，，，，，，．  20. 【小题】 证明：如图，连接． 点是的内心， 平分，平分， ，． ，， ，． 【小题】 如图，过点作，垂足为． 由得，，． ，． ，， ，． 由勾股定理，得，解得负值舍去，．  21. 【小题】 证明：证，即可； 【小题】 解： 证是等边三角形即可； 【小题】 证明：连接，，， ，， 又， ，同理得， ，是的内心．   22. 【小题】 ， 该三角形为直角三角形． 其面积， ． 【小题】 设四边形内切圆的圆心为，半径为，连接、、、， 则 ， ． 【小题】 类比的结论，易得边形的内切圆的半径 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $