第二十六章 二次函数 单元检测卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元检测卷，涵盖定义、性质、图像及实际应用，通过基础题与综合情境题结合，考查抽象能力、模型意识与应用意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义、性质、图像比较、最值应用|题9结合正方形面积构建二次函数关系，考查几何直观与数学思维| |填空题|6/18|二次函数定义、图像平移、对称轴、实际应用|题16以矩形农场为情境，考查模型意识与数据分析| |解答题|8/72|解析式求解、图像绘制、实际问题建模|题23喷灌水柱、题24白鲸喷水情境，体现用数学语言表达现实世界，符合核心素养要求|

第二十六章 二次函数 单元检测卷 一、单选题 （本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 4．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 7．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 8．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 10．如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分。） 11．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 12．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 13．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 14．已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 15．二次函数的图象的对称轴为_______________． 16．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 三、解答题（本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分，23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．已知二次函数，当时，求函数的值． 18．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 19．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 20．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 21．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 22．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 23．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 24．经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章 ��二次函数� � 单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B B B D A A C 1．C 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断． 【详解】解：A、中的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数要求，是二次函数，符合题意； D、化简得，为常数函数，不是二次函数，不符合题意． 2．D 【详解】解：， ， ， ， . 3．B 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 4．B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 5．B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 6．B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 7．D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 8．A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 9．A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 10．C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 11． 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 12． 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 13． 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 14． 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴． 根据开口向上的抛物线的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，比较各点到对称轴的距离即可判断值的大小． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大． ∴． 15．2 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 16．② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 17． 【详解】解：将代入，得． 18．(1) (2)抛物线解析式为 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 19．(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 20．(1)， (2) 二次函数的图象如图所示： (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）略 （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 21．(1) (2) 证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）略 22．(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 23．(1) (2)5m 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 24． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意求出点的坐标，进而求解． 【详解】解：将代入， 则， ∴， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $