精品解析：辽宁省沈阳市2025-2026学年高三教学质量监测（一）数学试题

2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一） 数学 命题：沈阳市第一二○中学 潘戈 沈阳市第四中学 张大海 东北育才学校 徐滨滨 主审：沈阳市教育研究院 王孝宇 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解. 【详解】由题意得，，又则， 因为，所以， 故选：A. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即，即，且 ，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4. 样本数据的第70百分位数次为（ ） A. 7 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用第百分位数的定义即可求解. 【详解】 数据的第70百分位数为10． 故选：D． 5. 抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为 ，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 6. 若函数是且 的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且 的反函数， 所以 且 ， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 7. 已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆内过定点的最长弦是直径，最短的弦是与最长弦垂直的弦. 【详解】圆的标准方程：5 由题意可得：最长弦为直径： 最短的弦是 则四边形ABCD的面积为 故选D 【点睛】本题考查圆中弦长相关的知识，解题中关键是找到过定点的最长弦与最短弦，且能分析出这两条弦是相互垂直的，这样可以为后面计算四边形面积提供简便算法. 8. 如果方程 能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程 中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则函数的最小值为3 B. 若 ，则的最小值为 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式求解判断选项ABD，利用“1”的代换技巧求解最值判断C. 【详解】对于A，∵ ，∴， ∴， 当且仅当，即时，取得最大值 ，故A错误； 对于B，， 当且仅当， 时，取到最小值为，故B正确； 对于C， . 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，当，且时，，∴， 当且仅当，取最大值，故D正确. 故选：BCD 10. 已知事件 满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为 ，则，所以，故A错误， 对于选项B，因为与互斥，则，所以B正确， 对于选项C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确， 对于选项D，因为与相互独立，则与相互独立，又， 所以，故D错误， 故选：BC. 11. 已知数列的前项和为，若 ，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，代值计算可得的值，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；当时，放缩得出，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为数列的前项和为，且 ，， 则，所以， 且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，故， 所以，B错； 对于C选项， 对任意的恒成立，所以，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角的对边分别为，若且，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角形内角和的性质推出角 ，再利用正弦定理化简并求解． 【详解】三角形内角和， ， ， ，故， C是三角形内角，，故，则， ， ， 根据正弦定理得， ， ． 故答案为：4． 13. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 14. 已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为， ， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在 中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为 ，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和通项公式可求，利用等比数列的基本量运算可求； （2）先求，利用错位相减法可求. 【小问1详解】 因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64， 所以，解得，所以； 数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则， 因为 ，，所以，解得 或（舍）， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则，可得， 两式相减可得 ， 所以. 16. 且 （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）说明函数 的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】（1） （2） （3）把 的图象上所有点向右平移个单位得到 的图象； 再把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象 ， 再把 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到 . 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程. 【小问1详解】 根据题意知 ， 根据正弦函数的周期公式 ， 所以 最小正周期为. 【小问2详解】 根据“左加右减”的原则，可得 ， 已知，则 ， 当时， 取最大值，最大值为， 当时， 取最小值，最小值为 ， 所以当时，函数的值域为 【小问3详解】 略 17. 如图，四棱锥 的底面是菱形， 平面，为的中点. （1）证明： 平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE， 因为是的中点，所以 ， 又平面， 平面， 所以平面， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，可得，由线面平行的判定定理可证结论； （2）利用，且三棱锥与三棱锥同底面积，三棱锥的高是三棱锥的高的二倍 （3）以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，且三棱锥与三棱锥底面积相同， 三棱锥的高是三棱锥的高的二倍， 【小问3详解】 存在点F，使得二面角的正弦值为． 因为底面是菱形， 底面，与平面， 所以 ， ，， 故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，，， 故，，， 设，， 则，． 设平面的法向量为， 则，， 则 ，令，则，故， 设平面BDF的法向量为， 则，即， 则 ，令得，故， 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为， 令， 化简得，解得或． 因为，所以或． 18. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求 面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）直线MN过的定点为.（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）设直线为，直线为，联立方程组，分别求得和，得出直线MN的方程，进而得到MN过的定点. （ⅱ）由MN过的定点为，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆的离心率，且过点， 可得且，解得 ， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知，椭圆 ，可得， 设直线的方程为，的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 所以，， 因为为的中点，所以，， 即，同理可得， 直线MN的方程为，即， 所以直线MN过的定点为. （ⅱ）由MN过的定点为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以 的面积最大值为. 【点睛】 19. 已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. （1）若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； （2）现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； （3）从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合为奇数时，求得的值，得到答案； （2）根据题意，得到生成的函数为，求得，得到的值，再由期望和方差的公式，求得的值，即可求解； （3）得出变量的可能取值为 ，求得相应的概率，得到函数，求得，令，求得，得到函数单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【小问1详解】 解：由变量生成的函数为， 可得， 所以， 所以当为奇数时，可得. 【小问2详解】 证明：由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率， 故，即，所以， 所以生成的函数为， 可得，则， 所以， 因为， 所以，故， 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 解：由方程的自然数中等可能地随机选取一组解， 可得有序三元组的总数的组合数为种， 由随机变量，所以随机变量的可能取值为 ， 当时，即数组中，有1个0或2个0，可得； 当时，即数组中，有1个1或2个1，可得； 当时，即数组中，有1个2或2个2，可得； 当时，即数组中，三个数都是3，可得， 则变量的分布列为 0 1 2 3 所以，可得， 则，令 ，即，解得 ， 所以当 时，单调递减；当时，单调递增， 所以，当 是函数的极小值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一） 数学 命题：沈阳市第一二○中学 潘戈 沈阳市第四中学 张大海 东北育才学校 徐滨滨 主审：沈阳市教育研究院 王孝宇 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据的第70百分位数次为（ ） A. 7 B. 9 C. 9.5 D. 10 5. 抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 若函数是且 的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 7. 已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 8. 如果方程 能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程 中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则函数的最小值为3 B. 若 ，则的最小值为 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则 10. 已知事件 满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 11. 已知数列的前项和为，若 ，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在 中，角的对边分别为，若且，则__________． 13. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 14. 已知球 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球 与该正四棱台的体积之比为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 且 （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）说明函数 的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 17. 如图，四棱锥 的底面是菱形， 平面，为的中点. （1）证明： 平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点 ，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求 面积的最大值. 19. 已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. （1）若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； （2）现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； （3）从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $