第5章一元一次方程-2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 同步练聚焦一元一次方程，分基础与提优两层，以"概念辨析-运算巩固-综合应用"为路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|一元一次方程定义、解法、等式性质、简单应用|含8道单选（如方程辨识）、6道填空（如古代数学问题）、3道解答（如解方程），侧重基础概念与基本运算| |提优过关|综合应用、新定义问题、动态几何|3道解答题（如"反对方程"定义、数轴动点问题），融合跨情境建模与创新思维，衔接阶段测评难点|

（分层作业）第5章一元一次方程-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列方程一定属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，下列等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．单项式的系数是，次数是 B．若，则是方程的解 C．若，则 D．若，则 4．如果是关于的方程的解，那么a的值是（   ） A． B．3 C． D． 5．某商品打八折后售价为80元，则该商品的原价为 （    ） A．64元 B．90元 C．100元 D．120元 6．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．7 B．8 C． D． 7．元旦期间，某商场为吸引顾客，全场商品打折出售．其中一款小家电进价为600元，标价1000元，打折出售后仍获利．设该小家电打折销售，则根据题意得到的方程是（   ） A． B． C． D． 8．如图，表中给出的是某平年二月的日历，任意选取“工”形框中的7个数（如阴影部分所示），那么在本月日历中这7个数的和可能是（   ） A．56 B．77 C．90 D．210 二、填空题 9．若关于x的方程是一元一次方程，则______． 10．当___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 11．在风速为的条件下，一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用，它逆风飞行同样的航线要用，则飞机在无风时的速度为_____ ． 12．定义一种新运算：，例如：．若，则 ____． 13．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有共买物，人出六，不足四；人出八，盈六．问人数、物价各几何？”其大意：一群人合伙买东西，若每人出6钱，则还差4钱；若每人出8钱，则多6钱．若设有人，则可得一元一次方程__________________________________． 14．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个三阶幻方，它的每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数字之和都相等，则代数式的值为_____． 三、解答题 15．解下列一元一次方程 (1) (2) 16．已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 17．某公园的门票是元/人，团体购票有如下优惠： 购票人数 1～人 ～人 人以上 票价 无折扣 超出人的部分，票价打八折 至人部分票价打八折，超出人的部分，票价打五折 某校七年级两个班到该公园秋游，其中甲班多于人，乙班不足人，如果以班为单位分别购票，两个班一共应付元；如果两个班作为一个团体购票，一共应付元． (1)甲、乙两个班一共多少人？（列一元一次方程解决问题） (2)甲班有多少人，乙班有多少人？（列一元一次方程解决问题） 提优过关 18．如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为3米，另一边长为米，玻璃上方安装了两张半径为1米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人40人，平均每人每天可加工长方形玻璃10块或遮光帘5张，为使每天生产的玻璃数量：遮光帘数量，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘（元） 玻璃（元） 甲厂家 80 不超过，200元；超过的部分，160元． 乙厂家 100 190元，且每购买的玻璃赠送遮光帘 若李明在甲、乙两厂安装此窗户所需的费用相同，求的值（取3）． 19．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 20．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． (1)a=____，b=____，c=____； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_____表示的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，那么3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第5章一元一次方程-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C C C C B 1．C 【分析】本题考查了一元一次方程的辨识；根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），判断各选项：A含两个未知数；B未知数次数为2；D不是整式方程；C符合定义． 【详解】解：∵一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程． 对于A：，含两个未知数和，不满足①； 对于B：，未知数的最高次数为，不满足②； 对于D：，含分式，不是整式方程，不满足③； 对于C：，只含一个未知数，且次数为，是整式方程，满足所有条件． 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边同加或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同乘或除以同一个数（不为零），等式仍然成立；根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．等式两边同时减2，得，等式成立，不符合题意； B．等式两边同时乘2，得，等式成立，不符合题意； C．当时，分式无意义，该等式不成立，符合题意； D．等式两边同时加a，得，即，等式成立，不符合题意． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了单项式，方程的解，等式的性质，根据单项式的有关概念、方程解的定义以及等式的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、单项式的系数是 ，次数是，该选项说法错误，符合题意； 、当时，方程左边右边，所以 是方程的解，该选项说法正确，不符合题意； 、若 ，则两边同时减得，该选项说法正确，不符合题意； 、若 ，则两边乘得，该选项说法正确，不符合题意； 故选：． 4．C 【分析】本题考查方程的解的定义，将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解 ∴将代入方程得： 解得， 故选：C． 5．C 【分析】设该商品的原价为x元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了打折，熟练掌握打折的意义是解题的关键． 【详解】解：设该商品的原价为x元， ∵商品打八折后的售价为80元， 根据题意，得， 解得（元） 故选：C． 6．C 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义和代数式的整体代入求值，关键是利用方程的解得到关于、的关系式，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， ∴； 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了列一元一次方程． 用打折后的价格减去进价可求利润，用进价乘以可求利润，根据两种利润表示方法列方程即可． 【详解】解：∵一款小家电进价为600元，标价1000元，打折销售， ∴利润元， ∵进价为600元，打折出售后仍获利， ∴利润元， 即． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找到数字规律列出方程是解题关键．设“工”形框中间数为 ，则7个数分别为 、、、、、、，和为 ，根据二月日历数字范围（所有数），可得 的取值范围，再结合选项判断 【详解】解：设“工”形框中间数为 ， “工”形框7个数为 、、、、、、， 7个数的和， 所有数在1到28之间， ，解得 ， ∴， ，，90不是7的倍数， 只有77可能， 故选：B 9．1 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的系数不为零，未知数的指数必须为，因此令指数部分，求解的值． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴未知数的指数， 解得， 故答案为：． 10．2 【分析】此题考查了相反数的概念，一元一次方程，关键是利用互为相反数两数之和为0列出方程． 根据相反数的性质，列出一元一次方程求解． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设飞机在无风时的速度为，根据顺风速度和逆风速度与时间的关系，利用距离相等列出方程求解． 【详解】解：设飞机在无风时的速度为， 则顺风速度为，逆风速度为， 根据题意，顺风飞行距离与逆风飞行距离相等，得：， 解得：， 故飞机在无风时的速度为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查新运算的定义、解一元一次方程，正确掌握新运算的定义是解题的关键． 根据新运算的定义，将给定方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：由新运算定义得 ， 解得， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，熟练掌握根据不变量建立等量关系的方法是解题的关键．根据两种不同出钱方式下物价不变这一核心等量关系，分别用含人数的代数式表示物价，再令其相等，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设有人，由题意可得 ， 故答案为：． 14．25 【分析】本题考查整式的加减，根据题意得幻方和为，先确定左上角的数为0，则，，，根据右侧中间的数的两种求法列方程，求出，继而求出，代入目标式计算即可． 【详解】解：由题意可知，幻方和为， 则左上角的数为0，，， ， 右侧中间的数为或， 即， 解得， ∴，，， ∴， 故答案为25． 15．(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．通过设个位数字为未知数，利用两位数的数位表示方法写出原两位数与新两位数，计算两数之和后分析其因数，找到能整除该和的最大整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原两位数的个位数字为x， 则十位数字为，x为正整数，且，即， 故x可取， 原两位数为 ， 新两位数为 ， 两数之和为， 即两数之和为，故该和一定能被33整除，所有可能的和（当分别取时）的最大公因数为33， ∴这个整数的最大值是33． 17．(1)甲、乙两个班一共人； (2)甲班有人，乙班有人 【分析】（1）设甲、乙两个班一共人，根据题意列出方程，即可求解； （2）设乙班有y人，则甲班有人，由题意列出方程，然后即可求解； 【详解】（1）解：设甲、乙两个班一共人， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两个班一共人； （2）解：由（1）知，甲、乙两个班一共人， 设乙班有y人，则甲班有人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：甲班有人，乙班有人． 18．(1)应安排24名工人生产长方形玻璃，安排16名工人生产遮光帘 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排24名工人生产长方形玻璃，安排16名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∵， ∴， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， 当时，即， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，即， ∴， 解得 ∴的值为． 19．(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是新定义，一元一次方程的解及解一元一次方程； （1）根据“反对方程”的定义可直接得出答案； （2）将代入求出，整理方程得，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）将代入求出，整理方程得，然后根据“反对方程”的概念求解即可． 【详解】（1）解：与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴， ∴， ∴， 整理得： 关于的方程的“反对方程”为， 解得：； （3）∵关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 关于的方程的“反对方程”为， 解得：． 20．(1)－3，1，8 (2)4 (3)13 【分析】（1）根据平方式和绝对值的非负性求得a、c值，再根据最小的正整数是1可求得b值； （2）根据题意可求得点A，C的对称点对应的数，进而可求得与点B重合的数； （3）根据题意求得AB=4+3t，BC=2t+7，求解3BC－2AB可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵b是最小的正整数， ∴b=1， 故答案为：-3，1，8； （2）解：由题意，点A、C的对称点对应的数为， ∵与点B重合的点就是和点B关于该对称点对称的点， ∴与点B重合的数为1+2×（2.5－1）=4， 故答案为：4； （3）解：不变，它的值为13，理由为： 根据题意，t秒钟过后，点A对应的数为-3-t，点B对应的数为1+2t，点C对应的数为8+4t， 则AB=（1+2t）-（-3-t）=3t+4，BC=（8+4t）-（1+2t）=2t+7， ∴3BC-2AB =3（2t+7）-2（3t+4） =6t+21-6t-8 =13， 故3BC-2AB的值不随着时间t的变化而改变，它的值为13． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题及两点间的距离、平方式和绝对值的非负性，有一定的难度，利用数轴特点求出两点间的距离是解答的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $