高一数学上学期第一次月考（人教B版必修第一册第一章～第二章，高效培优）

**基本信息** 立足高一数学必修一集合与不等式模块，以潭柘寺文旅、动物园虎笼设计等真实情境及“性质P”创新问题构建梯度化命题，强化数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、充要条件、不等式性质|单选3题结合文旅情境考查不等关系，多选11题关联一元二次不等式解集与参数最值| |填空题|3/15|集合补集、命题真假、基本不等式|14题以正实数条件求代数式最小值，渗透运算能力| |解答题|5/77|集合综合运算、不等式应用、创新证明|17题虎笼设计三问递进考查面积与材料优化，体现数学建模；19题“性质P”证明考察抽象思维与逻辑推理|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式，可得，解得，即， 又由方程，解得或或，即，所以. 2．设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【答案】A 【解析】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 3．在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【解析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 4．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解分式不等式得， 而的解集为， 设集合，集合，可得是的真子集. 如果，一定能推出，充分性成立；如果不一定推出，必要性不成立， 由此可知，“”是“”的充分而不必要条件. 5．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 6．已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】C 【解析】由题意可得，且（）为非负偶数， 又，故⫋. 7．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【解析】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 8．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可知：是的真子集， 在A选项中：取，满足即，同时，即， 因此存在且，该命题为真； 在B选项中：对任意都满足，必然满足即， 不存在且的情况，该命题为假； 在C选项中：取，同时，并非所有都不属于，该命题为假； 在D选项中：对任意，都有，因此必然属于，该命题为真. 10．(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】ABD 【解析】对于二次函数，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为且； 当，即或时， 不等式的解集为或. 11．已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知全集，集合，，则集合________. 【答案】 【解析】因为集合， 所以， 又因为,则． 13．已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】，，∴， 所以实数的取值范围是. 14．若x，y是正实数，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设全集，，，求： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）由题意得，所以或. （2），所以. （3），，所以. （4）或. 16．（15分） 设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17．（15分） 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【解析】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 19．（17分） 对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 【解析】（1）集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” （2）证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” （3）证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 3．在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 4．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 7．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 8．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 11．已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知全集，集合，，则集合________. 13．已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 14．若x，y是正实数，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设全集，，，求： (1) (2) (3) (4) 16．（15分） 设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C A C C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意得，所以或.（3分） （2），所以.（6分） （3），，所以.（9分） （4）或.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是．（7分） （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．（4分） （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．（9分） （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为．（4分） （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为；（6分） ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为；（8分） ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为．（10分） 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为．（12分） （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称），（15分） 故， 故.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” （5分） （2）证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” （11分） （3）证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $