精品解析：山西省太原市实验中学校2025-2026学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

2026年太原市实验中学校高三数学第一次阶段考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以，即. 即，所以. 所以不等式的解集是. 方法二：，得或， 解得或. 所以不等式的解集是. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为所以选C． 考点：比较大小 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数定义域，函数单调性以及函数零点存在性定理分析即可. 【详解】由函数的定义域为， 又，故函数在上单调递增， 所以函数在上至多有1个零点， 由， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过导数分析其单调性，结合单调性及对数运算性质比较即可. 【详解】设函数，定义域为， 对求导得：  ， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减.故在处取得最大值， 则，，故，； 又因 ，， 因为函数在上单调递增，则，故，即. 综上可得. 8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据以上的性质解不等式 即可. 【详解】由于 ，所以 是偶函数； 当 时， ，由复合函数的单调性知f(x)是增函数，所以函数大致图像如下图： 对于，就是 ，解得 ； 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【详解】当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确， 故选:ABD. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 13. 若函数对于任意的，恒有，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导，根据的取值讨论函数在上的单调性，结合题意利用单调性判断求解即得. 【详解】对于函数，， 对求导得， 因时，则. 当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，故，符合题意； 当，即时，由，得， 当时，，则在上单调递减，此时存在使得，不合题意. 综上可得的取值范围是. 14. 已知定义在上的可导函数为奇函数，为奇函数且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为奇函数，可得的图象关于中心对称，在上的可导函数，根据复合函数求导可得的图象关于轴对称，可得是为周期函数，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 则的图象关于中心对称，则， 因为为奇函数，所以， 即，得， 设为常数，令，得， 则，所以的图象关于轴对称， 又因的图象关于中心对称, 可得， 则，故函数是周期为4的函数， 因为，所以，， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）设，求的值． （2），求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以解得，， 则. 【小问2详解】 因为， 所以，故. 16. 已知函数， （1）过点作曲线的切线，求切线的方程； （2）求函数的单调区间，并求函数在的值域； （3）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为；在上的值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）设切点坐标并利用导数表示斜率，写出切线方程后代入已知的曲线外一点求出切点，进而得到最终的切线方程. （2）通过求导确定函数的极值点并划分单调区间，再通过计算给定闭区间端点及极值点的函数值来确定值域. （3）将方程零点个数问题转化为两函数图象的交点问题，结合极值点单调区间画出函数图象，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，则，设切点坐标为， 则切线方程为， 代入得， 即，解得， 所以切点为，斜率， 则切线方程为，化简得. 【小问2详解】 由（1）得，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，所以在内单调递增， 所以在区间内，，， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点， 由（2）得在取极小值，也是最小值， 即，且有， 令，当时，，取，则有， 则原式， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，易得的增长率在上高于的增长率， 所以当时，，由此可得， 综上，满足题意的与如图: 故的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围． （2）求证：当时，． 【答案】（1） （2）当时，可得，则， 即在上单调递增， 则，，故得证. 【解析】 【分析】（1）将函数单调问题转化为恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围即可. （2）构造函数并利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为函数在上为减函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，令， 由余弦函数的性质得，则有,故. 【小问2详解】 略 18. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是. 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为； （3）． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年太原市实验中学校高三数学第一次阶段考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数，则_____. 13. 若函数对于任意的，恒有，则的取值范围是_________． 14. 已知定义在上的可导函数为奇函数，为奇函数且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）设，求的值． （2），求． 16. 已知函数， （1）过点作曲线的切线，求切线的方程； （2）求函数的单调区间，并求函数在的值域； （3）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围． （2）求证：当时，． 18. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $