2026-2027学年上学期九年级开学模拟数学试卷（河南信阳市适用）

**基本信息** 2026年九年级开学数学试卷以“三会”素养为导向，通过“唐风宋韵”诗词大赛、大棚草莓采摘等真实情境，融合二次根式、几何图形、函数与统计知识，实现基础巩固与综合应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式（1）、几何图形（2、3、7）、函数（4）、统计（5）|结合数轴与正方形面积考无理数（2），网格中几何性质判断（7）| |填空题|5/15|二次根式意义（11）、勾股定理（12、13）、浮力实验（14）|浮力实验中函数关系应用（14），直角三角尺与刻度尺结合（13）| |解答题|8/55|几何证明（17、18）、函数应用（19、22）、统计分析（20）、综合几何（23）|购物车支架几何计算（17），“务农重本”背景下的分段函数（19），矩形与新定义图形综合（23）|

2026年9月新九年级开学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为﹣2．若AE＝AD，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 4．变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 5．在皖文中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的25名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（　　） A．98，97 B．98，96 C．96，98 D．96，97 6．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在如图所示的网格中，小正方形的边长为2，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（　　） A．AC⊥AB B．△ABC的周长为10+6 C．A到直线BC的距离为4 D．BC＝2AC 8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，BC＝4CF．若EF＝1，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．如图1，在矩形ABCD中，点P从AB的中点E出发，沿着某条直线运动到矩形内部一点，再从该点沿着直线运动到点B．设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时，y随x的变化关系图象，则AB的长为（　　） A．6 B． C． D．2 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（　　） A．1 B．2 C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 　 　 .（任写一个符合条件的实数即可） 12．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是　 　 ． 13．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为 　 　 cm． 14．在测浮力的实验中，将一长方体物体由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与物体下降的高度x（cm）之间的关系如图所示． 当物体下降的高度为9cm时，此刻该物体所受浮力的大小是　 　 N． （温馨提示：当物体位于水面上方时，F拉力＝G重力；当物体入水后F拉力＝G重力﹣F浮力．） 15．如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，BD．若AB＝AD＝10，BD＝12，∠BDC＝90°，∠ABC＝∠BAC，则边CD的长度为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（10分）计算： （1）； （2）． 17．（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝80cm，CB＝60cm，两轮中心的距离AB＝100cm． （1）判断支架AC，BC是否垂直； （2）求点C到AB的距离． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AB、CD上，且满足BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠AFC＝90°，AF＝2AE＝6，连接AC，并求AC的长． 19．（9分）务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘x千克草莓所需的总费用为y元，图中的折线OAB表示y（元）与x（千克）之间的函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？ 20．（9分）八年级语文老师对（1）、（2）班学生的语文阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 平均数/分 方差 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率 （1）班 7.2 2.11 7 6 92.5% c （2班 6.85 4.28 8 a b 10% 根据图表信息．回答问题： （1）（2）班参加测试的人数有　 　 人，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）用方差推断：　 　 班的成绩波动比较大；用优秀率推断：　 　 班的阅读水平更好些； （3）甲同学用平均数推断，认为（1）班的阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，认为（2）班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些？为什么？ 21．（10分）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． （1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； （2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，折线y＝﹣|x﹣2|+1与直线y＝kx+2k（k＞0）如图所示． （1）直线y＝kx+2k（k＞0）与x轴交点的坐标为 　 　 ； （2）请用分段函数的形式表示折线y＝﹣|x﹣2|+1； （3）若直线y＝kx+2k（k＞0）与折线y＝﹣|x﹣2|+1有且仅有一个交点，直接写出k的取值范围 　 　 ． 23．（11分）如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，以DE为边作矩形DEGF，其中GF经过点A，连接AE． （1）如图1，若AE＝AD，求证：AG＝AF； （2）连接BG． ①如图2，若BG＝AG，CE＝1，AF＝2，求AD的长； ②如图3，若AB＝AD，BG＝BE，直接写出的值为　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、＝，故A不符合题意； B、＝＝，故B不符合题意； C、﹣是最简二次根式，故C符合题意； D、＝2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为﹣2．若AE＝AD，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出AD，可得AE，即可得解． 【解答】解：由题可得AD2＝2，则AE＝AD＝， 因为点A表示的数为﹣2， 所以点E表示的数为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数与数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键． 4．变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】直接把x＝2代入中进行求解即可． 【解答】解：在中，当x＝2时，， 故选：C． 【点评】本题考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 5．在皖文中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的25名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（　　） A．98，97 B．98，96 C．96，98 D．96，97 【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【解答】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从小到大排列，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 【点评】本题考查中位数和众数，掌握中位数和众数是解题的关键． 6．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 7．在如图所示的网格中，小正方形的边长为2，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（　　） A．AC⊥AB B．△ABC的周长为10+6 C．A到直线BC的距离为4 D．BC＝2AC 【分析】先根据勾股定理求出，，BC＝10，根据勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，然后逐项进行验证即可． 【解答】解：A、∵小正方形的边长为2，A，B，C三点均在正方形的顶点上， ∴， ， ， ∵， ∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC⊥AB，正确，不符合题意； B、△ABC的周长为，正确，不符合题意； C、设点A到BC的距离为h，则， 即， 解得：h＝4， 即点A到BC的距离为4，正确，不符合题意； D、∵BC＝10，，， ∴BC≠2AC，错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，BC＝4CF．若EF＝1，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】取BC的中点M，连接OM，利用三角形中位线定理建立EF与AB的数量关系即可求解． 【解答】解：取BC的中点M，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵点M为BC的中点， ∴OM为△ABC的中位线， ∴AB＝2OM， ∵BC＝4CF，BC＝2MC， ∴MC＝2CF， ∵点E为OC的中点， ∴EF为△OMC的中位线， ∴OM＝2EF， ∴AB＝4EF＝4． 故选：C． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA＝OC解答． 9．如图1，在矩形ABCD中，点P从AB的中点E出发，沿着某条直线运动到矩形内部一点，再从该点沿着直线运动到点B．设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时，y随x的变化关系图象，则AB的长为（　　） A．6 B． C． D．2 【分析】先由函数图象第一段，得PA＝PB，判断点P沿AB的垂直平分线运动，设点p沿着直线EF运动到点F，则，EF⊥AB；再由总路程减去第一段路程，算出第二段BF＝3；在Rt△BEF中用勾股定理求得BE，由E是AB中点，得AB＝2BE即可求解． 【解答】解：由函数图象可知，点P的运动路程分为两段： ①，此时，即PA＝PB， ∴点P的运动轨迹是AB的垂直平分线， 如图，设点P沿着直线EF运动到点F，则，EF⊥AB， ②，此时点P从F运动到终点B，总路程为， ∴第二段路程， 在Rt△BEF中，， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象，熟练掌握从图象中获取正确信息是关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】过点E作EG⊥AD于G，连接CF，先求出∠EFA＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，再利用面积法和等腰直角三角形性质即可求出AC的长． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，过点F作FH⊥AC于H， ∵AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE， ∵∠ACB＝90°， ∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°， ∴∠BAD+∠ABE＝45°， ∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°， 在Rt△EFG中，EF＝， ∴FG＝EG＝1， ∵AF＝4， ∴AG＝AF﹣FG＝3， 根据勾股定理，得AE＝＝， ∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥BA， ∴EF＝EC， ∵AF•EG＝AE•FH， ∴FH＝＝＝， ∵∠FCH＝45°，∠CHF＝90°， ∴△CFH是等腰直角三角形， ∴CH＝FH＝，CF＝FH＝， 在Rt△EFH中，EH＝＝＝， ∴AC＝AE+EH+CH＝++＝， 故选：D． 【点评】本题考查角平分线定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，求出AE，运用面积法和勾股定理是解本题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 　2（答案不唯一）　 .（任写一个符合条件的实数即可） 【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得． 【解答】解：由题意可得， ∴x﹣1≥0， ∴x≥1， ∴x＝2． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解． 12．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是　6　 ． 【分析】根据正方形的面积可知AB2＝48和BC2＝12，利用勾股定理求出AC2，进而可得出字母R所代表的正方形的边长． 【解答】解：根据正方形的面积为边长的平方可知AB2＝48和BC2＝12， 在Rt△ABC中，AC2＝48﹣12＝36， 则字母R所代表的正方形的边长为， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为 　3　 cm． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知：AB＝7﹣1＝6（cm），AD＝DB＝3cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CD＝AB＝3（cm）， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 14．在测浮力的实验中，将一长方体物体由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与物体下降的高度x（cm）之间的关系如图所示． 当物体下降的高度为9cm时，此刻该物体所受浮力的大小是　　 N． （温馨提示：当物体位于水面上方时，F拉力＝G重力；当物体入水后F拉力＝G重力﹣F浮力．） 【分析】由图可知，物体未浸入水中时，弹簧测力计拉力等于物体重力，即F重力＝4N，将x＝8代入直线AB的函数表达式求出此时拉力大小，利用F浮力＝F重力﹣F拉力求解即可． 【解答】解：由图可知，直线AB为一次函数图象，则设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b， 将点A（6，4）、B（10，2.5）代入F＝kx+b得 ， 解得， ∴F拉力＝﹣x+； 由图可知，物体未浸入水中时，弹簧测力计拉力等于物体重力，即F重力＝4N， 由（1）知，直线AB的函数表达式为：F拉力＝﹣x+； 将x＝8代入表达式得F拉力＝﹣×9++＝， 则F浮力＝F重力﹣F拉力＝4﹣＝ 答：此刻该物体所受浮力的大小为， 故答案为：． 【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，BD．若AB＝AD＝10，BD＝12，∠BDC＝90°，∠ABC＝∠BAC，则边CD的长度为 　　 ． 【分析】延长CD交BA的延长线于点E，过点A作AF⊥DE于点F，证明∠ADE＝∠E得AE＝AD＝10，则BE＝20，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝16，在△ADE中，根据AD＝AE＝10，AF⊥DE得DF＝EF＝DE＝8，在Rt△AFD中，由勾股定理得AF＝6，再证明AC＝BC，设边CD的长度为a，则CF＝a+8，然后在Rt△AFC和Rt△BCD中，根据AC＝BC及勾股定理得a＝，据此可得边CD的长度． 【解答】解：延长CD交BA的延长线于点E，过点A作AF⊥DE于点F，如图所示： 在△ABC中，AB＝AD＝10， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BDC＝90°，点E在CD的延长线上， ∴∠BDE＝180°﹣∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，∠BDE＝90°， ∴∠ABD+∠E＝90°， ∴∠ADE＝∠E， ∴AE＝AD＝10， ∴BE＝AB+AE＝10+10＝20， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝BE2﹣AD2＝＝16， 在△ADE中，AD＝AE＝10，AF⊥DE于点F， ∴DF＝EF＝DE＝8，∠AFD＝90°， 在Rt△AFD中，∠AFD＝90°， 由勾股定理得：AF＝＝＝6， 在△ABC中，∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC， 设边CD的长度为a，则CF＝CD+DF＝a+8， 在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC2＝CF2+AF2＝（a+8）2+62， 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝12， 由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2＝a2+122， ∴（a+8）2+62＝a2+122， 解得：a＝， ∴边CD的长度为． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【解答】解：（1） ＝ ＝． （2）原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 17．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝80cm，CB＝60cm，两轮中心的距离AB＝100cm． （1）判断支架AC，BC是否垂直； （2）求点C到AB的距离． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用等积法进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AC＝80cm，CB＝60cm，AB＝100cm， ∴AC2+BC2＝802+602＝10000，AB2＝10000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）， ∴AC⊥BC； （2）连接AB，过C作CD⊥AB于点D， ∵△ABC的面积＝， ∴80×60＝100×CD，解得：CD＝48cm， 即点C到AB的距离为48cm． 【点评】本题考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AB、CD上，且满足BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠AFC＝90°，AF＝2AE＝6，连接AC，并求AC的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，再证AE＝CF，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， 即AE＝CF， 又∵AE∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：如图， ∵四边形AECF为平行四边形， ∴AE＝CF， ∵AF＝2AE＝6， ∴AE＝3， ∴CF＝3， ∵∠AFC＝90°， ∴． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 19．务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘x千克草莓所需的总费用为y元，图中的折线OAB表示y（元）与x（千克）之间的函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？ 【分析】（1）用待定系数法进行求解即可； （2）当x＝4时，y＝120＜150，可判断适用第二段关系式y＝15x+60，再代入数据求解即可． 【解答】解：（1）图中的折线OAB表示y（元）与x（千克）之间的函数关系． 当0≤x≤4时， 设函数关系式为y＝k1x， 代入点（4，120）， 得120＝4k1，解得k1＝30， ∴函数关系式为y＝30x（0≤x≤4）； 当4＜x≤8时，设函数关系式为y＝k2x+b， 由题意可得： ， 解得， ∴函数关系式为y＝15x+60（4＜x≤8）； 综上，函数关系式为； （2）∵当x＝4时，y＝120＜150， ∴适用第二段关系式y＝15x+60， 代入y＝150， 解得x＝6， ∴他这天在该草莓园采摘了6千克草莓． 【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 20．八年级语文老师对（1）、（2）班学生的语文阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 平均数/分 方差 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率 （1）班 7.2 2.11 7 6 92.5% c （2班 6.85 4.28 8 a b 10% 根据图表信息．回答问题： （1）（2）班参加测试的人数有　40　 人，a＝　8　 ，b＝　85%　 ，c＝　20%　 ； （2）用方差推断：　（2）　 班的成绩波动比较大；用优秀率推断：　（1）　 班的阅读水平更好些； （3）甲同学用平均数推断，认为（1）班的阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，认为（2）班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些？为什么？ 【分析】（1）先通过（2）班优秀人数和优秀率算出（2）班总人数，由（1）班合格人数及合格率算出（1）班人数，再依据众数、合格率、优秀率的定义，结合统计图数据计算对应值； （2）根据方差的大小即可判断出波动的大小；结合合格率和优秀率则要先数值大的，由此即可得答案； （3）结合条形统计图，根据平均分、中位数、众数的优缺点进行解答即可． 【解答】解：（1）由（2）班优秀人数和优秀率可得：（2）班人数为人（2+2）÷10%＝40人． （2）班8分出现次数最多（17次 ）， ∴a＝8． （2）班合格人数2+2+17+4+9＝34人， ∴． 设（1）班人数为x，合格人数为14+7+8+4+4＝37人，合格率92.5%， ∴92.5%x＝37， ∴， ∴． 故答案为：40，8，85%，20%； （2）（1）班的方差为2.11，（2）班的方差为4.28，用方差推断，（2）班的成绩波动较大； （1）班的合格率为92.5%，优秀率为20%，（2）班的合格率为85%，优秀率为10%， （1）班的合格率与优秀率均比（2）班的大，因此用优秀率和合格率推断，（1）班的阅读水平更好些， 故答案为：（2）；（1）； （3）乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然（2）班成绩的平均分比（1）班低，但从条形图中可以看出，（2）班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些． 【点评】本题考查了数据的收集整理与描述，涉及了平均数，方差，众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识以及各自的优缺点是解题的关键． 21．为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． （1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； （2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【分析】（1）设每副羽毛球拍单价为x元，每根跳绳单价为y元，根据题干给出的两种购买总价列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设购买羽毛球拍m副，总费用为W元，根据优惠规则列出总费用的一次函数解析式，再结合数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用和对应的购买方案． 【解答】解：（1）设羽毛球拍的单价为x元，跳绳的单价为y元， ， 解得：， 答：羽毛球拍的单价为80元，跳绳的单价为15元； （2）设购买羽毛球拍m副，则购买跳绳数量为 （60﹣m） 根，总费用为W元， ， ， m≥20， W＝0.8×80m+15×（60﹣m）＝49m+900， ∵m随W的增大而增大， ∴当 m＝20时，W最小，此时W＝49×20+900＝1880， ∴购买羽毛球拍20副，跳绳40根时，总费用最少，最少为1880元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，折线y＝﹣|x﹣2|+1与直线y＝kx+2k（k＞0）如图所示． （1）直线y＝kx+2k（k＞0）与x轴交点的坐标为 　（﹣2，0）　 ； （2）请用分段函数的形式表示折线y＝﹣|x﹣2|+1； （3）若直线y＝kx+2k（k＞0）与折线y＝﹣|x﹣2|+1有且仅有一个交点，直接写出k的取值范围 k＞1或k＝　 ． 【分析】（1）变形为y＝kx+2k＝k（x+2），即可求得； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）根据图象经过点（﹣2，0），借助图象即可求得． 【解答】解：（1）∵y＝kx+2k＝k（x+2）， ∴当x＝﹣2时，y＝0， ∴直线y＝kx+2k（k＞0）与x轴交点的坐标为（﹣2，0）， 故答案为（﹣2，0）； （2）∵函数y＝﹣|x﹣2|+1， ∴当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2， ∴函数为y＝﹣x+2+1＝﹣x+3； 当x≤2时，|x﹣2|＝2﹣x， ∴函数为y＝x﹣2+1＝x﹣1； ∴用分段函数的形式表示折线为：y＝； （3）∵直线y＝kx+2k（k＞0）经过点（﹣2，0），且经过点（2，1）时，直线y＝kx+2k（k＞0）与折线y＝﹣|x﹣2|+1有且仅有一个交点， ∴k＝， ∵k＝1时，直线y＝kx+2k（k＞0）与折线平行，当k＜1时，与折线有两个交点，当k＞1时，与折线有一个交点， ∴k的取值范围是k＞1或k＝， 故答案为k＞1或k＝． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与系数的关系，是基础题． 23．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，以DE为边作矩形DEGF，其中GF经过点A，连接AE． （1）如图1，若AE＝AD，求证：AG＝AF； （2）连接BG． ①如图2，若BG＝AG，CE＝1，AF＝2，求AD的长； ②如图3，若AB＝AD，BG＝BE，直接写出的值为　　 ． 【分析】（1）证明Rt△ADF≌Rt△AEG（HL）可得结论． （2）①如图2中，延长AG交CB的延长线于T．证明EG垂直平分线段AT，推出EA＝ET，设EA＝ET＝x，构建方程求出x即可解决问题． ②如图3中，延长AG交CB的延长线于T．证明BT＝EC＝BE，设BE＝EC＝a，易知AT＝DE＝AE＝a，设AF＝GT＝x，则AG＝a﹣x，根据EG2＝AE2﹣AG2＝ET2﹣TG2，构建方程求出x（用x表示）即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形DEGF是矩形， ∴∠G＝∠F＝90°，DF＝EG， ∵AE＝AD， ∴Rt△ADF≌Rt△AEG（HL）， ∴AG＝AF． （2）解：①如图2中，延长AG交CB的延长线于T． ∵DE∥FT， ∴∠T＝∠DEC， ∵∠ABT＝∠C＝90°，AB＝DC， ∴△ABT≌△DCE（AAS）， ∴AT＝DE，BT＝CE＝1， ∵四边形DEGF是矩形， ∴DE＝FG， ∴AT＝FG， ∴AF＝GT＝2， ∵GA＝GB， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵∠GAB+∠T＝90°，∠GBA+∠TBG＝90°， ∴∠T＝∠GBT， ∴GT＝GB＝GA＝2， ∴AB＝＝＝， ∵AG＝GT，EG⊥AT， ∴EA＝ET，设EA＝ET＝x， 在Rt△ABE中，则有x2＝（）2+（x﹣1）2， ∴x＝8， ∴AE＝ET＝8， ∵AT＝DE，AT∥DE， ∴四边形ADET是平行四边形， ∴AD＝ET＝8． ②如图3中，延长AG交CB的延长线于T． ∵BG＝BE， ∴∠BGE＝∠BEG， ∵∠EGT＝90°， ∴∠BGE+∠BGT＝90°，∠T+∠BEG＝90°， ∴∠BGT＝∠T， ∴GB＝BT， ∴BT＝BE＝BG， ∵四边形ATED是平行四边形， ∴AD＝ET， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∴TE＝BC， ∴BT＝EC＝BE，设BE＝EC＝a， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠C＝∠ABE＝90°， ∴AT＝DE＝AE＝a，设AF＝GT＝x，则AG＝a﹣x， ∵EG2＝AE2﹣AG2＝ET2﹣TG2， ∴（a）2﹣（a﹣x）2＝（2a）2﹣x2， ∴x＝a， ∴AF＝a，AG＝a， ∴＝＝． 故答案为． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $