第三十章 直线与圆的位置关系 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 (时间:120分钟　分值:120分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内) 1.如图,与☉O相切的直线是 (　　) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 2.若命题“直线l与☉O相切”是假命题,则直线l与☉O的位置关系为 (　　) A.直线l与☉O相交 B.直线l与☉O相切 C.直线l与☉O相离 D.直线l与☉O相交或相离 3.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=6,∠P=60°,则AB的长为 (　　) A.6 B.4 C.3 D.2 4.如图,点O是△ABC的内心,若∠A=80°,则∠BOC的度数是 (　　) A.120° B.130° C.140° D.150° 5.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的半径为2,圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 (　　) A.1或5 B.1 C.1或3 D.3 6.如图,点I为△ABC的内心,连接AI并延长,交△ABC的外接圆于点D,E为弦AC的中点,连接CD,EI,IC,当AI=2CD,IC=6,ID=5时,IE的长为 (　　) A.5 B.4.5 C.4 D.3.5 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.☉O的半径是5 cm,圆心O到直线a的距离为3 cm,则直线a与☉O的公共点个数是　　　　.  8.如图,AC与☉O相切于点A,连接OC,与☉O交于点D,连接BD.若∠C=30°,则∠B的度数为　　　　.  9.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,连接OB,AB.如果∠P=40°,那么∠OBA的度数为　　　　.  10.如图,已知☉O过正方形ABCD的顶点A,B,且与边CD相切,若正方形的边长为2,则圆的半径为　　　　.  11.(传统文化·古建窗格)窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一,窗的类型很多,图1是一个正六边形窗,这个正六边形的示意图如图2所示,已知该正六边形ABCDEF的边心距为 dm,则这个正六边形ABCDEF的面积为　　　　dm2.  12.(新考法·分类讨论)如图,AB是☉O的切线,切点为B,经过点O的直线AD交☉O于C,D两点,CD=12,AB=6,动点E在弧CMD上运动,EO的延长线与射线AB相交于点F,当△AOF为等腰三角形时,的长为　　　　　　.  三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.(1)如图,☉O分别切PA,PB,CE于A,B,D三点,若△PCE的周长为18 cm,求AP的长. (2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,AB=10,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,设内切圆半径为r,求r的值. 14.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为10,求图中阴影部分的面积. 15.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=60°,O为BC边上一点,BC=5,BO=x,☉O的半径为1,当AB所在直线与☉O相切、相离时,分别求出x的取值范围. 16.如图,等边三角形ABC内接于圆,D,F分别是,的中点,AD,BC的延长线相交于点E,请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.(保留作图痕迹) (1)在图1中作出圆的圆心O. (2)在图2中的线段DE上找一点G,连接CG并延长,使CG与圆相切. 17.(新素养·推理能力)如图,在平面直角坐标系中,A(2,5),B(4,5),C(6,3),☉M经过A,B,C三点. (1)点M的坐标是　　　　.  (2)判断☉M与y轴的位置关系,并说明理由. 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,BE是☉O的切线,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接BD. (1)求证:∠CDB=∠CBE. (2)若AB=4,求BD的长. 19.如图,在△ABC的AB边上取一点O,以OC为半径作☉O,AB与☉O交于A,D两点,过点D作DE∥BC,与OC交于点F,与☉O交于点E,延长CO交☉O于点H,DF=FE. (1)请判断BC与☉O的位置关系,并说明理由. (2)连接CD,G为OH上一点,且满足∠GAC=∠ADE,求证:CD=AG. 20.如图,PA,PB,CD分别与☉O相切于点A,B,E,CD与PA,PB的交点为C,D,PA=6. (1)求△PCD的周长. (2)若∠P=50°,求∠COD的度数. 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.如图,在☉O中,直径AB=8,∠A=30°,AC=8,AC与☉O交于点D. (1)求证:直线BD是线段AC的垂直平分线. (2)若过点D作DE⊥BC,垂足为E,求证:DE是☉O的切线. 22.如图,△ABC内接于以AB为直径的☉O,E是△ABC的内心,AE的延长线与BC交于点F,与☉O交于点D,☉O的切线PD交AB的延长线于点P. (1)试判断△BDE的形状,并给予证明. (2)若∠APD=30°,BE=2,求线段AE的长. 六、解答题(本大题共12分) 23.(新素养·空间观念)如图1,在正方形ABCD中,AB=8,点O与点B重合,以点O为圆心,半径为5作半圆O,交AB于点E,交AB的延长线于点F,M,N是的三等分点(点M在点N的左侧).将半圆O绕点E逆时针旋转,记旋转角为α(0°<α≤90°),旋转后,点F的对应点为点F'. (1)如图2,在旋转过程中,当EF'经过点N时. ①求α的度数; ②求图中阴影部分的面积. (2)在旋转过程中,若半圆O与正方形ABCD的边相切,请求出点A到切点的距离. 【参考答案】 1.D　2.D　3.A　4.B　5.A 6.C　提示:如图,延长ID到点M,使DM=ID,连接CM. ∵点I是△ABC的内心, ∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB, ∴∠DIC=∠DCI, ∴DI=DC=DM, ∴∠ICM=90°, ∴CM==8. ∵AI=2CD=10, ∴AI=IM. ∵AE=EC, ∴IE是△ACM的中位线, ∴IE=CM=4. 故选C. 7.2　8.30°　9.20°　10.　11.6 12.π或π或4π　提示:根据题意可得OB=6,∠ABO=90°,AB=6,∴AO=12,∴∠DAB=30°. ①如图1,当AF=OF时,△AOF为等腰三角形,∠DOE=∠AOF=∠DAB=30°,∴的长为=π; ②如图2,当AF=AO时,△AOF为等腰三角形,可求得∠DOE=∠AOF=75°,∴的长为=π; ③如图3,当OF=AO时,△AOF为等腰三角形,可求得∠DOE=∠AOF=120°,∴的长为=4π. 图1 图2 图3 13.(1)解:∵PA,PB切☉O于点A,B, ∴PA=PB. 同理可得DC=CA,DE=EB, ∴△PEC的周长=PC+CD+DE+EP=PC+AC+PE+EB=AP+PB=2AP=18(cm), 则AP=9 cm. 3分 (2)解:如图,连接OD,OE.∵☉O内切于△ABC,∠C=90°, ∴四边形ODCE为正方形,OD=OE=CD=CE=r, ∴BE=BF=8-r,AF=AD=6-r, ∴8-r+6-r=10, ∴r=2. 3分 14.解:如图,连接CO,DO, ∴S阴影部分=6(-) =6-25 =100π-150. 6分 15.解:如图,过点O作OD⊥AB于点D. ∵∠A=90°,∠C=60°,∴∠B=30°. ∵BO=x,∴OD=BO=x. 3分 当☉O与AB相切时,OD等于☉O的半径,即x=1,解得x=2; 当☉O与AB相离时,OD大于☉O的半径,即x>1, 解得x>2. ∵点O在BC边上,BC=5, ∴AB所在直线与☉O相切时,x=2,与☉O相离时,2<x≤5. 6分 16.解:(1)如图1,点O即所求. 3分 (2)如图2,CG即所求. 6分 17.解:(1)(3,2). 2分 提示:如图,连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线交于点M,则以点M为圆心,AM的长为半径的圆为所求. 根据网格的特征可知,点M的坐标为(3,2). (2)☉M与y轴相交. 理由:由勾股定理得MA==, 即☉M的半径r=. ∵☉M的圆心M的坐标为(3,2), ∴点M到y轴的距离d=3. ∵d<r, ∴☉M与y轴相交. 6分 18.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°. ∵BE是☉O的切线, ∴BE⊥AB,∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠CBE. ∵∠CDB=∠CAB, ∴∠CDB=∠CBE. 4分 (2)如图,连接OD. ∵CD平分∠ACB, ∴∠DCB=∠ACB=45°, ∴∠DOB=2∠DCB=90°. ∵AB=4,∴OB=OD=2, ∴BD==2. 8分 19.解:(1)BC与☉O相切. 1分 理由:∵DF=FE,OC为半径, ∴OC⊥DE. ∵DE∥BC, ∴OC⊥BC, ∴BC与☉O相切. 3分 (2)证明:如图,连接AH,则∠AHC=∠ADC. ∵∠AOH=∠COD, ∴AH=CD,=. ∵OC⊥DE, ∴==, ∴∠ACO=∠EDC. 5分 ∵∠GAC=∠ADE, ∴∠GAC+∠ACO=∠ADE+∠EDC, ∴∠AGH=∠ODC, 6分 ∴∠AGH=∠AHC, ∴AH=AG, ∴CD=AG. 8分 20.解:(1)∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,CD与☉O相切于点E, ∴PA=PB=6,DE=DB,CE=CA, ∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA=12. 3分 (2)如图,连接OE. 由切线的性质,得OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD, ∴∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°, ∴∠AOB+∠P=180°, ∴∠AOB=180°-∠P=130°. 由切线长定理,得∠ACO=∠ECO,∠BDO=∠EDO,易得∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD, ∴∠COD=∠AOB=×130°=65°. 8分 21.证明:(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵直径AB=8,∠A=30°, ∴BD=4,AD=4. ∵AC=8, ∴AD=AC, ∴直线BD是线段AC的垂直平分线. 4分 (2)如图,连接OD. ∵D,O分别是线段AC,AB的中点, ∴OD∥BC. ∵DE⊥BC, ∴∠DEC=∠EDO=90°, ∴OD⊥DE, ∴DE是☉O的切线. 9分 22.解:(1)△BDE为等腰直角三角形. 1分 证明:∵E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD. 2分 又∵∠DBC=∠CAD,∴∠DBC=∠BAD. 3分 ∵∠BED=∠ABE+∠BAE,∠DBE=∠CBE+∠DBC,∴∠BED=∠DBE, ∴BD=DE. 4分 又∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴△BDE为等腰直角三角形. 5分 (2)如图,连接OD. ∵△BDE为等腰直角三角形, ∴BD=DE=BE=×2=. 6分 ∵☉O的切线PD交AB的延长线于点P, ∴OD⊥PD, ∴∠ODP=90°. 7分 ∵∠APD=30°, ∴∠POD=90°-∠OPD=60°, ∴∠PAD=∠POD=30°. 8分 在Rt△ABD中,AD=BD=×=, ∴AE=AD-DE=-. 9分 23.解:(1)①如图1,连接BN. ∵M,N是的三等分点, ∴∠NBF=×180°=60°. ∵BE=BN, ∴∠BEN=∠BNE. ∵∠NBF=∠BEN+∠BNE, ∴∠BEN=30°,即α=30°. 3分 ②如图1,作NK⊥EF,垂足为K. 通过观察可知,S阴影部分=S半圆O-S扇形EBN+S△EBN=S扇形BNF+S△EBN, S扇形BNF=×π×52=π. ∵BN=5,∠NBK=60°,∠NKB=90°, ∴∠BNK=30°,BK=BN=, ∴KN==, ∴S△EBN=×EB×NK=×5×=, ∴S阴影部分=π+. 6分 (2)有三种情况: ①如图2,当半圆O与CD相切时, 设切点为G,连接GO并延长,交AB于点H,连接AG. ∵∠HGC=∠GCB=∠CBH=90°, ∴四边形GCBH为矩形, ∴GH=BC=8, ∴OH=GH-OG=3, ∴EH===4, ∴BH=BE-EH=1, ∴AH=AB-BH=7, ∴AG==; 8分 ②如图3,当半圆O与AD相切时, 设切点为G,连接OG,过点E作EH⊥OG. ∵∠A=∠AGH=∠GHE=90°, ∴四边形AGHE为矩形, ∴AG=EH,GH=AE=AB-BE=3, ∴OH=OG-GH=2, ∴EH===, ∴AG=; 10分 ③如图4,当半圆O与AB相切时, AG=AE=AB-BE=3. 综上所述,点A到切点的距离为3或或. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $