学易金卷：八年级数学9月学情自测卷（河北专用，新教材人教版八上第13～14章：三角形+全等三角形）

**基本信息** 以三角形知识为核心，通过生活情境（如三角板探究、池塘测距）与梯度问题设计，检测学生几何直观、推理能力及应用意识，适配八年级上册第13-14章月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/24|三角形类型判定、等腰三角形性质、全等判定|第5题池塘测距体现全等实际应用，第12题动点问题融合分类讨论| |填空题|4/12|等腰三角形周长、角平分线性质、尺规作图依据|第15题对比角尺与三角尺分角原理，渗透推理意识| |解答题|8/64|中线与高计算、全等证明、三角板探究|24题“玩转三角板”通过多情境摆放，培养探究能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13-14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 3．如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 5．如图，有一池塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点和的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则、间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 7．某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 8．如图，，折叠后点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 10．小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．如图，已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若P，Q两点同时到达点，则； ③若，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 14．如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 15．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 16．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。其中：17题6分，18-19每题7分，20-22每题8分，23-24每题10分。 17．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 18．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 19．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 20．如图是作一个角的角平分线的方法：以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于长为半径作画弧，两条弧交于点，作射线，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 21．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 23．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 24．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13-14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 3．如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 5．如图，有一池塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点和的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则、间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 7．某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 8．如图，，折叠后点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 10．小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．如图，已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若P，Q两点同时到达点，则； ③若，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 14．如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 15．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 16．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。其中：17题6分，18-19每题7分，20-22每题8分，23-24每题10分。 17．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 18．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 19．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 20．如图是作一个角的角平分线的方法：以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于长为半径作画弧，两条弧交于点，作射线，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 21．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 23．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 24．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13-14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 2．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．本题需结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【详解】解：等腰三角形两边长为、 分两种情况讨论 ①若第三边长为，则三边为、、 ，不满足三角形两边之和大于第三边的关系 此情况不成立 ②若第三边长为，则三边为、、 ，，满足三角形三边关系 此情况成立 第三边长为 故选：B． 3．如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴． 故选：B． 4．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 5．如图，有一池塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点和的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则、间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握全等三角形的判定与性质（）． 先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结果． 【详解】解：∵，，， ， ∴(米)， ∴、间的距离为米， 故选：B． 6．如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，证明，则，得到，再利用角的和差即可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故选：B 7．某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和得到，据此得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到E， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 8．如图，，折叠后点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度计算，三角形内角和定理．根据题意可知，再利用三角形内角和及折叠问题即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 10．小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据全等三角形的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故A选项正确，不符合题意； B、如图 由作图痕迹可得，，，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故C选项正确，不符合题意； D、如图： 由作图痕迹可得，，，， 不能得出与全等， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 11．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，根据角平分线判定定理即可推出①，根据即可推出②，根据等腰三角形性质推出，推出，根据平行线判定推出③即可；无法证明故④错误． 【详解】解：∵， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中，缺少全等条件，故④错误， 故选：B． 12．如图，已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若P，Q两点同时到达点，则； ③若，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形动点问题、全等三角形的性质和判定等知识点，弄清运动过程、找出符合条件的点的位置是解题的关键． ①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断Q；首先求出P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，、，，然后得到与不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况∶ 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②错误； ③如图所示， 当时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④当时， ∴，即；，即， ∴； 当时， ∴，即；，即， ∴， ∴若与全等，则或．故④正确， 综上所述，正确的选项为①④． 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 14．如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分. 【详解】如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与，重合，可知， 故在和中， 由 ，得； 如图②所示，由所作垂线可知， 故在和中， 由 ，得. 16．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。其中：17题6分，18-19每题7分，20-22每题8分，23-24每题10分。 17．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出是解题关键． （1）利用三角形的中线平分三角形面积得出； （2）利用三角形面积得出的长，即可得出的长． 【详解】（1）解：是边上的中线，， ， 故答案为：； （2）解：是边上的高，， ， ， ． 18．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 19．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 20．如图是作一个角的角平分线的方法：以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于长为半径作画弧，两条弧交于点，作射线，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由得出，而，再根据平分线的定义可得答案； （2）证、，加之公共边，可证≌，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴ 由作法知，是的平分线， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∵ ∴≌ ∴． 【点睛】本题主要考查作图－复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质． 21．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 22．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 23．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 24．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：90分钟，分值：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第13-14章。 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 1 个 P 9 10 11 12 A 心 马 B B ⊙ 马 D B B ① 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，每小题3分，共12分。 13.42 14.20°/20度 15.SSS HL 4 16.3 三、解答题：本题共8小题，共64分。其中：17题6分，18-19每题7分，20-22每题8分，23-24每题10 分。 17. 【详解】(1)解：D是边BC上的中线，5=3， S.DC =3 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故答案为：3：(2分) (2)解：AE是边BC上的高，AE=2, :2×AEx CD=3 CD=3. .BC=2CD=6.(5分) 18.【详解】(1)解：∠BAD=25°，∠BEA=140° ∴.∠ABE=180°-∠BEA-∠BAD=180°-140°-25°=15°， ,BE为△ABD的角平分线， .∠ABD=2∠ABE=30°.(3分) (2)解：：AD为1BC S48c=64 的中线， ∴，△ABD的面积为32， ,BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB,EM为△BED的高， .NE=ME, 54a0=S,e+Sa0e=32 -NE+BD:ME=32 .AB=16,BD=8,NE=ME. x16ME+x8ME=2 1 解得：ME-9.(7分 19.【详解】(1)解：△ABC≌△ADE, ∴∠BAC=∠DAE,即∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠EAC, ∠DAF=∠EAC, ∠CAD=110°，∠BAE=30° .∠DAF+∠EAC=∠CAD-∠BAE=8O°， .∠BAD=40°，(4分) (2)解：△ABC≌△ADE」 ...AB=AD=10,DE=BC=BE+EC=9. 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 △ADF与△BEF的周长和为AD+BE+DE+AB=10+4.5+9+10=33.5.(7分) 20.【详解】(1)解：，OB/1FD, .∠OFD+∠AOB=180°， 又，∠OFD=110°， .∠AOB=180°-∠OFD=180°-110°=70° 由作法知，OP是∠AOB的平分线， ∠D08=40B=35°：(4分) (2)证明：：OP平分∠AOB, ∴.∠AOD=∠DOB. .OB//FD. .∠DOB=∠ODF, .∠AOD=∠ODF, 又，FM⊥OD, .∠OMF=∠DMF, 在△MFO和△MFD中 「∠OMF=∠DMF ∠AOD=∠ODF FM=FM △MFO△MFD(AAS) .OF=FD.(8分) 21.【详解】(1)证明：，在△ACE和△ACF中， AE=AF CE=CF AC=AC' ,△ACE≌△ACF(SSS) .∠CAE=∠CAF, .AC平分∠DAB;(3分) 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2),△ACE≌△ACF, .∠AEC=∠AFC, :180°-∠AEC=180°-∠AFC,即LCEB=∠CFD, 在△BCE和△DCF中， ∠B=∠D=90° ∠CEB=∠CFD CE=CF △BCE≌△DCF(AAS) ∴.BE=DF,BC=DC=6, .AD=AF+DF=AE+BE=AB=8, ∴四边形ABCD的面积=SAac+Sc= 4B9C+40-0c=8x6+8x6=48,(6分 (3),△ACE≌△ACF, .∠ACE=∠ACF, 又，∠CAE=∠CAF, ,∠DAB+∠ECF=(∠CAE+∠CAF)+(∠AEC+∠ACF)=2(∠CAF+∠ACF) .∠DFC=∠CAF+∠ACF, :.∠DAB+∠ECF=2∠DFC.(8分) 22.(1)AC=BD,理由如下： ∠AOB=∠COD, .,∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,∴.∠AOC=∠BOD OA=OB ∠AOC=∠BOD 和 中， △AOC△BOD OC=OD △AOC≌ABOD(SAS) AC=BD.(4分) (2)解：由(1)可得，a10C≌aB0D(SAS) 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠OAC=∠OBD. 在△AOQ和△BPQ中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP, ∠BPQ=∠AOQ=50° ∠APD=180°-∠BP0=180°-50°=130°.(8分) 23.【详解】(1)解：在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，且∠A+∠D=85°， :∠40D=180°-（∠4+∠D)=95° .∠AOD=∠B0C=95°， .∠B+∠C+∠BOC=180°， .∠B+∠C=85°；(2分) (2)证明：在△AOE与△COB中，∠EAO+∠AEO+∠AOE=∠B+∠C+∠BOC=180°， .∠AOE=∠BOC, ∴.∠EAO+∠AEO=∠C+∠B, :∠EAO=∠C, .∠AEO=∠B. :∠EAD=∠D,∠AEO=∠EAD+∠D」 .∠AE0=2∠D. ∠B=2∠D: (6分) (3)解：如下图， D 4 B·∠DAP=∠BAP∠DCP=∠BCP ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 由(1)得∠1+∠D=∠3+∠P,∠4+∠B=∠2+∠P, 两式相加，得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P, 即∠B+∠D=2∠P, 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2P-2B+2D0)-0=45.40分 24.【详解】(1)解：①∠CAB=90°， .∠1+∠2=180°-∠CAB=90°， CG⊥EF,BH⊥EF, ∴.∠CGA=∠AHB=90°， 则在Rt△CGA中，I+∠3=90°， ∠2=∠3， 在△CGA和△AHB中， ∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB, ∴ACGA≌△AHB(AAS) ②，△CGA≌△AHB, .CG=AH=2,AG=BH=3. .GH=GA+AH=3+2=5;(2分) (2)BM=DC+MD,理由如下： :∠BAC=90°， .∠BAM+∠DAC=90°， .∠ADC=90° .∠DAC+∠ACD=90°， ∴.∠BAM=∠ACD, .BM⊥DE, .∠BMA=∠ADC=90°， AB=AC. :△BMM≌△ACD(AAS) .AM=CD,BM=AD, AD=AM+MD, :BM=DC+MD;(6分) (3)解：过B作BM⊥AD交直线AD于M, 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E C M D入 B 图3 由三角板可得AC=AB,∠CAB=∠EDF=∠M=90°， ∴.∠CAD=∠ABM=90°-∠BAD, △CAD≌△BAM(AAS) .AD=BM AD=6, ∴.AD=BM=6, Sm-40BM6x6=18(a0分 717 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本大题有4个小题，每小题3分，共12分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共64分。其中：17题6分，18-19每题7分，20-22每题8分，23-24每题10分。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（7分） 19．（7分） 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.A][BJ[C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][BJ[C][D] 12.A][B][C][D] 二、填空题：本大题有4个小题，每小题3分，共12分。 13. 14. 15. 16 三、解答题：本题共8小题，共64分。其中：17题6分，18-19每题7分，20-22每题8分，23-24每 题10分。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) N B DM C 19.（7分> D 20.(8分) A B 21.(8分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 凤1 图2 23.(10分) 图 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) C 3 ◇X2 dH E D 图1 GD M A 图2 E C B A 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！