第一章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元卷，以真实情境（如无人机路径、LED感应灯）和文化素材（荷花古诗）为载体，覆盖勾股定理应用、证明及逆定理，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|最短路径、图形规律、勾股定理证明|结合物流无人机（题1）、圆柱笔筒（题10）等科技情境，梯度设计基础到综合应用| |填空题|8题|半圆面积、折叠问题、勾股数规律|以“勾股树”规律（题18）、直六棱柱最短路径（题20）考查空间观念与推理意识| |解答题|5题|航海问题、网格作图、噪声影响|LED灯感应距离（题21）、台风撤离（题23）等实际问题，强化数学语言表达与模型意识|

第一章 勾股定理 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 2．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 3．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 4．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一个三角形与一个正方形有一条公共边，正方形面积为5cm2，三角形的另两条边(非公共边)长分别为2cm，1cm，则三角形为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定其形状 6．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 7．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 9．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 10．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是______． 14．如图，已知在中， ，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 15．已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为___________ 16．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 17．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 18．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式：________． 19．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 20．如图是一个直六棱柱，底面边长均为，侧棱，有一只蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为___________． 三、解答题 21．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？ 22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． (1)画出ABC关于直线MN对称的A1B1C1； (2)求AB1C的面积； (3)试判断ABC的形状并说明理由． 23．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 24．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度． 25．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B A C A B A C A B C 1．【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：B ． 4．【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据正方形的面积可以求出三角形的第三边长的平方，结合勾股定理的逆定理，进行判断即可． 【详解】解：设三角形的三边长分别为a、b、c，如图所示： 根据题意可知，，，， ∵， ∴三角形为直角三角形，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 6．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则三角形是直角三角形． 根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，即可得出答案． 【详解】正方形小方格边长为1， ，， ， 网格中的是直角三角形 故选A． 7．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 8．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，可知铅笔在外面部分的取值范围，再判断答案即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 此时铅笔外面得长度为． ∵斜放得铅笔底端放的位置不同， ∴， ∴铅笔在外面部分的取值范围为， ∵， ∴这支铅笔在笔筒外面的部分长度不可能是4cm． 故选：A． 11．【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 12．【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可. 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理的知识计算图形的面积是解题的关键. 15．【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每条边的长度，又因为，得出这个三角形是直角三角形，结合等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形三边之比为，周长为， ∴，，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积， 则最长边上的高， ∴这个三角形的最长边上的高为， 故答案为： 16．【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 17．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 18．【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 19．【答案】 80 12 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．【答案】 【知识点】几何体展开图的认识、最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，运用转化思想是解题关键． 将直六棱柱的侧面展开为平面图形，使用勾股定理计算即可． 【详解】解：直六棱柱的侧面展开图如图所示， 由题意可知，，， 由勾股定理得，， 根据“两点之间，线段最短”可知，蚂蚁沿着爬行时，路径最短， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 21．【答案】当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过人的头顶点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝90°， 由题意可知，CD＝BE＝1.5m，AB＝4.5m， 在Rt△ACE中，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3，AC＝5， 由勾股定理，得， ∴CE＝4（m）． ∴当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 22．【答案】(1)见解析 (2)7 (3)直角三角形，见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、画轴对称图形 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的面积等于三角形所在的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，再根据勾股定理逆定理解答． 【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示； ， （2）解：△AB1C的面积=4×4-×1×4-×2×3-×2×4 =16-2-3-4 =16-9 =7； ， （3）解：由勾股定理得，AB=， BC==5，AC==， ∵AB2+AC2=（）2+（）2=25=52， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键． 23．【答案】(1)6小时 (2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； （2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 24．【答案】海里/小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解；先根据勾股定理求出的长度，再根据路程时间关系求出速度即可． 【详解】解：在，，，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得， （海里/小时） 答：该船的行驶速度为海里/小时． 25．【答案】千米 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $