辽宁大连市第二十四中学2027届高三年级上学期摸底考试数学试卷

大连市第二十四中学高三年级摸底考试高三数学答案 1-8 BBDCB ACC 9.ACD 10.BC 11.ABD 12.3 13.2a2-4a+2 141+ 2 log。2+b=5 15.（1)由已知得 l0g8+b=7′3分 消去b得log。8-log2=log.4=2,即a2=4,又a>0,a≠1，解得a=2,b=4.5分 （2)由(1)知函数f(x)的解析式为f(x)=log2x+4.g(x)=4-22. 当x∈[l,4时，函数f(x)=l0g2x+4单调递增，其值域为A=[4,6;7分 令2*=t,当x∈[0，log25]时，t∈[1,5]，于是g(x)=4-2+2=12-41=(t-2}2-4∈[4,5] 设函数h(x)=g(x)+m,则函数h(x)的值域为B=[4+m,5+m,10 分 5+m26 根据条件知A二B,于是 -4+m≤4，解得1≤m≤8.所以实数m的取值范国l,8…13分 16.(1)由题意得S=aG+a+a+..+a,所以S2-1=a+a+a+.+a1(n≥2)， 两式相减，可得S-S2=G,即a(Sn+Sn1)=. .3分 :数列{a}的各项均为正数，∴.Sn+Sn-1=q(n≥2)，.Sn-1+Sm-2=a-1(n≥3)， 两式相减得a.+4-1=G.-aG1(n≥3)，由数列{a}的各项均为正数，知a-a-1=1(n≥3)...6分 由S=G=G,4>0,.4=1,由S号=(4+a2)=c4+a,a>0,解得a=2, 于是a4-a-1=1(n≥2)，从而数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，故a.=n...8分 2a(n-craa-(r-(w中 亚=1与背(r）1 22'334 n+1 15分 17.(1)已知函数f(x)=x3-2ax2-am+b,a,beR, 当a=b=1时，f(x)=x3-2x2-x+1,,f'(x)=3x2-4x-1,3分 由于f(1)=-1,所以切点为(1，-1)，切线斜率k=f'(1)=-2,因此切线方程为 y-(←1)=(-2)(x-1),化简得y=-2x+1.6分 (2)已知函数f(x)=x3-22-+b,a,b∈R, 则f'(x)=3x2-4ax-a,由于对任意的x,x2∈[0，e],且>2， 恒有f'(x)-∫'(x2）<2e-2e,移项得f'(x)-2e<f'(x2)-2e,.8分 构造函数g(x)=f'(x)-2e,上述条件等价于对任意的x,x2∈[0，©，且x>x2,恒有g(x)<g(x2), 即g(x)在[0，©]上单调递减，则其导数g(x)≤0在[0，e]上恒成立，10分 由于g(x)=3x2-4ax-a-2e,g'(x)=6x-4a-2e*, 当g(x)≤0时，4a≥6x-2e*,所以4a大于等于6x-2e*的最大值，12分 令h(x)=6x-2e,(x)=6-2e,令h(x)=0,解得x=ln3∈[0，e], 当x∈[0，ln3)时，(x)>0,所以h(x)在[0，n3)单调递增： 当x∈(n3,e时，(x)<0,所以h(x)在(n3,e单调递减； 因此h(x)在x=ln3处取最大值，最大值为h(ln3)=6n3-2e3=6ln3-6, 所以4≥63-6，海之3n3,所以的取值范图为[血3，+-15分 3n3-3 18.（1)f(x)=x-(n2+3a)+3n2a, ，.1-x-6r+3a)x+3na-x-0x-302,…1分 当n2=30,时，f(x)20,f(x)在(0，+oo)单调递增，无极小值点2分 当n2>3a,时，f(x)在(0,3a)单调递增，(3a,n)单调递减，(n,+o)单调递增，所以 a+1=n,3分 当3an>n时，fn(x)在(0，n)单调递增，(n,3a)单调递减，(34，+oo)单调递增，所以 C0+1=301,4分 综上，a+1=max{n2,3a}, a=1,a,=max{1,3a}=3,a=max{22,3a}=9,下证如果从第k项(k≥2)开始，如果满足 ax+1=3a,则之后的所有项都满足a+1=30,(n≥k),因为a+1=3a.,所以3>k2,因为 ax+2=1max{(k+1)2,3+},因为3041=3-3a>32,而3k2-(k+1)2=2k2-2k-1,当k≥2时， 2k2-2-1>0,所以k42=3ak1,以此类推，所有的a+1=3,所以a,=3-1…8分 (2)法一：{a}是等比数列，若Vn∈N,a1=n2,{a}不可能是等比数列，则{a}中一定至少 存在一项满足4，+1=3a,设n是满足4+1=3a,的第一项，如果n,≥2，由（1)的证明可知，从该项 往后，即n≥h,,均满足a+1=3a,要想{a}是等比数列，该数列的公比必为3，要想从第一项开 始，成等比数列，a=a4,=3a=3a,因为a=max{3,l},所以3a>1a>34=3a=9因 为4=max3a,4},所以9a>4,a>号，根据(1)可知，之后的所有项-定都满足a=3a: 所以{4，}是等比数列。.17分 法二：使{a}是等比数列的充分条件是4+1=3a,则a,=a3-1,因为3a,>n恒成立，所以 3a=a-3即a3>恒成立，即a>恒成立，设么，，所以a>色m,不纺设 b2b妇m3P≥二 31 b.≥b+1 3è不+D,解得人=2，所议⑥)=b,=。,所以a>。没验证必要性可的情 3+1 扣分.17分 19.（1)f(x)在(0，+0)上单调递减.4分 ②f=。=2,所以h+D.红+D,即hr+D=k有两解5,3，…5分 +业x+D x+1 设1=x+1,片=X十1，石=光+1，即-k有两个解，6，要证>1.只需证 (4-4,-)>1,即证4>1+5，.7分 设g0'>),g0所脱以g0在认，e上单调递增e,+四上单调逆成》 8分 不妨设t1∈(1，e),t2∈(e,+o),因为 血=，两武相加可得，n4,=+),所以 Int =kt 巫=k,即血华=g),因为5+>，而，∈(e,+0）,g0在(e,+四上单调递减，所以 t+t t,+t, g6+)<g,即g+）<hg,所以话>+512分 +t1+t (3)令a,=+l=1+a+a,++a,=1+1+1++1+ 1 ++1+1 1 =n+S n 2 3 n 234n+1 ad=1'23 n =n+1, 由马+a++≥”Va4,…4,可得V+1≤”+8，即+少s+区，所以 1 n 1f(n)≤n+Sn17分大连市第二十四中学高三年级摸底考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合M={-2,-1,0,3,5},集合N={x-2<x<2,则M∩N= A.{-2,-1,0}B.{-1,0} C.-2,-1 D.{0y 2.命题“3x∈(0，+∞)，使x+上s2”的否定是 A.3x∈(0，+oo),使x+1>2 B.x∈(0，+∞)，使x+1>2 C.3x∈(-o,0),使x+1>2 D.xe(o0,使x+是>2 3.已知幂函数f(x)=(3m2+m-1)xm为偶函数，a=f(-2),b=f(©)，c=f),则 a,b,c的大小关系是 A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b 4.已知实数c<0<a<b,则下列不等式不成立的是 A.b≥g B.1+b>1+ac.9>9 b D. b-cb a a-c a 5.若a>0且a1,则函数f)=+是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 6.已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意实数少都有 fx+)=f()+f),若函数g(闪)=区+4+f因在定义域内的最大值为M,最 x2+16 小值为m,则M+m= A.2 B.0 C.1 D.4 高三年级数学科试卷第1页（共4页） 7.己知正实数x,y满足x-y+y=0,则y+4的最小值是 A.4 B.7 C.8 D.9 8.已知正实数x,y满足nx+ln(2y)=2x+y-2,则y-x'= A-2 D.1 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设Sn为等差数列{a}的前n项和，已知a4=4,S,=24,下列说法正确的是 A.数列{an}的公差为-2 B.a2与a5的等比中项为ag C.S,=-n2+11n D.当Sn取得最大值时，n=5或6 10.已知函数f(x)=√风+x-可，下列说法正确的是 A.fx-之是偶函数 B.f)在（子，1）上单调递减 C.f(x)=a有三个不等的实根，则a=√2 D.已知数列{x}是公差为1的等差数列，则函数在[xn,x+]上的平均变化率的最大值 为2 11.已知f(x)=x3+ax2+bx+c,对任意的xeR,都满足f1+x)+f1-x)=1,f'(x)是 f(x)的导函数，f'()=-2,则下列选项正确的是 Af网=-++号 B.若f(x)>3的解集是(，+∞)，则f(x)<-2的解集是(-∞，2-) c.fa-2+)< 高三年级数学科试卷第2页（共4页） 2 D.fx)的三个零点为，x,x,则)+s=-1 '(x)'(x2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则log?2x-[logx]-2=0的实根个 数为 13.已知a为常数且0<a<2,函数fx)=(e-a+(e-a}的最小值为 (结果用a表示) 14.已知定义在R的偶函数y=∫(x)满足∫(x+2)=1+√2f(x)-f2(x),则∫(2027)的 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=log。x+b(其中a,b均为常数，a>0且a≠1)的图象经过点(2,5) 与点(8,7) (1)求a,b的值： (2)设函数g(x)=b-a+2,若对任意的x∈，4]，存在x∈[0,1og25]，使得 f(x)=g(:)+m成立，求实数m的取值范围. 16.（15分) 已知正项数列{a}，Sn是{a}的前n项和，且满足Sn=√a3+a2+…+an (1)求{an}的通项公式： (2)数列{，}满足，=(-1)（色出1-），T,是{凸，}的前n项和，求T an an+l 17.(15分) 已知函数f(x)=x3-2ax2-x+b,a,b∈R. (1)若a=b=1,求曲线y=f(x)在点(L,f(I)处的切方程： (2)若对任意的x,x∈[0，e],且x>x2,恒有f(x)-∫()<2e-2e,求a的取值 范围 高三年级数学科试卷第3页（共4页） 3 18.（17分) 已知数列a,}是正项数列.a=a,人创=三-+3a,x+3na,h,01是 fn(x)的极小值点 (1)当a1=1时，求{an}的通项公式： (2)是否存在a,使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围：若不存在，请 说明理由. 19.(17分) 材料1.在现行的《数学分析》教材中，对初等函数给出了确切的定义，即由常数和基本 初等函数有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且在定义域上能用一个式子 表示的函数，如函数∫(x)=Q+x)(x>0),我们可以做变形： f=Q+对=e-e”=t=b红+少，所以函数内可以看作是由 ⊥n(x+) y=c和1=血x+复合而成的，即∫)=0+x(x>0)为初等函数. 材料2.对于n个正数a,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 4+a2++a≥"√aa2…an 结合材料： (1)直接写出f(x)的单调性： k(x+) (2)方程(x)=ex有两个解x1,x2,证明：xx2>1: (3)令3，=1+++…+，证明：时m≤n+S, 23 高三年级数学科试卷第4页（共页） 4