第1章 集合与常用逻辑用语 本章总结提升 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 以集合与常用逻辑用语为核心，通过"概念-关系-运算-逻辑-创新"五级递进结构，系统整合知识点与解题方法，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合概念与关系|2例+3变式|元素互异性判定、子集关系参数讨论|从元素属性到集合间包含关系的递进| |集合运算|2例+3变式|交并补运算规则、含参集合运算策略|运算性质与参数问题的综合应用| |充分必要条件|2例+1变式|条件判定三法、充要条件参数范围求法|逻辑关系与集合包含关系的转化| |量词命题|1例+1变式|命题否定规则、真假判定方法|量词的数学语言表达与否定转换| |集合新概念|1例+0变式|新定义迁移应用、抽象集合问题破解|集合思想在创新情境中的拓展|

本章总结提升 　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆ 题型一　集合的概念、集合的基本关系 [类型总述] (1)集合中元素的互异性;(2)集合的基本关系.　　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)(多选题)下列表述正确的有 (　 ) A.-1∉Z B.π∈∁RQ C.{x||x|<0}⊆{0} D.N*⫋N⫋Z (2)已知m∈R,n∈R,若集合={m2,m+n,0},则m2025+n2025= 　　　　.   变式 集合M==　　　　　　　　　　(用列举法表示).  例2 (1)已知集合M={x|y=},N={y|y=},则M与N的关系为 (　 ) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=⌀ (2)[2026·湖北武昌实验中学高一月考] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　.  变式1 已知集合A={1},B={a383,a384},若A⊆B,则实数a=　　　　.  变式2 已知集合A={x|x2+5x-6=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.若B⊆A,求实数m的取值范围. ◆ 题型二　集合的基本运算 [类型总述] (1)集合的并集、交集运算;(2)集合的补集运算;(3)由集合运算求参数. 例3 [2025·全国二卷] 已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= (　 ) A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 例4 [2026·湖南长郡中学高一期中] 已知集合A={x|a-1<x≤2a},B={x|x≥2或x≤-3}. (1)当a=1时,求A∩B,A∪(∁RB); (2)若A∪(∁RB)=∁RB,求实数a的取值范围. 变式 (1)(多选题)已知全集U=Z,集合A={1,2,3},B={a+b|a,b∈A},则下列结论正确的是 (　 ) A.集合B中有6个元素 B.A∪B={1,2,3,4,5,6} C.(∁UA)∩B={4,5,6} D.A∩B的真子集个数是3 (2)[2026·河南焦作高一阶段练] 某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能,8辆汽车有婴儿与宠物模式,6辆汽车有露营功能,且有3辆汽车拥有上述所有功能,则至少有　　　　辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种.  (3)已知集合M={x|y=},N={y|y=x2-6x,x∈R},若M∩N=⌀,则实数m的取值范围是　　　　.  ◆ 题型三　充分条件、必要条件 [类型总述] (1)判断充分条件、必要条件;(2)充要条件的逆用求参数. 例5 (1)[2026·广东执信中学高一月考] 已知a,b∈R,则“a=b=0”是“a+b=0”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若“m≤x≤m+1”是“≤x≤3”的充分不必要条件,则整数m的值为　　　　　.  例6 已知a为实数,p:-3≤x≤1,q:x≤a.若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是　　　　.  变式 (多选题)[2026·山东省实验中学高一期中] 设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件,则实数a的值可以为 (　 ) A.- B.- C. D. ◆ 题型四　全称量词与存在量词 [类型总述] (1)全称量词命题与存在量词命题的真假判定;(2)全称量词命题与存在量词命题的否定. 例7 (1)命题“∃x>0,x2-2=0”的否定是 (　 ) A.∃x≤0,x2-2≠0 B.∃x>0,x2-2≠0 C.∀x>0,x2-2≠0 D.∀x≤0,x2-2≠0 (2)(多选题)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 (　 ) A.∀x∈R,x2-x+1≥0 B.∃x,y∈Z,2x+4y=3 C.所有菱形的对角线都互相垂直 D.任意四边形均有外接圆 变式 (多选题)“∃x∈R,x2-x+a=0”为真命题的充分不必要条件可以是 (　 ) A.a≤- B.a≤ C.a<0 D.a<2 ◆ 题型五　集合新概念问题 [类型总述] (1)集合运算的新定义;(2)集合元素性质的新定义. 例8 (1)(多选题)设P,Q为非空实数集,定义PQ={z|z=xy,x∈P,y∈Q},则 (　 ) A.P{1}=P B.(PQ) R=P (QR) C.P{0}⊆P D.PQ=P∩Q (2)[2026·浙江强基联盟高一月考] 给定整数n≥3及有n个实数元素的集合S,定义其相伴数集T={|a-b||a,b∈S,a≠b},若min(T)=1,则称集合S为规范数集(注:min(T)表示数集T中的最小数).对于集合M={-0.1,-2.1,2,2.1},N={-2.5,-0.5,0.5,2.5},则 (　 ) A.M是规范数集,N不是规范数集 B.M是规范数集,N是规范数集 C.M不是规范数集,N是规范数集 D.M不是规范数集,N不是规范数集 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)BCD　(2)-1　[解析] (1)因为-1是整数,所以-1∈Z,A错误;因为π是无理数,所以π∈∁RQ,B 正确;因为{x||x|<0}=⌀,所以{x||x|<0}⊆{0},C正确;因为N*为正整数集,N为自然数集,Z为整数集,所以N*⫋ N⫋Z,D正确.故选BCD. (2)因为={m2,m+n,0},所以解得或 当m=1时,不满足集合中元素的互异性,故m=-1,n=0,则m2025+n2025= (-1)2025+02025=-1. 变式　{-11,-6,-3,-2,0,1,4,9} [解析] ∵∈Z,m∈Z,∴m+1=1,2,5,10,-10,-5,-2,-1,∴m=0,1,4,9,-11,-6,-3,-2,则M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}. 例2　(1)B　(2)m≤3　[解析] (1)M={x|y=}={x|x-1≥0}={x|x≥1},N={y|y=}={y|y≥0},则M≠N,M⊆N,故B正确,A,C错误;M∩N=M,故D错误.故选B. (2)因为集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,所以当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2;当B≠⌀时,可得解得2≤m≤3.综上,m的取值范围为m≤3. 变式1　-1　[解析] 因为A={1},B={a383,a384},A⊆B,所以a383=1或a384=1.若a383=1,则a=1,此时a384=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若a384=1,则a=-1或a=1(舍去),此时a383=-1,即B={-1,1},满足题意.综上,a=-1. 变式2　解:因为A={x|x2+5x-6=0}={-6,1},B⊆A,所以分以下两种情况讨论:①当B为空集时,Δ=4(m+1)2-4(m2-3)<0,解得m<-2; ②当B不为空集时,若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)=0,则m=-2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1},满足题意,若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,则m>-2,此时B={-6,1},由根与系数的关系得此时m无解. 综上,实数m的取值范围是m≤-2. 题型二 例3　D　[解析] B={x|x(x-1)(x+1)=0}={0,-1,1},则A∩B={0,1}. 例4　解:(1)当a=1时,A={x|0<x≤2},由B={x|x≥2或x≤-3},得∁RB={x|-3<x<2},所以A∩B={2},A∪(∁RB)={x|-3<x≤2}. (2)由(1)可知∁RB={x|-3<x<2},因为A∪(∁RB)=∁RB,所以A⊆∁RB.当A=⌀时,显然A⊆∁RB成立,此时a-1≥2a,解得a≤-1; 当A≠⌀时,a-1<2a,解得a>-1,要使A⊆∁RB,只需满足 解得-2≤a<1,又a>-1,所以-1<a<1.综上所述,实数a的取值范围为a<1. 变式　(1)BCD　(2)7　(3)m<-9 [解析] (1)由B={a+b|a,b∈A},且A={1,2,3},得B={2,3,4,5,6},故集合B中有5个元素,A错误;A∪B={1,2,3,4,5,6},B正确;(∁UA)∩B={4,5,6},C正确;A∩B={2,3},其真子集的个数是22-1=3,D正确.故选BCD. (2)设有智能驾驶功能的车辆集合为A,有婴儿与宠物模式的车辆集合为B,有露营功能的车辆集合为C.若M是有限集,则用card(M)来表示M中元素的个数.由已知得card(A)=15,card(B)=8,card(C)=6,且card(A∩B∩C)=3,则至少具备一种功能的车辆数为card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=card(A)+card(B)+card(C)+card(A∩B∩C)-[card(A∩B)+card(A∩C)+card(B∩C)],由于A∩B,A∩C,B∩C都至少包含同时具备三种功能的3辆车(即card(A∩B)≥3,card(A∩C)≥3,card(B∩C)≥3),因此card(A∩B)+card(A∩C)+card(B∩C)≥3+3+3=9,所以card(A∪B∪C)≤15+8+6-9+3=23,又共有30辆汽车,因此没有配备三种功能中任意一种的车辆数至少为30-23=7. (3)由题知M={x|y=}={x|x≤m},因为y=x2-6x=(x-3)2-9≥-9,所以N={y|y=x2-6x,x∈R}={y|y≥-9},又M∩N=⌀,所以m<-9,即实数m的取值范围是m<-9. 题型三 例5　(1)A　(2)2　[解析] (1)若a=b=0,则有a+b=0,故充分性成立;若a+b=0,则有a=-b,但不能推出a=b=0,例如a=1,b=-1,满足a+b=0,但a≠0,b≠0,故必要性不成立.所以“a=b=0”是“a+b=0”的充分不必要条件.故选A. (2)因为“m≤x≤m+1”是“≤x≤3”的充分不必要条件,所以{x|m≤x≤m+1}⫋,故且等号不同时成立,解得≤m≤2,故整数m的值为2. 例6　a≥1　[解析] 设A={x|-3≤x≤1},B={x|x≤a},∵q的一个充分不必要条件是p,∴A⫋B,∴a≥1,则实数a的取值范围是a≥1. 变式　AD　[解析] 由题意知A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B=,若x∈B是x∈A的充分不必要条件,则B是A的真子集,因为a≠0,所以B≠⌀,即B={3}或B={-2}.当B={3}时,3a-1=0,所以a=;当B={-2}时,-2a-1=0,所以a=-.所以a的值可以是,-.故选AD. 题型四 例7　(1)C　(2)AC　[解析] (1)命题“∃x>0,x2-2=0”的否定是“∀x>0,x2-2≠0”.故选C. (2)对于A,“∀”是全称量词,因为x2-x+1=+>0,所以“∀x∈R,x2-x+1≥0”为真命题,故A正确;对于B,“∃”是存在量词,故B错误;对于C,“所有”是全称量词,且“所有菱形的对角线都互相垂直”为真命题,故C正确;对于D,任意四边形不一定有外接圆,对角和为180°的四边形有外接圆,对角和不是180°的四边形没有外接圆,故D错误.故选AC. 变式　AC　[解析] 由“∃x∈R,x2-x+a=0”为真命题,可得Δ=1-4a≥0,解得a≤.结合选项知,和{a|a<0}是的真子集,故选AC. 题型五 例8　(1)AB　(2)C　[解析] (1)对于选项A,由题可知,P{1}={z|z=x,x∈P}=P,故A正确;对于选项B,PQ={z|z=xy,x∈P,y∈Q},所以(PQ) R={a|a=zb,z∈(PQ),b∈R}={a|a=xyb,x∈P,y∈Q,b∈R},同理P (QR)={a|a=xyb,x∈P,y∈Q,b∈R},所以(PQ) R=P (QR),故B正确;对于选项C,P{0}={z|z=x×0,x∈P}={0},而集合P中不一定有元素0,故C错误;对于选项D,设P={1},Q={2},则PQ={2},P∩Q=⌀,所以PQ≠P∩Q,故D错误.故选AB. (2)由题意知,若集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值为1,则该集合是规范数集.集合M={-0.1,-2.1,2,2.1},当a=2,b=2.1时,|a-b|=0.1<1,即M的相伴数集中最小元素小于1,故M不是规范数集;集合N={-2.5,-0.5,0.5,2.5},因为|-2.5-(-0.5)|=2,|-2.5-0.5|=3,|-2.5-2.5|=5, |-0.5-0.5|=1,|-0.5-2.5|=3,|0.5-2.5|=2,即N的相伴数集中最小元素为1,所以N是规范数集.综上,M不是规范数集,N是规范数集.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $