北京门头沟区2026-2027学年高三上学期9月学业水平阶段练习数学试题

门头沟区2026-2027年高三学业水平阶段练习 数学 2026．09 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，（是虚数单位），则 A． B． C． D． 3．圆心坐标为且过原点的圆的方程是 A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为 A．15 B．-15 C．30 D．-30 5．若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，则是 A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 7．已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为 A．， B．， C．， D．， 8．已知三棱锥，，，则它的体积为 A． B． C． D． 9．在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是 A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 10．数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，荣获2026年菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（参考数据：，） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．双曲线的离心率为__________． 12．已知平面向量，满足，，则的最小值为__________． 13．已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 14．已知集合中恰有2个元素，若，则的取值范围是__________；若，则的取值范围是__________． 15．如图，在平面四边形中，，，，，给出下列三个结论： ①； ②若，则； ③四边形的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的单调递减区间． 17．（本小题13分）2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温。为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 4 6 12 10 8 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （Ⅰ）从所有参赛学生中随机抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； （Ⅱ）从所有参赛学生中随机抽取3人，记为这3人中成绩低于70分的人数，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 18．（本小题14分）已知三棱柱，，平面平面，，为的中点． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）点在三棱柱表面上，且，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得点确定唯一，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：直线与所成角的余弦值为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 19．（本小题15分）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 20．（本小题15分）已知函数，曲线在点处的切线为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的极值点的个数； （Ⅲ）证明：除切点外，曲线在直线的上方． 21．（本小题15分）已知数阵，其中．定义．若对于任意，都有，则称数阵具有性质． （Ⅰ）数阵，直接写出，，，的值； （Ⅱ）若数阵具有性质，求的最大值； （Ⅲ）证明：不存在数阵具有性质． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 学科网（北京）股份有限公司 $