第2章 特殊三角形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 浙教版初中数学特殊三角形单元培优卷，通过科技情境（如华为标志轴对称）、生活应用（工人检测横梁）及分层设计，覆盖轴对称、等腰/直角三角形性质与判定，适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形识别、三线合一应用、逆命题判断|结合科技企业标志（如华为），考查几何直观| |填空|6/18|轴对称性质、折叠问题、勾股定理应用|以折叠求角度（如第13题），体现空间观念| |解答|9/72|黄金三角形证明、网格作图、实际应用（快递投放）|设计动态几何探究（如第25题构造全等），发展推理能力与创新意识|

第2章 特殊三角形·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）人工智能正深刻改变着我们的生活，国内多家科技企业的品牌标志中蕴含着丰富的几何知识．观察下列人工智能科技企业的图案，其文字上方的图案属于轴对称图形的是（     ） A．字节跳动 B．华为 C．百度 D．科大讯飞 2．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 3．（25-26八年级下·广西玉林·期末）下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 4．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·新疆塔城·期末）以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 9．（25-26七年级下·山东烟台·期末）在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 13．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，，，是边上一点，与关于直线成轴对称，若，则_____；若，，则的面积为_____． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图在中，为中点，，交于，，，则的长为___________． 16．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 19．（6分）（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 20．（8分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中，画出关于直线对称的图形； (2)在图1中，若，则 ； (3)如图2，点是边上一点，请你在边上找一点，使． 21．（8分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 22．（9分）（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 23．（9分）（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 24．（10分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点、均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，使点在格点上． (2)在图2中作出等腰直角三角形，使点在格点上． (3)在图3中作出一个面积为5的正方形，使点、在格点上． 25．（10分）（25-26七年级下·四川达州·期末）在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足，连接、． (1)如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形·培优卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）人工智能正深刻改变着我们的生活，国内多家科技企业的品牌标志中蕴含着丰富的几何知识．观察下列人工智能科技企业的图案，其文字上方的图案属于轴对称图形的是（     ） A．字节跳动 B．华为 C．百度 D．科大讯飞 【答案】B 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 2．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期末）下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据初中几何相关性质判定逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，该逆命题是真命题，不符合要求； B、原命题的逆命题为：等边三角形的三个角都是，该逆命题是真命题，不符合要求； C、原命题的逆命题为：三个角分别对应相等的两个三角形全等， ∵三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等， ∴该逆命题是假命题，符合要求； D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，不符合要求． 4．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·新疆塔城·期末）以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，∵，，，∴不能组成直角三角形． 对选项B，∵，，，∴不能组成直角三角形． 对选项C，∵，，，∴不能组成直角三角形． 对选项D，∵，，，∴能组成直角三角形． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 9．（25-26七年级下·山东烟台·期末）在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】 作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出，的长，故，据此即可求解． 【详解】解：作，使得，连接交于点，连接，如图所示， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 的最小值为10． 10．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【答案】 【详解】解：根据对称的性质可得，，， 则五边形的周长为． 13．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，，，是边上一点，与关于直线成轴对称，若，则_____；若，，则的面积为_____． 【答案】 /60度 / 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，等腰三角形的判断，三角形面积计算，先根据三角形内角和定理求出，根据折叠得出，求出；证明，得出，求出，根据，求出三角形面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图在中，为中点，，交于，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据题意列式计算即可． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点， 为中点，， ， ，， ， ，， ， ∵ ∴， ， 同理可得：， ， 解得：， ， 故答案为：12． 16．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质得出是解（2）的关键． （1）由等边对等角可知，由线段垂直平分线的性质可知，进而可求的周长； （2）由可知，由外角性质可得，由可证，然后利用三角形内角和等于列式求解即可． 【详解】（1）解： 中，， ， 垂直平分， ， 又 ， 的周长为： ． （2）解： ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ，   ， ． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（6分）（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）取的中点连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）证明：如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 20．（8分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中，画出关于直线对称的图形； (2)在图1中，若，则 ； (3)如图2，点是边上一点，请你在边上找一点，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）根据轴对称的性质结合题意，可得，得出是等边三角形，进而即可求解； （3）连接交对称轴于点，连接并延长交于点，根据对称性可得，结合，可得，即可证明，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：∵，与关于直线对称 ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）略 21．（8分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（9分）（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 23．（9分）（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 24．（10分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点、均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，使点在格点上． (2)在图2中作出等腰直角三角形，使点在格点上． (3)在图3中作出一个面积为5的正方形，使点、在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了使用无刻度的直尺作图，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）由可得，故，故即为所求； （2）根据勾股定理可得，，则，，故为等腰直角三角形； （3）由勾股定理可得，若连接，则，那么，则，此时正方形的面积等于． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一） （2）解：如图2，即为所求； （3）解：如图3，正方形即为所求； 25．（10分）（25-26七年级下·四川达州·期末）在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足，连接、． (1)如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①如图所示； ②， 证明：如下图所示，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 由， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， 由， ， ， 又， ． (2)或． 【分析】本题解题关键在于作出正确的辅助线，构造全等三角形： （1）①根据题意补全图形即可；②延长至点，使得，连接，通过等边三角形的性质及全等三角形的判定证明出，从而得到； （2）辅助线作法与（1）相同，①点在直线左下方，根据和的数量关系仍成立，可证明，故，再根据等腰三角形的性质和周角是求出； ②点在直线右下方，仍可证明，故，故． 【详解】（1）略 （2）解：①点在直线左下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与（1）相同，可证明，， ， ， ，， ， 和的数量关系仍成立， ， 在和中， 由， ， ， ． ②点在直线右下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与①相同，可证明， ， 且， ， 综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $