第1章勾股定理提优卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元提优卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合赵爽弦图文化传承与台风折树等实际问题，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|勾股数判定、折叠问题、勾股树规律|第3题赵爽弦图结合代数变形，第9题勾股树规律探究，渗透数学抽象| |填空题|6|三角形高计算、空间最短路径、数轴表示无理数|第11题蚂蚁翻木条展开图应用，第15题数轴与勾股定理结合，发展空间观念| |解答题|5|折叠问题、四边形综合、方案优化、定理拓展|第18题灌溉方案比较（模型意识），第20题锐角/钝角三角形三边关系探究（推理能力），体现实际应用与创新思维|

第1章勾股定理提优卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 2．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 4．如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 5．如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，．，，，若点D在内部，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 7．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 8．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 二、填空题 10．已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 11．如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走__________． 12．如图，分别以锐角三角形的三边向外作三个正方形，且，，，则_______． 13．如图，，，，，，则的长为_____． 14．如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 15．如图，点与数轴原点重合，点表示数，，，以点为圆心，长为半径画弧，与负半轴交于点，则点表示数_________． 三、解答题 16．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 17．如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长： (2)若，则_______，________． 18．如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 19．如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 20．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章勾股定理提优卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D A B B C C C B 1．D 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 2．D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 3．A 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 4．B 【分析】设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得， 即， 整理得，解得， 即的距离为12米． 5．B 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理及其逆定理．过点D作于点E，过点D作于点F，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，根据，即可求出结果． 【详解】解：过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 8．C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 9．B 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 10．或 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意，可能是锐角三角形或钝角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和，再根据点D的位置求． 【详解】在中，，，，由勾股定理得：； 在中，，，，由勾股定理得：； 当为锐角三角形时，点D在上，， 当为钝角三角形时，且为钝角，点D在BC的延长线上，． 故答案为：或． 11． 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的木条平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了以锐角三角形三边为边长的图形面积，勾股定理．先求得，，，作于点，设，则，利用勾股定理列式求得，，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 作于点，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理，根据全等三角形对应边相等，可得，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】解：， ，， 在中，， ． 故答案为：． 14．5 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 15． 【分析】本题考查勾股定理、用数轴上的点表示数，利用勾股定理求出的长度，再根据得到点表示的数． 【详解】解：点表示数， ， 由勾股定理可得，， 由勾股定理可得，， 由圆的知识可得，， 点表示的数为， 故答案为：． 16．3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 17．(1)； (2) 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出； （2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18．甲方案所修的水渠较短，说明如下： ∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． 【分析】设对，，运用勾股定理得到，然后建立方程求解，然后比较和即可． 【详解】解：略． 19．(1) (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，直线、之间的距离为7， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）． 20．(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $