精品解析：辽宁省鞍山市部分普通高中2026-2027学年高三上学期9月一模学情调研数学试题

2026-2027学年度上学期高三9月一模学情调研 数学试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卡和答题纸． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，其虚部为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 则 3. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（    ） A. B. C. 7 D. 21 【答案】A 【解析】 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 4. 已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 5. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 则，即，解得，则， 故圆台体积为：． 6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A. 18种 B. 27种 C. 36种 D. 54种 【答案】A 【解析】 【分析】先将6张卡片分为3组，再将3组不同卡片放入3个不同的信封即可. 【详解】6张卡片平均分成3组且1，2的卡片同组有种方法， 再将3组卡片放入3个不同的信封中有种方法， 所以将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中， 若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种方法. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两角差的余弦公式及条件可得，进而可得两角和的余弦值，再结合二倍角公式可得. 【详解】因为，，所以. 所以， 所以. 因此. 8. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对AB选项可通过作差比较法及不等式性质判断可得，对C选项可通过作商比较法及指数函数的性质判断可得，对D选项则通过特殊值法判断可得. 【详解】选项A：对两式作差得， 由，得，，所以，即，A正确； 选项B：对两式作差得， 由，得，又， 所以，即，B正确； 选项C：因为，所以， 对两式作商得， 由得，由得，因为函数在上单调递增， 所以，即，C正确； 选项D：取特殊值，左边，右边， 此时，不满足大于关系，D错误. 10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，下列说法中正确的有（ ） A. B. 数列是首项为2，公差为4的等差数列 C. 是公比为4的等比数列 D. 对任意正整数均成立 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数列是首项为1，公差为2的等差数列，得，故A正确； 对于B，由，得，即当时，首项，公差， 数列是首项为3，公差为4的等差数列，故B错误； 对于C，由，得，则公比， 数列是公比为4的等比数列，故C正确； 对于D，由，得， ； 由数列是等差数列，得， ，得，故D正确. 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正三角形边长和对称性即可分析判断A；设，结合和代数运算即可求解判断B；先结合B令求出点，接着由A即可得到直线与圆相切判断C；设，以为直径的圆圆心为G，利用中点坐标公式和焦半径公式结合求出即可由焦半径公式得解判断D. 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为， 对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正实数，，成等比数列，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为正实数成等比数列，所以， 解得或，因为，所以． 13. 已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【答案】直线 【解析】 【详解】将变形为． 等式左侧表示动点到定点的距离； 等式右侧，即，可理解为动点到定直线的距离． 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹是经过点与该直线垂直的直线． 14. 已知函数若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，结合图形得到，进行对数运算求得，，最后利用指数函数的单调性求出结果． 【详解】作出函数的图象如下所示： 若方程有三个不同的实根，，，则必有． 因为，所以，则，得， 所以，则． 因为，所以，所以，所以， 所以故所求取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将中的角都化为边，再结合余弦定理表示出，结合是锐角三角形，即可求得角的大小； （2）利用正弦定理，将用含角的代数式表示出，再结合角的范围即可求出的取值范围． 【小问1详解】 已知，由正弦定理，可得， 去分母，得，即． 由余弦定理，可得． 因为在锐角中，，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得 ． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得． 所以，则，故． 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 2026年大学毕业生预计约1270万人，同比增加48万人，就业压力剧增．甲、乙两名大学生去一家大型国有企业应聘，需通过笔试和面试两个环节才可以顺利签约．已知规则如下：笔试环节共有A、B、C三道题，回答正确两道及以上方可通过笔试，甲、乙两名大学生只有一次机会，已知甲答对A、B、C三道题的概率分别是、、，乙答对A、B、C三道题的概率均为，笔试通过后才可以参加面试．面试要回答D、E两道题，全部答对方可通过面试环节，已知甲、乙两名同学面试环节回答D、E两个问题正确的概率均为（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （1）求甲同学此次应聘顺利签约的概率； （2）设经过此次应聘，甲、乙两名同学最终签约的总人数为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） 分布列 0 1 2 期望 【解析】 【分析】（1）先求出甲笔试通过的概率，再求出甲面试通过的概率，因两个环节是相互独立的，所以两个概率的乘积即为甲签约的概率； （2）先分别求出甲、乙各自签约的概率，利用独立事件概率公式，分别计算变量取每个值对应的概率，写出分布列；再根据期望公式计算期望即可. 【小问1详解】 甲答对2题概率为： ， 甲答对3题概率为：， 则甲笔试通过的概率， 面试通过的概率， 所以，甲签约概率； 【小问2详解】 乙笔试：每题正确概率，需答对至少2题， 则乙笔试通过的概率， 乙面试通过概率为， 所以，乙签约概率， 由（1）知甲签约概率. 记为签约人数，的可能取值为， 则， ，， 则分布列为： 0 1 2 因此，期望. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到标准方程；（2）①设出的坐标，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理代入计算，即可求得；②由弦长公式以及点到直线的距离公式表示出三角形的面积，再由基本不等式即可求得其最大值以及直线的方程. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则． 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以 ，所以，， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 ①设，，联立， 消去得， ，化简得， 所以，， 又的斜率，的斜率， 所以，化简得 ， 所以．又因为，即，又，所以 ②由①得，直线的方程为，且，， 又，所以．所以 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时， 的面积最大，所以，直线的方程为 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证，只需证． 因为存在两个变号零点，，所以， 得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，，且在上单调递减， 则，所以， 又因为在上单调递增，所以， 故． 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义求出函数在点处切线的斜率，再由直线的点斜式，即可求解； （2）（i）根据条件，将问题转化成存在两个变号零点，，利用导数，分和两种情况，分别求出函数的单调区间，再结合条件，即可求解；（ii）利用（i）中结果，结合条件可得，从而将问题转化成证明，构造及，，利用导数与函数单调性间的关系可得，再由的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，所以， 又，故函数在点处切线方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，恒成立，令， 由题知存在两个极值点，，等价于存在两个变号零点，． 因为，则当时，，单调递增，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 由题意得，解得， 当时，因为，， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 令，则，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，，所以， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 综上所述，实数的取值范围为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高三9月一模学情调研 数学试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卡和答题纸． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（    ） A. B. C. 7 D. 21 4. 已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A. 18种 B. 27种 C. 36种 D. 54种 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，下列说法中正确的有（ ） A. B. 数列是首项为2，公差为4的等差数列 C. 是公比为4的等比数列 D. 对任意正整数均成立 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正实数，，成等比数列，则的值为__________. 13. 已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 14. 已知函数若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2026年大学毕业生预计约1270万人，同比增加48万人，就业压力剧增．甲、乙两名大学生去一家大型国有企业应聘，需通过笔试和面试两个环节才可以顺利签约．已知规则如下：笔试环节共有A、B、C三道题，回答正确两道及以上方可通过笔试，甲、乙两名大学生只有一次机会，已知甲答对A、B、C三道题的概率分别是、、，乙答对A、B、C三道题的概率均为，笔试通过后才可以参加面试．面试要回答D、E两道题，全部答对方可通过面试环节，已知甲、乙两名同学面试环节回答D、E两个问题正确的概率均为（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （1）求甲同学此次应聘顺利签约的概率； （2）设经过此次应聘，甲、乙两名同学最终签约的总人数为，求的分布列和期望． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $