精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年第一学期初二年级12月联合学情检测 数学试卷 时间90分钟 总分：100分 一．选择题（每小题3分，共36分，将每题唯一正确答案填涂在答题卡上） 1. 若是分式，则可以是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 3. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A. B. C. D. 4. 等腰三角形底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 5. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 6. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（ ） A. ③②① B. ①③② C. ②③① D. ③①② 8. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为12，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙的作图均正确 B. 甲、乙的作图均不正确 C. 只有甲的作图正确 D. 只有乙的作图正确 10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 11. 已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 54 B. 90 C. 108 D. 216 12. 如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二．填空题（每小题2分，共8分） 13. 如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则__________． 14. 一个等边三角形的边长是2，面积是__________． 15. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 16. 如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 三．解答题（共56分，将解答过程写在答题卡相应区域） 17. 计算、解方程： （1） （2） （3） 18. 如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． （1）在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． （2）请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与成轴对称的格点． （3）请在图3中画出绕点顺时针旋转后得到的格点． 19. 如图，等腰直角三角尺△ABC与30°三角尺△ABD斜边AB重合，O为AB的中点，连接DC． （1）判断△OCD的形状； （2）求∠COD度数； （3）若CO＝2，求△OCD的面积． 20. 如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D） 22. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 23. 如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 24. 如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期初二年级12月联合学情检测 数学试卷 时间90分钟 总分：100分 一．选择题（每小题3分，共36分，将每题唯一正确答案填涂在答题卡上） 1. 若是分式，则可以是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若为两个整式，且B中含有字母，那么就叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，可以是． 2. 一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要时间是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】B 【解析】 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 3. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 4. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 5. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增大，则减小， 故选：A． 6. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 7. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（ ） A. ③②① B. ①③② C. ②③① D. ③①② 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，据此可得答案． 【详解】解：反证法中第一步先假设结论不成立，即第一步为假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设， 第二步是推出矛盾，即推出假设不成立，即第二步为，这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 第三步为所以一个三角形中不能有两个直角 故正确的顺序为③①②． 8. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为12，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，连接，，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形面积公式求出，再根据线段的垂直平分线的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵D为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ， 由作图可知，垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 故选：D． 9. 已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙的作图均正确 B. 甲、乙的作图均不正确 C. 只有甲的作图正确 D. 只有乙的作图正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 对于甲同学的作图，利用作图痕迹得，则可计算出，于是可判断甲同学的作图正确；对于乙同学的作图，利用作图痕迹得平分，由于，所以，所以，从而可判断乙同学的作图不正确． 【详解】解：对于甲同学的作图： 由作图痕迹得， ， ， ， ∴甲同学的作图正确； 对于乙同学的作图：由作图痕迹得平分， ， ， ， ， ， ∴乙同学的作图不正确． 故选：C． 10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 11. 已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 54 B. 90 C. 108 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键； 设，利用勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得 ， 设， ， ， 在，， 由勾股定理， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 12. 如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，判断出②正确，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得到，判断出④正确；判断出为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得，得到，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断出③正确；求出，即为，再根据计算即可得解，从而判断出⑥正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，（故①正确）； ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（故②正确）； ， ∵， ∴， ∴， ∴，（故④正确）； ∵，， ∴为等边三角形，（故⑤正确）； ∴， ∴， ∴，（故③正确）； ∵， ∴， ∴， ∴，（故⑥正确）； 综上所述，结论正确的是①②③④⑤⑥共6个．故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握各性质与判定方法是解题的关键，难点在于需要多次证明三角形全等． 二．填空题（每小题2分，共8分） 13. 如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 14. 一个等边三角形的边长是2，面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】作等边三角形一边上的高，利用等边三角形三线合一得到底边一半的长度，再由勾股定理求出高，最后代入三角形面积公式计算得到面积． 【详解】解：设边长为的等边三角形为，过点作，垂足为， 是等边三角形， . ，由等边三角形三线合一可得， . 在中，根据勾股定理得： ， 的面积． 15. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 【答案】64 【解析】 【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题； 【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F． ∵AB//EF，AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠AEF＝90°， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10（cm）， ∵AE//PC， ∴∠PCA＝∠CAE＝30°， ∴CE＝AC•sin30°＝27（cm）， 同法可得DF＝27（cm）， ∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm）， 故答案为64． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 16. 如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 【答案】4或12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行讨论，根据题意表示出线段的长度，根据线段相等列出方程求解即可． 【详解】解：①当点在点左侧时，，等腰三角形， 此时，， 解得； ②当点在点右侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ③当点在点右侧时，，是等腰三角形，且， ∴是等边三角形，即， 此时，， 解得； 综上，当或时，是等腰三角形， 故答案为：4或12． 三．解答题（共56分，将解答过程写在答题卡相应区域） 17. 计算、解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先算二次根式乘除，再算加减； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算即可； （3）先去分母化成整式方程，再解整式方程，最后检验． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 小问3详解】 解：方程两边乘以得， 解得， 检验，当时， 原分式方程的解为． 18. 如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． （1）在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． （2）请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与成轴对称的格点． （3）请在图3中画出绕点顺时针旋转后得到的格点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用轴对称、旋转设计图案，掌握轴对称图形、旋转图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的概念可得其对称轴； （2）根据对称图形关于某直线对称，找出对称轴，对称轴确定，根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形； （）根据旋转图形性质，找出、绕点顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形； 【小问1详解】 解：如图1所示，直线（对角线）即为所求． 【小问2详解】 解：如图2所示，即为所求． 【小问3详解】 解：如图3所示，即为所求． 19. 如图，等腰直角三角尺△ABC与30°三角尺△ABD斜边AB重合，O为AB的中点，连接DC． （1）判断△OCD的形状； （2）求∠COD的度数； （3）若CO＝2，求△OCD的面积． 【答案】（1）△OCD为等腰三角形；（2）∠COD=150°；（3）△OCD的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可判断△OCD的形状； （2）可证明△AOD是等边三角形，且CO⊥AB，即可求解； （3）过点C作CG⊥DO并交DO延长线于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵△ABC和△ABD都是直角三角形且斜边AB重合，O为AB的中点， ∴OC=OD=AB， ∴△OCD为等腰三角形； （2）等腰直角△ABC中，AC=BC，O为AB的中点， ∴CO⊥AB，即∠AOC=90°， 直角△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=60°， 由（1）OD=AB=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+60°=150°； （3）过点C作CG⊥DO并交DO延长线于点G， 则∠COG=180°-∠COD=30°，OC=OD=2， ∴CG=OC =1， ∴△OCD的面积=ODCG=． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 20. 如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，由角平分线的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D） 【答案】（1） （2）秋千绳的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，关键是正确理解题意，表示出，的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可． （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 在中， ， ， 点表示的数是； 【小问2详解】 设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 22. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用长加宽乘以2即可求解； （2）将大矩形面积减去阴影面积即可求解． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为：； 【小问2详解】 种植青菜部分的面积为： ． 答：种植青菜部分的面积是． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． 23. 如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】（1）公路与垂直，计算见解析 （2）818万元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． 【小问2详解】 解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 24. 如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $