第一章 集合与常用逻辑用语章末综合测试试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与逻辑核心知识，通过基础辨析、校运会情境应用及“封闭集”“性质P”创新探究，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合运算、命题否定、充要条件|第4题Venn图阴影表示，体现几何直观；第8题子集个数与元素关系，考查抽象能力| |多项选择题|3/18|集合概念、充分条件、封闭集性质|第11题“封闭集”新定义，发展创新意识；第9题概念辨析，培养批判性思维| |填空题|3/15|命题否定、容斥原理、奇/偶子集|第13题校运会参赛人数计算，体现应用意识；第15题奇/偶子集探究，考查数学思维| |解答题|5/77|含参集合、充要条件、性质P|第17题含参集合关系讨论，培养推理能力；第21题性质P探究，提升逻辑与创新思维|

第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A B D C C A ACD ACD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意可知，，因此，. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 命题“”的否定是“”. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 5. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 命题，是假命题， ，恒成立是真命题； 当时，恒成立， 当时，需，，解得， 当时，，不可能满足恒成立， 综上可得a的取值范围为. 6. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】C 因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 7. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 集合，， 对于A，由子集的定义知：，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，，故不成立，故D错误． 8. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】A 由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 【解析】ACD 0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 10. 已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【解析】ACD 因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【解析】ABD 对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是__________． 【解析】 13. 深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【解析】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 14. 设集合，若，将A中所有数的和记为A的容量（若A为空集，规定A的容量为0），若A的容量为奇（偶）数，则称A为U的奇（偶）子集． （1）若，则U的奇子集个数为_______； （2）当时，U的偶子集个数（用n表示）为_______． 【解析】若，， 所以的奇子集有，，，，共4个； 对于给定的中元素1，将的所有偶子集划分为含1和不含1两类，所有含1的偶子集去掉1，则变为不含1的奇子集， 所有不含1的偶子集加入1，则变为含1的奇子集，对所有的奇子集作同样的分析，可得偶子集和奇子集一一对应，故其数量相等， 因为个元素的集合其子集数量为，故偶子集的个数为其一半，即. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【解析】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 16. 已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得，即， 解得； （2）因为，所以， 由知可能为； ①当=，即无解，所以， 解得； ②当，即有两个等根为0，所以依据韦达定理知所以无解； ③当，即有两个等根为，所以依据韦达定理知所以无解； ④当，即有两个根为0，，所以依据韦达定理知解得； 综上，或. 18. 已知集合． (1)若，求； (2)从下面两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． ①；②若集合B不是空集，且是的必要不充分条件． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）当时，， 所以． （2）选择条件①： 由知．当时，，解得． 当时，，解得． 综上，的取值范围为． 选择条件②： 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 因为，（等号不能同时取到）， 解得． 综上，的取值范围为． 19. 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【解析】（1）当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2)将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 7. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 10. 已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是__________． 13. 深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 14. 设集合，若，将A中所有数的和记为A的容量（若A为空集，规定A的容量为0），若A的容量为奇（偶）数，则称A为U的奇（偶）子集．若，则U的奇子集个数为_______；当时，U的偶子集个数（用n表示）为_______． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 16. 已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知集合． (1)若，求； (2)从下面两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． ①；②若集合B不是空集，且是的必要不充分条件． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $