第三十章 直线与圆的位置关系 单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”单元复习，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合几何直观与推理能力，适配单元知识整合与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|位置关系判定、切线性质、正多边形与圆|结合几何图形（如第3题切线性质），基础概念辨析| |填空题|6/18|位置关系应用、切线条件、内切圆半径|联系生活情境（如第11题日出），文化素材（第9题勾股容圆）| |解答题|8/72|切线证明、内切圆计算、综合应用|突出推理能力（如第17题切线性质证明），融合跨知识点综合（如第24题内心与角度计算）|

第三十章 直线与圆的位置关系（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、的半径是，圆心到直线的距离为，则直线a与的公共点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2、已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 3、如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4、如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交的延长线于点F，G.连接，则等于（ ） A. B. C. D. 5、如图，为⊙O直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 4 6、下列说法中错误的是（    ） A．如图①，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是 B．如图②，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心 C．如图③，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要 D．如图④，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格是利用圆周角所对的弦是直径 7、如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 8、如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若△ABC的周长为21，边的长为6，则△ADE的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 9、勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 10、我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______． 12、在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 13、直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 14、如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点，不重合．若，则的度数为 ． 15、若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为______． 16、如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 18、如图，AB是的直径，点D在直径AB上，，，连接CB，与相交于点F，过点F作的切线EF，交CD于点E．求证：． 19、如图，△ABC内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．求证：与相切． 20、如图，△ABC的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 21、已知：如图，在△ABC中，，是中点，平分交于点，点是上一点，过、两点，交于点，交于点．求证：与相切． 22、如图，等腰内接于，点是线段上异于，的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 23、如图，△ABC内接于，为直径，平分交于点. (1)过点作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积. 24、追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在△ABC中，，，点是△ABC的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在△ABC中，，点是△ABC的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章 直线与圆的位置关系（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、⊙0的半径是3cm，圆心0到直线a的距离为5cm,则直线a与⊙0的公共，点个数是() A.0 B.1 C.2 D.1或2 【答案】A 【详解】解：⊙0的半径是3cm,圆心0到直线a的距离为5cm, .3<5 a⊙O ,即直线与相离，公共，点个数是0， 2、已知⊙0的半径3cm,直线1上有一，点到圆心O的距离为3cm,那么直线I与⊙0的位置关系是 () A.相切 B.相交 C.相离或相切 D.相切或相交 【答案】D 【详解】解：直线I上有一，点到圆心0的距离为3cm, “圆心0到直线'上的距高≤3cm, .⊙0 r=3cm 的半径 .d≤r 当d=r时，直线I与⊙0相切； 当d<r时，直线l与⊙0相交； 六直线与©0的位置关系是相切或相交. 1⊙0 3、如图，AB是OO的直径，点C为⊙O外一点，CA,CD分别与⊙O相切于，点A,点D,连接BD ,AD.若∠ACD=50°，则∠DBA的度数是() 0 B A.15 B.35° C.65 D.75° 【答案】C 【详解】解：CA、CD分别与⊙O相切于点A、D, .∠CAB=90°AC=CD .∠ACD=50° ∠CAD=∠CDA=1180°-∠ACD)=65° .∠DAB=90°-∠CAD=90°-65°=25° :AB⊙O 是的直径， ∠ADB=90° 4、如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画孤，分别交 4征的延长可点R,G造接CG,DG,则∠CGD学打(） D A.160 8170 C.180 019。 【答案】C 【详解】解：如图，连接AC,AD -2 B G 则∠CAD与∠CGD是⊙A上孤CD所对的圆心角和圆周角， ∠CAD=2LCGD, ∠CGD=I∠CAD ,:五边形ABCDE为正五边形 ∠B=∠BAE=180°x(5-2)_540 5 1080 在等腰△ABC中，AB=BC ∠BAC=180°-1080 =360 同理：∠EAD=36° ∴∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE=36 ,∠CGD=∠CaD=x36°=180 2 2 5、如图，BC为⊙O直径，弦AD L BC于，点E,直线1切⊙O于，点C,延长OD交1于点F,若 E=2,∠ABC=25°，则CF的长度为（) B D F A.2 8.2V2 c.25 D.4 【答案】B 【详解】解：BC为⊙0的直径，弦AD⊥BC于点E,AE=2,∠ABC=22.5°， AC-CD,AE-DE-2, —3 ∴.∠COD=2∠ABC=45°， △OED是等腰直角三角形， ∴.OE=ED=2, :.0D=V22+22=22 直线1切⊙0于点C, ∴.BC⊥CF, “△OCF是等腰直角三角形， ..CF=OC, 0C=0D=22, .CF=2W2, 6、下列说法中错误的是() 曲尺 X ① ② ③ ④ A.如图①，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY=0.5m,并且Y⊥WY,则这个油桶的底面半径 是0.5m B,如图②，CD所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具，最少使用3次就可以找到圆形工件 的圆心 C.如图③，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要123mm D.如图④，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格是利用90°圆周角所对的弦是直径 【答案】B 【详解】解：A、如图①，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY=0.5m,并且XY⊥WY,则这个油 4 桶的底面半径是0.5m,该选项说法正确，不合题意； B如图②，CD所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件 的圆心，该选项说法错误，符合题意； C、如图③，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要123mm,该选 项说法正确，不特合题意； D如图④，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格是利用90圆周角所对的弦是直径，该选项说 法正确，不合题意； 7、如图，，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是(） A.∠A=50°，∠C=40 B.∠B-∠C=∠A C.AB2+BC2=AC2 D.⊙A与AC的交，点是AC中点 【答案】D 【详解】解：A、∠A=50°，∠C=40°， ∴.∠B=180°-∠A-∠C=90°， .BC⊥AB, 点B在⊙A上， .AB是⊙A的半径， ∴.BC是⊙A切线； B、∠B-∠C=∠A, ∴.∠B=∠A+∠C, .∠A+∠B+∠C=180°， 5 .∠B=90°， .BC⊥AB, 点B在⊙A上， ∴.AB是⊙A的半径， .BC是⊙A切线； C、AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形，∠B=90°， ∴.BC⊥AB, 点B在⊙A上， AB是⊙A的半径， BC是⊙A切线； D、⊙A与AC的交点是AC中点， ∴AB=2AC,但不能证出∠B=90°， '.不能判定BC是⊙A切线； 8、如图为△ABC的内切圆，，点D,E分别为边AB,AC上的，点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的 周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为() B A.15 B.9 C.7.5 D.7 【答案】B 【详解】解：△ABC的周长为21，BC=6, 6 .AC+AB=21-6=15 设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为MN卫，切DE于P, .DM=DP,BN BM,CN=CO,EO=EP ∴.BM+CQ=BN+CN=BC=6 ..C.ADE AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE AD+DM+AE+EO =AB-BM+AC-CO =AC+AB-(BM+CO) =15-6=9 3 9、勾股容圆记裁于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研 究.刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形 (直角边分别为a,b,斜边为c)沿其内内切圆心与顶点、切，点的连线裁开，拼成如图2所示的矩 形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d(用含a,b,C的 式子表示)为（) a 图1 图2 ab A d=2ab d-、ab d= d-、2c a+b+c B. a+b+c C. 2(a+b+c) D. a+b+c 【答案】A -ab 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为2， 图2所示的矩形面积为：2d(a+b+c),而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 1 2×d(a+b+c)=4×-ab 2 7 ..d=2ab a+b+c 10、我们将一个三角形内切圆的半径r与外接圆的半径R的比值叫做该三角形的“径比”，已知等 腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为() 6 12 1 1 A.25 B.25 C.2 D.4 【答案】B 【详解】解：如图所示，AD为等腰△ABC底边BC上的高，，点E为三角形的外心， E ■ D .R=AE=BE, 由三线合一和勾股定理得，AD=VAB2-BD2=V52-32=4, 又m-方ac4D-6x4=12 由勾服定理得BE=BD+DE2=9+(4-R=R R、25 解得8， 如图，，点F为△ABC的内心， H D .∴.r=FH=FI=FD 123 48+c+4C) 82 8 3 r23、82412 R252×255025 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 【答案】相交 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故答案为：相交 12、在下图中，AB是⊙0的直径，要使得直线AT是⊙0的切线，需要添加的一个条件是 ·(写一个条件即可) B 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ,∠ABT=∠ATB=45°， ∴.∠BAT=90, 又，AB是圆O的直径， .AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）. —9— 13、直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为· 【答案】1 【详解】解：设直角三角形的两直角边为ab，斜边为c,内切圆半径为「， 则：a=3,b=4、 由勾股定理，得：c=√a2+b2=5, ..r-atb-c=1 2 故直角三角形内切圆的半径为1， 故答案为：1. 14、如图，PA与⊙O相切于点A,PO与⊙0相交于点B,点C在AEB上，且与点A,B不重合. 若∠P=24°，则∠C的度数为 B 【答案】33° 【详解】解：PA与⊙0相切于，点A, .OA⊥AP, ∴.∠OAP=90° 在Rt△OAP中，∠P=24°， .∠A0P=90°-∠P=66°， AB=AB ∠4CB=∠40B=33° 2 -10 故答案为：33°. 15、若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为 【答案】2√2 【详解】解：如图，连接OA、OE，根据题意知OA=4, AB是小圆的切线， .OE⊥AB, 四边形ABCD是正方形， △AOE是等腰直角三角形，AE=OE, :在Rt△AOE中根据勾股定理得： AE2+OE2=OA2 .20E2=42,解得0E=2V2或0E=-2W2(舍去)， 故答案为：2√2 D B 16、如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4),以点C为圆心圆与y轴相切.点A、B在x轴 上，且OA=OB.点P为⊙C上的动，点，∠APB=90°，则AB长度的最大值为一 0 【答案】16 11 【详解】 解：连接OC并延长，交⊙C上一，点P,以O为圆心，以OP为半径作⊙0，交x轴于A、B, 此时OP最大 OP=14B 21 ,则AB的长度最大， .C(3,4) 0C=V32+42=5 ,以，点C为圆心的圆与y轴相切 .⊙C的半径为3， ..OP=OA=OB=8, ·AB是直径， ∠APB=90°， .AB长度的最大值为16， 故答案为16 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，射线PA,PB与⊙0相切，切，点分别为A,B,连接P0并延长，交⊙0于，点C,连接 AC BC AC=BC ,求证 12 【答案】见详解 【详解】证明：连接AB, A 射线PA,PB与O0相切，切，点分别为A,B, .PA=PB,PO平分∠APB, .PO垂直平分AB) PO的延长线交⊙0于，点C, ..AC=BC. l8、如图，AB是⊙O的直径，，点D在直径AB上，CD⊥AB,CD=AB,连接CB,与⊙O相交 于点F,过，点F作⊙O的切线EF,交CD于点E.求证：EF=EC. A D B 【答案】见详解 【详解】 连接OF, 13 ·EF是圆切线， OF⊥EF, :.∠BFO+LCFE=90°， ·CD⊥AB .∠B+∠C=90°， ...OB=OF, .∠B=∠BFO LCFE=ZC .EF=EC; D E B A 19、如图，△ABC内接于⊙O,AC是⊙0的直径，过OA上的，点P作PD⊥AC,交CB的延长线 于点D,交AB于点E,点F为DE的中，点，连接BF.求证：BF与⊙O相切. A 【答案】见详解 【详解】 证明：连接OB, AC是⊙0的直径， .∠ABC=∠ABD=90°， 点F为DE的中点， —14 .DF EF =FB. :.∠FEB=∠FBE, ,∠AEP=∠FEB, .∠FBE=∠AEP=∠FEB, ·PD⊥AC .∠APE=90° .∠A+∠AEP=90° ·OA=OB .∠A=∠ABO .∠ABO+∠FBE=90° ∠0BF=90° ·OB是⊙0的半径， .BF与⊙O相切. 20、如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且 4B=5cmBC=7cmCA=6cm,求4折BD,CE 长 D 【答案】AF=2cm,BD=3cm,EC=4cm 【详解】解：△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于，点D、E、F, ·AF=AE,BF=BD,CD=CE 设AF=AE=x,则BF=BD=5-x,EC=DC=6-x —15 根据题意得5-x+6-x=7, 解得；x=2cm, .AF=2cm,BD=5-x=5-2=3cm,EC=6-x=4cm .AF=2cm,BD=3cm,EC=4cm 21、已知：如图，在△ABC中，AB=BC,D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于，点E,点O 是AB上一，点，⊙O过B、E两，点，交BD于点G,交AB于点F.求证：AC与⊙O相切 D E G A B 【答案】见详解 【详解】 解：证明：连接OE D E G B 0 AB=BC D BC 且 是 中点， .BD⊥AC BE 平分<ABD .∠ABE=∠DBE —16 .OB=OE ∴.∠OBE=∠OEB ∴.∠OEB=∠DBE ∴.OE∥BD .OE⊥AC 4C5o0 相切； 22、如图，等腰Rt△ABC内接于⊙0，点D是线段OB上异于O,B的一点.连接CD并延长交 于点E,点P在1B的延长线上，PD=PE ⊙0 D BP (1)求证：PE是⊙0的切线； PB (2)若BD=3OD,求PE的值. 3 【答案】(1)见详解 (2)5 【小问1详解】 证明：连接OC,OE. 因为⊙0是等腰Rt△ABC的外接圆，O为AB的中，点， 所以OC=OE,∠COB=90° 所以∠OED=∠OCD 因为PD=PE, 所以∠PED=∠PDE —17 因为∠PDE=∠ODC, 所以∠PED=∠ODC. B E 在RtACOD中，∠OCD+∠ODC=90°， 所以∠OED+∠PED=∠OCD+∠ODC=90° 所以OE⊥PE. 所以PE是⊙0的切线. 【小问2详解】 解：设OD=a,则BD=30D=3a, 此时OE=OB=4a, 由(1)知，△POE是直角三角形. 由勾股定理可得：PE2+OE2=PO2 因为PE=PD=PB+BD, 所以(PB+BD)'+OE2=(PB+OB} 即(PB+3a}'+(4a}=(PB+4a)2 解得PB9a 2 所以PEa 15a +3a= 2 2. 9a PB 2 3 所以PE15a5. —18— 23、如图，△ABC内接于OO,AB为直径，CD平分∠ACB交O0于，点D. 0 D E (1)过，点D作DE∥AB，求证：DE为O0的切线； (2)若AC=8,BC=6,求阴影部分的面积. 【答案】(1)见详解 2525 (2)S明影=4π-2 【解析】(1)证明：连接OD, B D E .CD 平分<ACB ∴，∠ACD=∠BCD .AD=BD, 240D=∠B0D=A0B-x10=90, 1 又：DE∥AB ∴.∠ODE=∠AOD=90° .DE⊥OD 又OD是半径， .DE⊙O 为的切线。 -19 (2)解：AB为直径， ∴.∠ACB=90° AB=VAC2+BC2=V82+62=10 1 ∴OD=OB=AB=5 90元×52 S阴影=S第形BOD-S,BOD= 360 2*5x5=25m25 -π -42 24、追本溯源 题(1)来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题(2)， A B 图1 图2 (1)如图1，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点0是△ABC的内心.求∠BOC的度数. 变式拓展 (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，，点0是△ABC的内心. ①求∠BOC的度数； ②若BC=13,AC=5,求OB的长. 【答案】(1)117.5°；(2)①135°；②2W26 【详解】解：(1)点O是△ABC的内心. .OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, ∠08c=ABc∠ocB-4cs 2 .:∠ABC=50°，∠ACB=75°、 .∠0BC=25°，∠0CB=37.5° 20 .∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=117.5°； (2)①.在△ABC中，∠BAC=90°， .∠ABC+∠ACB=90° 点O是△ABC的内心， ∠OBC+∠OCB=(LABC+∠ACB)=450 2 ·.∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=180°-45°=135°； ②如图，画出△ABC的内切圆⊙0，过点O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为 E,F,G OA ，连接， E B 根据三角形的内切圆的性质可知垂足E,F,G也是△ABC三边与O0的切，点， ∴.OE=OF=OG，AE=AG,BE=BF,CF=CG, .∠BAC=90°，BC=13,AC=5, AB=VBC2-AC2=V32-52=12, 设BE=x,则BF=x, .AE=AB-BE=12-x,CF=BC-BF=13-x, .CG=CF=13-x,AG=AE=12-x, ..CG+AG=AC, .13-x+12-x=5, 解得x=10」 .BE=10, 设OE=r, 21 S△HBc=S△Aos+S△Boc+S△oc, x5x12=2rx(5+12+13) :2 2 解得r=2, .0E=2, .OB=VBE2+OE2=V102+22=2√26， -22