30.1.2 圆的切线 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“基础达标+能力提升”分层设计，覆盖切线性质与判定，从基础应用到综合探究，适配新授课巩固与推理能力、几何直观培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|切线性质与判定的基本应用|选择、填空结合基础证明，如第3题证角平分线，强化推理意识| |能力提升|切线性质与判定的综合应用及跨学科情境|综合解答与几何直观题，如第6题几何直观探究，融入跨学科（地球赤道切线）应用，发展应用意识|

第2课时　切线长定理 切线长定理 1.如图,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°.下列结论不正确的是 (　　) A.PA=PB B.∠APO=20° C.∠OBP=70° D.∠AOP=70° 2.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,并与☉O的另一条切线分别相交于D,C两点,已知PA=6,则△PCD的周长为　　　　.  3.(2026牡丹江期中)如图,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,若AB是☉O的直径,且∠P=70°,求∠BAC的度数. 1.如图,AC是☉O的直径,PB,PC是☉O的两条切线,B,C是切点,若∠P=60°,AC=3,则AB的长为 (　　) A.1　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.如图,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点.若∠APC=60°,PO=5,则直径AB的长是　　　　.  3.(推理能力)如图,O是▱ABCD的对称中心,BC与☉O相切于点E. (1)求证:直线AD是☉O的切线. 选择其中一位同学的想法,完成证明. (2)当AB与☉O相切时,▱ABCD是菱形吗?请说明理由. 【详解答案】 基础达标 1.C　2.12 3.解:连接OC,如图. ∵PA,PC是☉O的切线, ∴OA⊥AP,OC⊥CP, ∴∠OAP=∠OCP=90°, ∴∠AOC=360°-90°-90°-70°=110°, ∴∠BAC=(180°-∠AOC)=35°. 能力提升 1.B　解析:如图,连接BC. ∵PB,PC是☉O的两条切线,∴PB=PC,∠ACP=90°.∵∠P=60°,∴△PBC是等边三角形,∴∠BCP=60°,∴∠ACB=90°-60°=30°,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴AC=2AB.∵AC=3,∴AB=.故选B. 2.5　解析:∵PA,PC是☉O的切线,∠APC=60°,∴∠APO=∠CPO=∠APC=30°,OA⊥AP.∵PO=5,∴AO=PO=,∴AB=2AO=5. 3.解:(1)证明:如图,连接EO并延长与AD交于点F,连接BD. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AD∥BC, ∴∠OBE=∠ODF. 又∵∠BOE=∠DOF, ∴△BOE≌△DOF(ASA), ∴OE=OF. ∵BC与☉O相切于点E, ∴AD与☉O相切于点F, 即直线AD是☉O的切线. (答案不唯一) (2)▱ABCD是菱形. 理由:如图. 设AB与☉O相切于点G,连接GO并延长与CD交于点H,连接AC. 同理(1),得CD是☉O的切线,AG=CH. 由切线长定理得BG=BE,CE=CH, ∵AG=CH, ∴AG=CE, ∴AB=BC, ∴▱ABCD是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2　圆的切线 第1课时　切线的性质和判定 切线的性质 1.如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是 (　　) A.3　　　　B.2　　　　C.　　　　D.6 2.(2025安徽中考)如图,AB是☉O的弦,PB与☉O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,则∠PAB的大小为　　　　 °.  3.(2025广东中考)如图,O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D. 求证:AD平分∠BAC. 切线的判定 4.下列关于圆的切线的说法正确的是 (　　) A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线　 B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线　 D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线 5.如图,AB是☉O的弦,BC是过点B的直线,∠AOB=130°.当∠ABC=　　　　°时,BC是☉O的切线.  6.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠D=60°. 求证:AE是☉O的切线. 1.三角尺、量角器和直尺如图摆放,三角尺的斜边BC与半圆O相切于点C,点B,D,E分别与直尺的刻度1,9,19重合,∠ABC=30°,则三角尺的直角边AC的长为 (　　) A.5　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.6 2.(2025自贡中考)PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB的度数为 (　　) A.50°　　 B.100° C.130°　　　 D.50°或130° 3.如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,嘉嘉说:“这个条件可以是AB=AC”;淇淇说:“满足条件AC∥OD也可以判定DE是☉O的切线”.对于他们的说法,下列判断正确的是 (　　) A.嘉嘉正确,淇淇错误　 B.嘉嘉错误,淇淇正确 C.他们都正确　 D.他们都错误 4.(跨学科)(2025北京中考)如图,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　　　　 °.  5.如图,AB是☉O的直径,=,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE,连接AF交☉O于点D,连接BD,BF. (1)求证:直线BF是☉O的切线. (2)若OB=4,求BD的长. 6.(几何直观)如图,已知直线AB∥CD,过直线AB上一点E作EG⊥CD于点G,以EG的长为直径作☉O,F为☉O上一点,直线BC过点F,且BE=BF,连接OB,OC. (1)求证:BC是☉O的切线. (2)若☉O的半径为3,且S△OBC=3,求CG-BE的值. 【详解答案】 基础达标 1.C　2.20 3.证明:连接OD,如图. ∵以OA为半径的☉O与边BC相切于点D, ∴OD⊥BC. ∵∠ABC=90°, ∴OD∥AB, ∴∠ODA=∠BAD. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD, ∴∠BAD=∠OAD, ∴AD平分∠BAC. 4.D　5.65 6.证明:∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵=, ∴∠B=∠D=60°, ∴∠BAC=90°-∠B=90°-60°=30°, ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°, ∴BA⊥AE. ∵AB是☉O的直径, ∴AE是☉O的切线. 能力提升 1.D　解析:连接OC(图略).∵BC与半圆O相切于点C,∴BC⊥OC.∴∠OCB=90°.∵DE是半圆O的直径,且DE=19-9=10,∴OC=OD=DE=5.∵BD=9-1=8,∴OB=BD+OD=8+5=13.∴BC===12.∵∠A=90°,∠ABC=30°,∴AC=BC=6.故选D. 2.D　解析:连接OA,OB,如图. ∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点, ∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°.当点C在优弧AB上时,∠ACB=∠AOB=× 100°=50°;当点C'在劣弧AB上时,∠AC'B=180°-50°=130°.综上所述,∠ACB的度数为50°或130°.故选D. 3.C　解析:如图,连接AD. 当AB=AC时,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC,∴CD=BD.∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线,∴AC∥OD.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.当AC∥OD时,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.∴他们都正确.故选C. 4.43　解析:∵∠DOB=∠FOB=23.5°, ∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°. ∵GD∥HF,∴∠OFH=180°-∠DOF=180°-47°=133°. ∵FI是☉O的切线,∴OF⊥FI, ∴∠OFI=90°,∴∠IFH=133°-90°=43°. 5.解:(1)证明:如图,连接OC. ∵AB是☉O的直径,=, ∴∠BOC=90°. ∵E是OB的中点, ∴OE=BE. 在△OCE和△BFE中, ∴△OCE≌△BFE(SAS), ∴∠FBE=∠COE=90°,即OB⊥BF. ∵AB为☉O的直径, ∴直线BF是☉O的切线. (2)∵OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE, ∴BF=OC=4. ∵AB=2OB=8,由(1)知∠ABF=90°, ∴AF==4. ∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AF, ∴S△ABF=AB·BF=AF·BD, 即8×4=4BD, ∴BD=. 6.解:(1)证明:如图,连接OF. ∵AB∥CD,EG⊥CD, ∴EG⊥AB, ∴∠OEB=∠OGC=90°. 在△OBE和△OBF中, ∴△OBE≌△OBF(SSS). ∴∠OEB=∠OFB=90°,即OF⊥BC. ∵OF是☉O的半径, ∴BC是☉O的切线. (2)如图,过点B作BM⊥DC于点M. 在Rt△OCG和Rt△OCF中, ∵OG=OF,OC=OC, ∴Rt△OCG≌Rt△OCF(HL), ∴CG=CF. 由(1)知△OBE≌△OBF, ∴S△OBE+S△OCG=S△OBF+S△OCF=S△OBC. ∴S梯形BCGE=2S△OBC=6=(CG+BE)×6, ∴CG+BE=2. ∵BE=BF,CG=CF, ∴BC=CF+BF=CG+BE=2. ∵EG⊥CD,BM⊥DC, ∴BM∥EG. ∵AB∥CD, ∴四边形EGMB是平行四边形, ∴BM=EG=6,BE=MG. ∵CG-MG=CM, ∴CG-BE=CM. 在Rt△BMC中,由勾股定理,得 CM==2. ∴CG-BE的值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $